课件23张PPT。等差数列课前复习1.数列的定义：
2.数列的通项公式：
3.数列的函数本质：
4.数列的分类：
在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ）2062相差76通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。8844.43米(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.减少6.5高度(km)温度(℃)1232821.5157-11458.526-4.59-24…等差数列 赵茜高中数学欢迎指导（1）1682，1758，1834，1910，1986，2062探究1观察归纳：请问：它们有什么共同特点？（2） 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24（3）1，1，1，1， ··· . 共同特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示.思考：如果 与b中间插入一个数A，使 ,A,b成等差数列，那么A应该满足什么条件？由定义得：
反之，若 则
成等差数列
等差中项定义：若 成等差数列，那
么A叫做 与 的等差中项判断正误，等差数列说出公差：（1）1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10是等差数列 （ ）（2）5，5，5，5，5，5，…… 是等差数列 （ ）（4）1，1，2，3，4，5是等差数列 （ ）（3）3x，5x，7x，9x，…… 是等差数列 （ ）（5）数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 （ ）（6）数列a,a-1,a-2,a-3是公差为a-1的等差数列 （ ）（7）若a-b=b-c，则a,b,c成等差数列 （ ）（8）若an-an-1=n(n∈N*)，则数列成等差数列 （ ）（9）等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列
（ ）（10）等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差 （ ）×××××××√√√探究2：等差数列的通项公式（迭代法）如果一个数列通项公式：归纳得:叠加得…等差数列的通项公式（累加法）共n-1个式子在等差数列通项公式中，有四个量，知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一 .探究3：通项公式与方程ɑ1 ,d ,n ,ɑn ,注意：在上述推到过程中，
用到了观察-归纳-猜想的思维方式也就是说，在数列计算题中要注意运用方程思想。例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。解：(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？解：因此，解得用一下例2 在等差数列中,已知a5=10,a12=31,解：由题意可知即这个等差数列的首项是-２，公差是３.求首项a1与公差d.解得：说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就
可以确定这个数列.例3 .已知数列{ an }的通项公式是an =pn+q，p,q是常数
求证：{an}为等差数列；1.数列{ an }为等差数列? an=pn+qp、q是常数.解：说明：2.证明数列是等差数列的又一常用方法探究4：等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…●●●●●●●等差数列的图象2（2）数列：7，4，1，-2，…●●●●等差数列的图象3（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…●●●●●●●●●●直线的一般形式：等差数列的通项公式为：总结：可整理成1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？3. -20是不是等差数列0，- ，-7…中的项；课堂练习4.已知{an }为等差数列，若a1=3, d=3/2,an=21,则n=
5.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1，则 a 等于（ )
A. 1 B. -1 C.- D.提示：提示：类比例2四 .课堂小结1.本节课学习的主要内容有（1）等差数列与等差中项的定义（2）等差数列的通项公式（3）等差数列与一次函数的关系2.本节课的能力要求（1）理解等差数列（2）掌握等差数列的通项公式（3）能利用公式解决一些简单问题3.思想方法（1）观察-归纳-猜想（2）函数与方程（3）数形结合谢谢指导！课件22张PPT。数列的概念海棠黃禅波斯菊雏菊（2）（13）（3）（5）剑兰有人说，大自然是懂数学的。（8） 1,1,2,3,5,8,13,斐波那契 （Fibonacci；1170 ? 1250 ） 《算盘书》 1202.曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”庄子 我国奥运健儿从84年洛杉矶奥运会到08年北京奥运会共获得了163枚金牌15,5,16,28,32,5116,金牌数 6个正方形面积分别为10,9,8,7,6,5.这六个正方形的边长依次为 通常情况下,从地面到10km高空,高度每增加1km,气温就下降6.5摄氏度,现1km高度气温是8.5摄氏度,则从1km高度到10km高度的气温依次是?数列数列的概念 与简单表示法 数列的基本概念按照一定顺序排列着的一列数数列中每一个数 排在第一位的数排在第2位的数排在第n位的数数 列数 列 的 项首 项 第 2 项第 n 项⑴全体自然数构成数列：
⑵1996~2002年某市普通高中生人数（单位：万人）0，1，2，3, … .
82，93，105，119，129，130，132.构成数列
⑶无穷多个3构成数列3，3，3，3，3, … .⑷目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列（单位:元）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01.⑸-1的1次幂， 2次幂， 3次幂， 4次幂 构成数列-1，1，-1，1, … .……你能按照合适的标准对下列数列进行分类吗?无穷数列无穷数列无穷数列有穷数列有穷数列递增数列递增数列常数列递减数列摆动数列数列可看成一列函数值 1 2 3 … n … a1 a2 a3 … an …n 思考：
你能从函数的角度来说明数列10，20，30与数列30，20，10不是相同的数列吗？ 3、图象法数列的表示法：数列的图象是一系列孤立的点练习：根据题目所给信息填表： 2011是否为该数列的项呢？
根据该数列通项公式你还能得到该数列的什么特征呢？129 … …21……213310数列的通项公式数列的通项公式例1：写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分 别是下列各数:14916小结生活中处处有数列1数列的概念2数列的分类3数列可看成一列函数值
45数列的简单表示法等差数列等比数列?作业：1、课本：P33习题1，2, 33、阅读课本32页
——阅读与思考《斐波那契数列》2、知识拓展:
从函数的角度思考数列的通项公式不唯一Thank You !课件8张PPT。数列的概念与简单表示法第2课时一、复习1、什么是数列？2、数列与函数有何关系？3、什么是数列的通项公式？1、正弦定理 例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：二、举例 1、数列的通项问题 例2 右图中的三角形称为谢宾斯基三角形．下图四个三角形中着色的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．2、递推数列问题
如果一个数列{an}的首项a1=1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，即
an=2an-1+1(n>1)，
那么
a2=2a1+1
a3=2a2+1
…
像这样给出数列的方法叫递推法，
其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式．
递推公式也是数列的一种表示方法． 例3 设数列 满足 ，写出这个数列的前5项．三、课堂练习1、数列 的一个通项公式是2、数列1，3，6，10，…的一个通项公式是DC4、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4, …堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的
乒乓球总数，则
f(3)= ；
f(n)= .
（答案用n表示）3、数列{an}满足a1=1，an=8an-1+1，则an= ．作业：P33 习题2.1 A组 第3题,B组第1题课件15张PPT。等差数列在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ）2062主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？
天文学家陈丹说: 2062年左右。 相差76通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。8844.43米9-24(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.减少6.5你能根据规律在（ ）内填上合适的数吗？(3) 1，4，7，10，（ ），16，…(4) 2， 0， -2， -4， -6，（ ）…（1）1682，1758，1834，1910，1986，（2062）.( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）. 13 -8 ( 3 ) 1，4，7，10，（ 13 ），16，…( 4 ) 2，0，-2，-4，-6，（ -8 ）,… ( 1 ) 1682，1758，1834，1910，1986，（2062）( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （ -20）.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。这个数列就叫做等差数列。它们的共同的规律是？它们是等差数列吗？(6) 5，5，5，5，5，5，…公差 d=0 常数列公差 d= 2x(5) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10×(7)(3) 1，4，7，10，13，16，…(4) 2，0，-2，-4，-6，-8 …你会求它们的通项公式吗？等差数列的通项公式如果一个数列是等差数列，它的公差是d，那么 n=1时亦适合迭加得…等差数列的通项公式例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。解：(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？解：因此，解得用一下1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；2. 100是不是等差数列2，9，16，…中的项？3. -20是不是等差数列0，- ，-7…中的项；练一练例2 在等差数列中,已知a5=10,a12=31,解：由题意可知 这是一个以 和 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得即这个等差数列的首项是-２，公差是３.求首项a1与公差d.练一练4. 在等差数列中小结: 1. 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义 2.要会推导等差数列的通项公式,并掌握其基本应用. 课后作业 课本P45习题2.2[A组]的第1题课件18张PPT。 §2.2 （第一课时） 等差数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。一、等差数列的定义 观察下列数列是否是等差数列不是d=1不是不是d= -3d=0数学语言：
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列。
an+1- an = d
（n∈N*）{2n-1}是等差数列吗？(n∈N*)an+1- an =[2（n+1）-1]-[2n-1]已知数列{an}是等差数列，公差为d，
取出所有奇数项组成一个新的数列
是等差数列吗？
=2二、等差数列的通项公式a3 － a2=d， a4 － a3=d，……an －an－1=d.当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。a2 － a1=d，则 a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d……an－1－an－2=d,这（n－1）个式子迭加an － a1= (n－1)d问题一？？？等差数列中a1 =1,d=2
an =
关键求出a1和d1+（n-1）×2=2n-1问题二？？？通项公式中有几个量？a1 ,d, an ，n已知其中三个量就可以求出第四个应用等差数列中a4=15，d=3
a1 =
15-（4-1）×3=6应用求等差数列8，5，2，…，的第20项。应用-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
应用在等差数列｛an｝中已知a5=10, a12=31, 求an梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.
练习2、-20是不是等差数列0, -3.5， -7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
1、求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项。
3、等差数列{an}中
（1）已知a4=10，a7=19，求a1与d
（2）已知a3=9，a9=3，求a12小结一、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列。(an+1-an=d)
二、等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d (n∈N*)
等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…●●●●●●●
通过以上观察，你能发现首项a1和公差d对{an}的图象的影响吗？研究与探讨：等差数列的的作业祝同学们学习愉快，人人成绩优异！习题3.2第1、2、3题课件26张PPT。2.2 等差数列（一）1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用．
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做________数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d表示．
答案：等差 公差
2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的________，并且A＝________.
自学导引3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝________.
答案：a1＋(n－1)d
自主探究2．如何理解等差数列的自然语言与符号语言的关系？可见，等差数列的意义用符号语言表示，即a1＝a，an＝an－1＋d(n≥2)，其本质是等差数列的递推公式．
1．等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是 ( )
A．an＝a＋(n－1)d
B．an＝a＋(n－3)d
C．an＝a＋2(n－2)d
D．an＝a＋2nd
解析：an＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d.
答案：C
预习测评2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于 ( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
答案：B
3．等差数列1,3,5,7…的通项公式是________．
解析：因为a1＝1，公差d＝3－1＝2，
所以其通项公式为an＝1＋(n－1)×2，
即an＝2n－1.
答案：an＝2n－1
4．3与15的等差中项是________．
解析：3与15的等差中项是＝9.
答案：9
1．等差数列的定义
(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
要点阐释特别提示：(1)注意定义中“同一常数”这一要求， 这一要求可理解为：每一项与前一项的差是常数且是同一常数，否则这个数列不能称为等差数列．
(2)注意定义中“从第2项起”这一要求，这一要求可理解为：首先是因为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起，每一项与前一项的差是同一个常数(即an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个等差数列．
2．等差数列的通项公式
公式an＝a1＋(n－1)d也可以用以下方法(累差法)导出：
将以上n－1个等式两边分别相加，可得an－a1＝(n－1)d，移项得通项公式an＝a1＋(n－1)d.“累差法”是推导给出形如an＋1－an＝f(n)(n∈N*)递推公式的数列的通项公式的一种重要方法．
由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．3．等差中项及等差数列的判定
判断一个数列为等差数列的常见方法有：
(3)等差中项经常作为数列题目中的题设或结论出现，所以要引起重视．
题型一 等差数列的通项公式
典例剖析方法点评：关于a1，an，n，d之间的运算称为基本量的运算，这是等差数列中最简单、最重要、必须熟练掌握的知识．
1．已知数列－5，－3，－1,1，…是等差数列，判断52,2n＋7(n∈N*)是否为该数列的某项？若是，是第几项？解：根据所给数列，可得等差数列的通项公式为
an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7.
而2n＋7＝2(n＋7)－7(n∈N*)，所以2n＋7是该数列的项，是第n＋7项．
题型二 等差数列的判断
【例2】 已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？
证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，
a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)
＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)
＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，
∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，
∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．
方法点评：如果a，b，c成等差数列，常转化成a＋c＝2b的形式去运用；反之，如果求证a，b，c成等差数列，常改证a＋c＝2b.有时应用概念解题，需要运用一些等值变形技巧，才能获得成功．
误区解密 对等差数列的定义理解不透彻
错因分析：以特殊代替一般，用验证几个特例作为证明是不正确的，必须用定义或与定义等价的命题来证明．
纠错心得：要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．
①公差是从第二项起，每一项减去它前一项的差，即d＝an－an－1(n≥2)，或d＝an＋1－an(n∈N*)；
②要证明一个数列是等差数列，必须对任意n∈N*，an＋1－an＝d，或an－an－1＝d(n≥2)都成立；
课堂总结③an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，表明d≠0时，an是关于n的一次函数．
2．如果已知等差数列的某两项，常把这两项都用首项和公差表示，这样可以求出首项和公差和通项公式．
课件23张PPT。2.2 等差数列（二）进一步巩固等差数列的概念和通项公式，掌握等差数列的一些常用性质．
答案：d
自学导引答案：相等
答案：等差
答案：等差
答案：如果等差数列的项的序号成等差数列，那么对应的项也成等差数列．
事实上，若m＋n＝2w(m，n，w∈N*)，则
am＋an＝[a1＋(m－1)d]＋[a1＋(n－1)d]
自主探究答案：仍是等差数列
答案：B
预习测评A．a1＋a101＞0 B．a2＋a101＜0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
解析：a1＋a101＝a2＋a100＝…
＝a50＋a52＝2a51＝0.
答案：C
解析：a11＝a7＋(11－7)×3＝9＋12＝21.
答案：21
答案：15
要点阐释题型一 等差数列性质的应用
典例剖析方法点评：(1)等差数列中，项数成等差的项，仍然组成等差数列．解法二正是应用等差数列这一性质得解的，比较解法一，显然解法二要优于解法一．
(2)通项公式的变形形式am＝an＋(m－n)d，m，n∈N*，
题型二 等差数列的综合应用
所以该数列的通项公式为
an＝13－2(n－1)＝－2n＋15.
若an＜0，即－2n＋15＜0，∴n＞7.5.
又∵n∈N*，∴n＝8，因此第一个负数项是第8项．
2．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴交点的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．1或2
解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D
误区解密 注意题目中的隐含条件
错因分析：从第9项开始各项均大于25隐含a8不大于25这一条件．
纠错心得：此数列是递增数列，要注意隐含条件a8≤25.
由等差数列的通项公式可得到如下性质：
性质1：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
性质2：am＋n－an＝am＋k－ak＝md；
课堂总结课件15张PPT。等差数列的前n项和公式一.新课引入 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？播放课件一个堆放小球的V形架问题就是 “ ” 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.二.讲解新课 1.公式推导问题：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，思路一： 这个思路似乎进行不下去了.思路二： 两式左右分别相加，得于是有： .这就是倒序相加法.思路三：2.公式记忆 用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.3.公式的应用
（2） （结果用 表示）例2.等差数列 中前多少项的和是9900？1.推导等差数列前 项和公式的思路；
2.公式的应用中的数学思想. 三.小结课件23张PPT。等差数列的前n项和
的性质及应用等差数列的前n项和公式:形式1:形式2:复习回顾 1.将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，这个函数
有什么特点？当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数则 Sn=An2+Bn令等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴ d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15由得∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为( )
A.12 B.13 C.12或13 D.14C2.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项),
此时有:S偶－S奇= ,n2d0nd－ (m+p)性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则
S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
此时有:S偶－S奇= ,两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则性质5: 为等差数列.an例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( )
A.63 B.45 C.36 D.27例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( )
A.85 B.145 C.110 D.90BA3.等差数列{an}前n项和的性质的应用例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为 .－110等差数列{an}前n项和的性质的应用例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为 .例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m= .例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= .510153等差数列{an}前n项和的性质的应用例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得等差数列{an}前n项和的性质(2) ∵∴Sn图象的对称轴为由(1)知由上得即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.练习1
已知等差数列25,21,19, …的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.练习2:
求集合
的元素个数，并求这些元素的和.练习3：已知在等差数列{an}中,a10=23,
a25=-22 ,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？
（2）求S10
（3）求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值课堂小结1.根据等差数列前n项和，求通项公式.2、结合二次函数图象和性质求
的最值.3.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项),
此时有:S偶－S奇= ,n2d0nd－ (m+p)性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则
S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
此时有:S偶－S奇= ,两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则性质5: 为等差数列.an作业P46 A组 5T,
B组 2T,4T课件14张PPT。 等 比 数 列 的概念及其通项公式一、新课引入1、小故事：国际象棋源于古代印度，国王为奖励发明者，答应他的任何要求，发明者说：“请在棋盘的第一个格子放1颗麦粒，在第2个格子放2颗麦粒，在第3个格子放4颗麦粒，在第4个格子放8颗麦粒，依此类推，每个格子都是前面格子的2倍，直到64个格子。请给我足够的粮食实现上述要求。”你认为国王能满足他的要求吗？
印度国王奖赏国际象棋发明者的实例，得一个数列：2、镭的半衰期是1620年如果从现在开始有的10g镭开始，那么每隔1620年，剩余两依次为：思考：与等差数列相比，上面的数列有什么特点？3、某人年初投资10000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。二、等比数列的定义：例1 判断下列数列是否为等比数列：
（1）1，1，1，1，1；
（2）0，1，2，，4，8；
（3）例2 求出下列等比数列中的未知项：
练习：课本 P48 1~3三、等比数列的通项公式：例4、 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列。关于等比中项：
如果在a、b中插入一个数G，使a、G、b 成等比数列，则G是a、b的等比中项。
（注意两解，且同号两项才有等比中项）例：2与8的等比中项为G，则 G2 =16 ，
即：G=±4等比数列的有关性质：
1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。
与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。
2、若，则例6 （1）、在等比数列，已知，，求（2）、在等比数列中，求该数列前七项之积。例7.下图是一个边长为1的正三角形,将每边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图2,如此继续下去,得图3……求第n个图形的边长和周长.例8、已知无穷数列 求证：（1）这个数列成等比数列。（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。判断一个数列是否成等比数列的方法：
1、定义法；
2、中项法；
3、通项公式法。四、小结：
1.等比数列的概念及其通项公式
2.等比数列的两个性质
3.判断数列是否为等比数列的方法五、练习：课本 P50 1--5六、作业：
1.课本 P52 习题 2，4，7，8
2.课课练第6，7课时课件31张PPT。2.4 等比数列（一）掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导过程，并能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做________数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)．
答案：等比 公比自学导引2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的________．
答案：等比中项
3．等比数列的通项公式为________．
答案：an＝a1qn－1
1．等比数列的公比能否为0，首项能否为0?
答案：等比数列的首项，公比都不为0.
2．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
答案：不一定，因为若G＝0，且a，b中至少有一个为0，使G2＝ab，根据等比数列的定义，a，G，b不成等比数列．当a，G，b全不为零时，若G2＝ab，则a，G，b成等比数列．
自主探究A．an＝a3qn－2 B．an＝a3qn－1
C．an＝a3qn－3 D．an＝a3qn－4
解析：∵a3qn－3＝a1·q2·qn－3＝aqn－1＝an.
答案：C预习测评2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么
( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析：∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3，又因为等比数列奇数项符号相同，得b＜0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，ac＝9，故选B
答案：B1．等比数列的定义
关于定义理解的几点注意：
(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能是0.
要点阐释(3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或第3项起按原数列的项的排列顺序组成一个新数列是一个等比数列．
(4)项不为0的常数数列是等比数列．
2．等比中项的应用
等比数列递推关系an2＝an－1·an＋1(n≥2)，即说明等比数列的任何一项(除第一项和最后一项)都是其前后两项的等比中项．
3．通项公式的应用
题型一 等比数列的通项公式
典例剖析方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列中基本量的计算是最重要、最基本的问题．
(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q；
(2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
题型二 等比数列的判断
方法点评：等比数列的判断方法主要有以下几种：
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4.
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d.
∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0.
当a1＝d≠0时，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d，
∴a62＝a4a9＝36d2，
∴a4，a6，a9成等比数列．
当a1≠0且d＝0时，是非零常数列，满足题意．
综上可知a4，a6，a9成等比数列．题型三 等比中项的应用
【例3】 等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法．
(2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中顶．
3．已知三个数成等比数列，积为27，和为13，求这三个数．
误区解密 忽视题中隐含条件而出错
错因分析：注意b2的符号已经确定，且b2＜0，忽视了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．
2．公比q可为正数、负数．特殊地，当q＝1时，为常数列a1，a1，…，又若a1≠0，则它既为等差数列，又为等比数列；当q＝－1时，数列为a1，－a1，a1，－a1，….
课堂总结4．公式中含有四个量a1，an，q，n，如果已知任意三个，可求第四个量．
课件25张PPT。2.4 等比数列（二）进一步巩固等比数列的定义和通项公式，掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决问题．
答案：相等
自学导引答案：等比答案：qm－n
答案：等比答案：等比答案：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应的项成等比数列．
事实上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，
则am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)
＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2.
自主探究2．既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？
答案：存在．例如：an＝1，既是公差为0的等差数列，又是公比为1的等比数列．
预习测评答案：A
答案：D
4．在等比数列{an}中，a6·a15＋a9a12＝30，则前20项的积等于__________．
解析：∵数列{an}成等比数列，
∴a6·a15＝a9·a12，
∴a6·a15＝15，
∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10
＝1510.
答案：1510
1．等比数列的性质
(1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列．
(2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…；a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
要点阐释2．等差数列与等比数列
等比数列与等差数列是非常重要的两类数列，它们在一定的条件下，可以相互转化，等比数列与等差数列相结合的题型是考查的重点.
题型一 等比数列的性质的应用
典例剖析解：解法一：∵a6＝a2q4，其中，a2＝2，a6＝162，
∴q4＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122.
解法二：∵2、6、10三数成等差数列，
∴a2、a6、a10成等比数列．
方法点评：上述四种解法中，前三种解法是利用等比数列的性质来解的，使问题变得简单，明了．因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的灵活应用．
1．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为________．
解析：利用性质“aman＝apaq“便可迅速获得，设插入的n个数为a1，a2，…，an，G＝a1a2·…·an，则G2＝(a1an)·(a2an－1)(a3an－2)·…·(ana1)＝(1×100)n，∴G＝10n.
答案：10n
题型二 等差数列与等比数列的综合题
【例2】 三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．方法点评：此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列知识建立等式求解．另外，对本题若设所求三数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将繁冗些．因此，在计算过程中，设的未知数个数应尽可能少．
2．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数．
误区解密 因没数清数列的项数致误
错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没数清．
正解：∵a5·a2n－5＝22n＝an2，an＞0，
∴an＝2n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1
＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)
＝log22n2＝n2.故选B
答案：B
1．根据等比数列的定义知，等比数列各项的符号有以下几种规律：各项均为正值；正负(或负正)相间；各项均为负值．
2．设未知数的方法很多，原则是使得未知数尽量少，方程尽量简单，所以要根据题意选择适当的未知数．
3．一些数列通过适当的变形，可以得到一个等比数列(或等差数列)，形如an＋1＝qan＋p的数列就可以转化为一个等比数列．课堂总结课件14张PPT。郊尾中学——许建仙等比数列的前n项和（一）（一）知识回顾： 2.通项公式： 3.等比数列的主要性质： ②在等比数列{ }中，若
则 ( )
由刚才的例子可知：实际上就是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的求和问题，即： 已知：等比数列{ }，公比为 ， …… ，如何用 来表示 解：① - ② 得：当 时当 时等比数列的前项和公式：或：例1.求等比数列 …… 的前8项的和。 解:由得： 例2.?某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列 { }可得： 可得：两边取对数，得： 答：约5年内可以使总销售量达到30000台。 例3.求和： …… 解:当 时…… 例3.求和： …… 例4.求数列
1,(1+2)， （1+2+ ), ( …… ……前n項和。 …………练习:1. ①,③ 2. 3. 课堂小结：
等比数列的前n項求和公式: 作业：1.复习本节课内容。3.预习下节课内容。1. ① , ④ 2 . 3 . 6 .谢谢！课件36张PPT。2.5 等比数列的前n项和（一）1．记住等比数列的前n项和公式，能够利用公式求等比数列的前n项和．
2．掌握前n项和公式的推导方法．
1．在等比数列{an}中，若公比q＝1，，则其前n项和Sn＝________.
答案：na1
2．在等比数列{an}中，若公比q≠1，则其前n项和Sn＝________＝________.
自学导引1．等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系？
自主探究当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
(2)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
2．数列a，a2，a3，…，an，…一定是等比数列吗？
答案：不一定，例如当a＝0时，数列就不是等比数列．
1．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为( )
预习测评解析：要考虑到公比为1的情况，此时Sn＝n.
答案：D
2．数列{2n－1}的前99项和为 ( )
A．2100－1 B．1－2100
C．299－1 D．1－299
2．数列{2n－1}的前99项和为 ( )
A．2100－1 B．1－2100
C．299－1 D．1－299
答案：C
3．若等比数列{an}的前3项的和为13，首项为1，则其公比为__________．
答案：3或－4
答案：1
1．等比数列前n项和公式的推导
设等比数列a1，a2，a3，…，an，…它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.
由等比数列的通项公式可将Sn写成
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ①
①式两边同乘以q得，
qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn. ②
①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得q≠1时，
要点阐释当q＝1时，Sn＝na1.
以上的推导方法叫做“错位相减法”．这是中学数学里比较重要的一种求和方法，要多用心体会．
特别提示：(1)等比数列的前n项和的公式及通项公式涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量，俗称“知三求二”．
(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为q≠1，当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论q≠1与q＝1两种情况．
2．等比数列的判定方法
(1)an＋1＝anq(an≠0，q是不为0的常数，n∈N*)?{an}为等比数列．
(2)an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)?{an}是等比数列．
(3)an＋12＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比数列．
题型一 等比数列前n项和公式的基本运算
典例剖析【例1】 在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
方法点评：(1)这是一类基础题，要熟练应用等比数列的通项公式及前n项和公式，运用方程的思想，解决两个最基本的量：首项a1和公比q.在等比数列的求和问题中，经常使用整体代换的思想．
(2)在使用等比数列的前n项和公式时，要注意讨论公比q＝1和q≠1两种情况．
1．若本例(1)中的条件不变，如何求{an}的通项公式？
题型二 错位相减法求和
2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．
(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1题型三 判断等比数列
【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn＝a2n－1(a≠0，±1；n∈N*)，试判断{an}是否为等比数列，为什么？
解：{an}是等比数列，理由如下：
a1＝S1＝a2－1，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(a2n－1)－(a2n－2－1)
＝(a2－1)a2n－2，
此时，n＝1时，a1＝a2－1.
∴数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)a2n－2(n∈N*)．
即数列{an}是首项为a2－1，公比为a2的等比数列．
方法点评：将已知条件Sn＝a2n－1与an＝Sn－Sn－1结合起来 ，得到n≥2时的通项公式an＝(a2－1)a2n－2，特别注意的是，n＝1时即a1＝a2－1能否统一到an＝(a2－1)·a2n－2中去，如果能统一起来，则数列{an}为等比数列，否则数列{an}不是等比数列．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
误区解密 漏掉q＝1而导致错误
【例4】 在数列{an}中，an＝a2n－an(a≠0)求{an}的前n项和Sn.
错因分析：等比数列求和，一定要注意公比是否等于1，否则将导致错误．
课堂总结2．在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还可以利用前n项和公式解与之有关的实际问题．
3．错位相减法是数列求和的重要方法，必须理解数列特征及掌握求和方法．
课件26张PPT。2.5 等比数列的前n项和（二）理解等比数列前n项和的性质，并能用它解决等比数列的求和问题．掌握数列求和的重要方法——分组法与并项法．
1．若数列{an}为等比数列(公比q≠－1)，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍构成________数列．
答案：等比
2．若某数列前n项和公式为Sn＝an－1(a≠0，a≠±1，n∈N*)，则{an}成________．
答案：等比数列
自学导引3．若数列{an}是公比为q的等比数列，则
①Sn＋m＝Sn＋qnSm.
答案：q
实际应用题是高考中的重要内容，那么关于解等比数列的应用题的基本步骤是什么呢？
答案：解答等比数列应用题的基本步骤：
(1)阅读理解材料，且对材料作适当处理；
(2)建立等比数列模型；
(3)解数列模型．
(4)回到实际问题．
自主探究1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝30，则S30＝ ( )
A．70 B．90 C．100 D．120
解析：由于S10，S20－S10，S30－S20成等比数列．
∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，
又∵S10＝10，S20＝30，
∴可得S30＝70.
答案：A
预习测评A．4 B．5 C．6 D．7
答案：B
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则此数列为 ( )
A．等差数列 B．等比数列
C．常数数列 D．递减数列
解析：a1＝S1＝31－1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－3n－1＋1＝2·3n－1.所以对任意的正整数n，an＝2×3n－1成立，因此数列为等比数列．
答案：B
4．若等比数列的前n项和Sn＝5n＋m，则m＝
( )
A．－1 B．1 C．－5 D．5
解析：a1＝5＋m，当n≥2时，an＝5n－5n－1＝4·5n－1所以5＋m＝4，m＝－1.
答案：A
等比数列前n项和性质
(1)若某数列前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则数列{an}成等比数列．
(2)若数列{an}是公比为q的等比数列，则
①Sn＋m＝Sn＋qn·Sm；
要点阐释③当q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
利用等比数列前n项和性质解题，可以简化计算量，提高解题速度．
题型一 等比数列前n项和的性质
【例1】 等比数列{an}的前n项和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为 ( )
典例剖析答案：D
方法点评：以上解法是根据“若{an}是等比数列且q≠－1，则“Sn，S2n－Sn，S3n－S2n”成等比数列进行的，本题还可以列方程组，求出基本量a1，q，再求S3n，显然这种解法不如运用性质解好．
1．已知一个等比数列的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
题型二 等比数列的实际应用
【例2】 某地现有居民住房的总面积为a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．
(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？(可取1.110≈2.6)(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？(保留到小数点后第1位)
解：(1)根据题意，可知
1年后住房总面积为：1.1a－x；
2年后住房总面积为：1.1(1.1a－x)－x＝1.12a－1.1x－x；
3年后住房总面积为：1.1(1.12a－1.1x－x)－x＝1.13a－1.12x－1.1x－x；
……
10年后住房总面积为：
方法点评：本题主要考查阅读能力、分析能力，解题思维障碍主要是对“10%的住房增长率”搞不清楚，要知道，它实际上是上一年住房的增长率．
2．某林场原有木材量为a，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，为了实现经过20年达到木材总存量翻两番，求每年砍伐量的最大值(1g 2＝0.3)．
误区解密 考虑不全面，导致错误
【例3】 设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，若S3＋S6＝2S9，求数列{an}的公比q.
正解：当q＝1时，S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，
由S3＋S6＝2S9，得3a1＋6a1＝2×9a1，
所以a1＝0，与a1≠0矛盾，故q≠1，
纠错心得：在解题时要认真思考，培养细心的良好习惯．
灵活应用等比数列前n项和的性质解题，往往能达到事半功倍的效果．
课堂总结课件49张PPT。数列综合复习课高二数学 必修（5）数列通项an等差数列前n项和Sn等比数列定义通 项前n项和性 质知识
结构an+1-an=d(常数) , n∈N* an+1/an=q(常数), n∈N* an= a1+(n-1)d an=a1qn-1(a1,q≠0) 若a，A，b成等差数列，则 A=(a+b)/2. 等差、等比数列的有关概念和公式 若a，G，b成等比数列，则G2=ab（a,b≠0）判断（或证明）数列为等差(等比）的方法：方法一（定义）( a n + 1 －a n = d 或
a n －a n －1 = d ( n ≥ 2 ) 方法二(等差中项)
a n + 1 +a n －1 = 2a n
( n ≥ 2 ) 1、等差数列：2、等比数列：等差数列与等比数列前n项和注意公式的变形应用（1）（3）若数列 是等差数列，则
也是等差数列 （4）{an}等差数列，其项数成等差数列，则相应的项构成等差数列等差数列的重要性质等差数列的重要性质若项数为则若项数为则（中间项）（2）（1）（3）若数列 是等比数列，则
也是等比数列 （4）{an}等比数列，若其项数成等差数列，则相应的项构成等比数列等比数列的重要性质等比数列的重要性质练习:⒈在等差数列{an}中，a2=-2,a5=54，求a8=_____.
⒉在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为_________.
⒊在等差数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 a60 =__________.
⒋在等差数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则a5+a6=_____ .
110运用性质： an=am+(n-m)d或等差中项运用性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq
运用性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)
运用性质：若{an}是公差为d的等差数列 {cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。180130210练习: ⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= .
⒉在等比数列{an}中，且an＞0，
a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ .
⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 a60 =__________.
⒋在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则a5+a6=_____ .
-14586270480或-270常见的求和公式专题一：一般数列求和法①倒序相加法求和，如an=3n+1
②错项相减法求和，如an=(2n-1)2n
③分组法求和， 如an=2n+3n
④裂项相加法求和，如an=1/n(n+1)
⑤公式法求和， 如an=2n2-5n专题一：一般数列求和法一、倒序相加法解：例1:二、错位相减法解：“错位相减法”求和,常应用于形如{anbn}的数列
求和,其中{an}为等差数列, {bn} 为等比数列, {bn}
的公比为q，则可借助 转化为等比数列
的求和问题。三、分组求和把数列的每一项分成几项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成几部分， 使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法. 练习：求和解：四、裂项相消求和法：常用列项技巧：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按
此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，
于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和
方法称为裂项相消法. ①累加法，如
②累乘法，如
③构造新数列：如
④取倒数：如
⑤Sn和an的关系：
?
专题二：.通项的求法数列的前n项和Sn＝n2–n+1，
则通项an=__________． ①-②得： 1、数列–1，7，–13，19……的一个通项公式为( )
A、an=2n–1
B、an= –6n+5
C、an=(–1)n6n–5
D、 an=(–1)n(6n–5) D2.数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则
an=
_____________. 3、 写出下列数列的一个通项公式(1)、(2)、解：(1)、注意分母是 ，分
子比分母少1，故
(2)、由奇数项特征及偶数项特征得
返回 4、在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6=9，则log3a1+log3a2+……+log3a10等于（ ）（A）12（B)10（C）8（D）2+log35 B 5、等差数列{an}的各项都是小于零的数，且 ，则它的前10项和S10等于（ ）（A）-9（B）-11（C）-13（D）-15D 6、在公比q>1的等比数列{an}中，若a1+a4=18,a2+a3=12，则这个数列的前8项之和S8等于（ ）（A）513（B）512（C）510（D）C7、等比数列{an}中，a1=2,S3=26，那么分比q的值为（ ）（A）-4（B）3（C）-4或3（D）-3或4C 8、在数列{an}中，an+1=Can（C为非零常数）且前n项和Sn=3n+k则k等于（ ）（A）-1（B）1（C）0（D）2A 9、等差数列{an}中，若Sm=Sn(m≠n)，则Sm+n的值为（ ）D10、等差数列{an}是递减数列，a2a3a4=48， a2+a3+a4=12，则数列{an}的通项公式（ ）（A）an=2n-2（B）an=2n+2
（C）an=-2n+12（D）an=-2n+10D11、在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120， 则2a9-a10的值为（ ）（A）24（B）22（C）2（D）-8A考点练习1、在等比数列{an}中，a3· a4·a5=3，a6·a7·a8 =24，则a9·a10·a11的值等于__________．192考点练习2、a= ，b= ，a、b的
等差中项为( )
A、 B、
C、 D、A3、设{an}为等差数列，Sn为前n项
和，a4= ，S8= –4，求an与Sn．点评：在等差数列中，由a1、d、n、an、sn知三求二考点练习4、数列{an}满足a1= ，
a1+a2+a3+……+an=n2·an，求通项an．解析：a1+a2+a3+……+an=n2·an
a1+a2+……+an-1=(n-1)2 an-1 (n≥2)
相减 an=n2an-(n-1)2an-1考点练习谢谢各位老师、同学们再见！课件36张PPT。章 末 归 纳 整 合知识网络1．数列的分类
要点归纳2．学习数列应注意的问题
(1)在学习时，应多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念．数列与函数密切相关，多角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解．在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差或等比数列的问题．运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论，不仅可以深化对数列知识的理解．而且可使这类问题的解答更为快速、合理．(2)善于对比学习．学习等差数列后，再学等比数列时，可以等差数列为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的区别，原因在于“差”与“比”不同．通过对比学习，加深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果．(3)要重视数学思想方法的指导作用．本章蕴含丰富的数学观点、数学思想和方法，学习时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法．
题型一 求数列的通项公式
数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式就可以研究函数的性质，而有了数列的通项公式便可以求出任何一项．所以研究数列的通项往往是解题的关键点和突破口，常用的求数列通项公式的方法有：
要点整合1．观察法，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳出通项公式；
2．递推公式法，就是根据数列的递推公式，采用迭代、叠加、累乘、转化等方法产生an与a1(或Sn)的关系，得出通项公式；
∴当n≥2时，数列{an}是以3为公比的等比数列，且首项a2＝3a1＝9.
∴当n≥2时，an＝9·3n－2＝3n.显然n＝1时也成立．
故数列的通项公式为an＝3n(n∈N*)．
方法点评：已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)．这里常常因为忽略了n≥2的条件而出错，即由an＝Sn－Sn－1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n＝1时，Sn－1＝S0，而与前n项和定义矛盾．可见an＝Sn－Sn－1所确定的an，当n＝1时的a1与S1相等时，an才是通项公式，否则要用分段函数表示为
【例2】 已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)．
(1)解：∵a1＝1，
∴a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13.
(2)证明：由已知an－an－1＝3n－1，令n分别取2,3,4，…，n得
a2－a1＝31，
a3－a2＝32，
a4－a3＝33，
…
an－an－1＝3n－1，
方法点评：如果给出数列{an}的递推公式为an＝an－1＋f(n)型时，并且{f(n)}容易求和，这时可采用迭加法．
即an＝n(n＋1)．
当n＝1时，a1＝2适合上式．
故an＝n(n＋1)(n∈N*)．
方法点评：根据已知条件构造一个与an有关的新的数列，通过新数列通项公式的求解求得{an}的通项公式．新的数列往往是等差数列或是等比数列．例如形如an＝pan－1＋q(p，q为常数)的形式，往往变为an－λ＝p(an－1－λ)，构成等比数列．求an－λ通项公式，再求an.
题型二 数列求和
数列求和问题，是历年高考重点考查的内容之一，当然最基本的还是等差、等比数列的求和，直接利用前n项和公式来解决，我们一般称之为公式法．在此基础上，对于一些特殊的数列．我们有如下几种常用的求和方法：
1．分组法：若数列{an}的通项公式形如an＝bn＋cn(也可是多项之和)，而数列{ bn}，{cn}是等差或等比数列，那么，数列{an}的前n项和不就迎刃而解了吗！
2．错位相减法：若数列{an}是通项公式形如an＝bn·cn，而{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，则可采用此法.
3．并项法：一般用于摆动数列的求和问题．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项；常见的拆项公式有：
5．倒序相加法
将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和，它是等差数列求和公式的推广．以上是我们常用的几种求和方法，而每一种方法各有其适合的数列，观察通项公式的特点，是正确选用求和方法的关键．
【例5】 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求r的值；
解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，
Sn－1＝bn－1＋r，
所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b>0且b≠1，所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，
又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，
(2)由(1)知，n∈N*，an＝(b－1)bn－1，
当b＝2时，an＝2n－1，
【例6】 等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn；
解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)．
题型三 数列应用题
解数列应用题的基本步骤：
解数列应用题的基本步骤：1．与等差数列有关的实际应用题
【例7】 有30根水泥电线杆，要运往1 000米远的地方安装，在1 000米处放一根，以后每50米放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务(完成任务后回到原处)，那么这辆汽车的行程共为多少千米？
解：如图所示，假定30根水泥电线杆存放在M处，则
a1＝MA＝1 000，
a2＝MB＝1 050，
a3＝MC＝1 100，
a6＝a3＋50×3＝1 250，
……
a30＝a3＋150×9，
由于一辆汽车每次只能装3根，故每运一次只能到a3，a6，a9，…，a30，这些地方，这样组成公差为150，首项为1 100的等差数列，令汽车的行程为S，
则S＝2(a3＋a6＋…＋a30)
＝2(a3＋a3＋150×1＋…＋a3＋150×9)
即这辆汽车的行程为35.5千米．
方法点评：对于与等差数列有关的应用题．要善于发现“等差”的信息，如“每一年比上一年多(少)”“一个比一个多(少)”等，此时可化归为等差数列，明确已知a1，an，n，d，Sn中的哪几个量，求哪几个量，选择哪一个公式．
2．与等比数列有关的实际应用题
【例8】 某人贷款5万元，分5年等额还清，贷款年利率为5%，按复利计算，每年需还款多少元？(精确到1元)
解：设每年还款x万元．
第一年偿还的x万元，还清贷款时升值为x(1＋0.05)4万元．
第二年偿还的x万元，还清贷款时升值为x(1＋0.05)3万元．
第三年偿还的x万元，还清贷款时升值为x(1＋0.05)2万元．
第四年偿还的x万元，还清贷款时升值为x(1＋0.05)万元，
第五年偿还的x万元，还清贷款时仍为x万元．
于是x(1＋0.05)4＋x(1＋0.05)3＋x(1＋0.05)2＋x(1＋0．05)＋x＝5(1＋0.05)5，
方法点评：一般地，当出现下列信息时，可化归为等比数列：(1)增长率；(2)n倍；(3)几番；(4)几分之几等，此时应明确a1，an，Sn，q，n中的哪几个量，求哪几个量，一般是知三求二．
