课件40张PPT。事实上，要解决上述问题，需要用到本章的知识．本章共分为四节：
第一节是不等关系与不等式，教材首先通过具体问题情境，使我们感受到现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，然后提出如何用不等式研究及表示不等关系，最后给出了不等式的九条基本的性质；
第二节是一元二次不等式及其解法，教材通过观察具体的二次函数图象及其相应的一元二次方程的关系，推出了一般的一元二次不等式的解集的求法，并且程序框图的形式归纳出了求解一般的一元二次不等式的基本过程；
第三节是二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题，教材从研究具体的不等式的解集所表示的平面区域入手，推广到一般的二元一次不等式Ax＋By＋C<0(或Ax＋By＋C>0)的解集所表示的平面区域，进一步说明简单的线性规划的意义与有关概念，并介绍了线性规划问题的图解方法，还说明了线性规划在实际生活中的简单应用；1．由于不等式的性质是这一章的基础，故掌握不等式的性质是学好本章的关键．
2．解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确地求解．于是，在学习不等式的解法时，要加强等价转化思想的训练．
3．不等式、函数、方程三者密不可分、相互联系、相互转化，平时学习中要加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．4．不等式知识在解决实际问题中有着十分重要的作用，要善于建立合理的不等式模型，解决生活中的实际问题．
§3.1 不等关系与不等式
第1课时 不等关系与比较大小
1．含有不等号 的式子叫不等式．若a，b是两实数，那么a≥b即为 ；a≤b即为 .
2．数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数 ．“≠”“>”“<”“≥”或“≤”a>b或a＝ba
b，a4．若a，b∈R，则 ?a>b， ?a＝b， ?a0a－b＝0a－b<01．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关系为 ( )
A．M>N B．M＝N
C．M ( )
答案：B3．某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个方案：方案A为每年投资20万元；方案B为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元．要表示“经过n年之后方案B的投入不少于方案A的投入”应列的不等式为________．(不用化简)4．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为________．
解析：(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)．
∵x<1，∴x－1<0，x－2<0，
∴(x－1)(x－2)>0，∴x2＋2>3x.
答案：x2＋2>3x5．在日常生活中，“糖水加糖更甜”，即加糖溶化后，糖水的浓度变大了．若a克糖水中含b克糖，再加m克糖溶化后，则糖水更甜，你能用一个不等式来表示这个关系吗？
[例1] 两种药片的有效成分如下表所示.
若要求至少提供12 mg阿司匹林，70 mg小苏打，28 mg可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．[分析] 要注意“至少”的含义，同时还应保证两种药片的数量均非负这一隐含条件．
[解] 设提供A药片x片、B药片y片．
由题意，得 迁移变式1 一个盒子中红、白、黑三种球分别有x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式将题中的不等关系表示出来．[点评] 要比较大小的两个实数中有无理数，不能直接作差，可作它们的平方差．[例3] (1)设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，比较x与y的大小．
(2)已知a>0且a≠1，p＝loga(a3＋1)，q＝loga(a2＋1)，比较p与q的大小．
[分析] 本题考查两数(式)大小的比较，可作差比较，并注意(2)中须分类讨论．[评析] (1)中是通过因式分解和配方法来判断差的符号，(2)中是通过分类讨论来判断差的符号．这三种方法都是判断差的符号的常用方法．迁移变式3 比较下面两个代数式的大小：
(1)x2＋3与3x；
(2)已知a、b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2.
[例4] 建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．[点评] 实数大小比较的依据，给我们提供了比较两个实数大小的方法，同时也是我们解决有些实际问题的有效途径．迁移变式4
如图1，y＝f(x)反映了某公司产品的销售收入y万元与销售量x吨的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系，试问：
(1)当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)；
(2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)?解：(1)当销售量大于a吨时，即x>a时，公司赢利，即f(x)>g(x)；
(2)当销售量小于a吨时，即0≤x1．比较实数大小的依据．
实数集与数轴上的点集之间可以建立一一对应关系．那些表示实数的点在数轴上有次序地(无缝隙地)排列．数轴上的一个动点向着数轴的正方向运动时，它所对应的实数越来越大，由此可以得到下面两个结论：
(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；
(2)对于任意两个实数a和b，在a＝b，a>b，a如果a－b是正数，那么a>b；如果a>b，那么a－b是正数．
如果a－b是负数，那么a如果a－b等于零，那么a＝b；如果a＝b，那么a－b等于零．课件31张PPT。
第2课时 不等式的性质
性质1 a>b?
性质2 a>b，b>c?
性质3 a>b?a＋c>
性质4 a>b，c>0? 或
a>b，c<0? bcb＋cac>bcacb，c>d?
性质6 a>b>0，c>d>0?
性质7 a>b>0，n∈N，n≥2?
性质8 a>b>0，n∈N，n≥2?
a＋c>b＋dac>bdan>bn
1．已知a>b，c>d，且c、d不为零，那么 ( )
A．ad>bc B．ac>bc
C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d
解析：同向不等式相加，不等号不变．
答案：D2．若a0，b<0，则a，b，－a，－b的大小关系为
( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
解析：∵a＋b>0且b<0，∴a>0且a>－b或b>－a，对于－b与b，∵b<0，∴－b>b.由不等式传递性知a>－b>b>－a.
答案：C5．已知a>b>0,0>c>d，求证：ad①若a>b，则ac2>bc2；
②若aab>b2；
③若a>b，则a2>b2；
④若a.
其中正确命题的序号是______．
答案：②④[例3] 已知12(1)－2≤x≤－1；
(2)－2(3)x≥－2，且x≠0.
[例4] 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>0，
(1)求 的范围；
(2)设该函数图象交x轴于A、B两点，求|AB|的范围．迁移变式4 已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上递减的，α、β、γ∈R，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，试讨论f(α)＋f(β)＋f(γ)的值与0的关系．
解： ∵α＋β>0，∴α>－β.
又∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递减的，
∴α>－β，∴f(α)又∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数，
∴f(α)同理：由β＋γ>0?f(β)<－f(γ)， ②
由γ＋α>0?f(γ)<－f(α)． ③
由不等式性质5将①、②、③左右两边分别相加得
f(α)＋f(β)＋f(γ)<－[f(α)＋f(β)＋f(γ)]．
∴2[f(α)＋f(β)＋f(γ)]<0，即f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.在使用不等式的性质时，应注意如下问题
在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．例如：
(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”．例如当c≠0时，有a>b?ac2>bc2；若无c≠0这个条件，则a>b?ac2>bc2就是错误结论(∵当c＝0时，取“＝”)．课件25张PPT。3.1 不等关系与不等式掌握实数运算的性质与大小顺序之间的关系；会用差值法比较两实数的大小；掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
1．如果a－b是正数，那么a________b；如果a－b等于零，那么a________b；如果a－b是________数，那么a答案：> ＝ 负
2．如果a>b，那么b________a；如果b________a，那么a>b，即a>b?b________a.
答案：< < <
自学导引3．如果a>b，b>c，那么a________c.
答案：>
4．如果a>b，c∈R那么a＋c________b＋c.
答案：>
5．如果a>b，c>0，那么ac________bc.如果a>b，c<0，那么ac________bc.
答案：> <
6．如果a>b，c>d，那么a＋c________b＋d.
答案：>
7．如果a>b>0，c>d>0，那么ac________bd.
答案：>
8．如果a>b>0，那么an________bn，(n∈N，n≥2)．
答案：>
答案：>
1．不等关系与不等式有什么区别？
答案：不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“a>b”、“a自主探究2．甲、乙、丙三人，甲的年龄大于乙，乙的年龄大于丙，那么甲的年龄大于丙吗？10年后，甲的年龄还大于乙吗？为什么？
答案：甲大于丙，10年后，甲仍大于乙 根据不等式的性质可知．
1．已知aA．b2－4ac>0 B．b2－4ac＝0
C．b2－4ac<0 D．不能确定b2－4ac的符号
解析：∵a0，
∴b2－4ac≥－4ac>0.
答案：A
预习测评2．x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大小关系是 ( )
A．x>y B．x＝y
C．x解析：x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝－7<0，∴x答案：C
3．已知a>b，c>d，且c、b不为0，那么下列不等式成立的是 ( )
A．ab>bc B．ac>bd
C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d
解析：∵a>b，c>d，由同向不等式可加性得a＋c>b＋d.
答案：D
4．已知a ( )
A．a3C．(－a)3<(－b)3 D．(－a)2<(－b)2
解析：∵a答案：A1．两个实数比较大小关系
在数学问题中经常要遇到比较大小问题，其方法有两个，一是作差比较法；二是作商比较法．
特别提醒：(1)作差比较法是比较大小的主要方法，它是将两个数(或式子)作差，并由“差”与0的大小关系，即“差”的正负号而比较出两个数的大小关系．
(2)作商比较法的前提条件是两个正数的大小比较，特别适合一些指数幂式子的大小比较，它是将两个正数(或式子)作商，并由“商”与1的大小关系而得到两个数的大小．
要点阐释2．利用不等式性质判断不等关系
不等式的性质是判断不等关系的理论依据和方法．不等式的性质较多，要注意识记和准确地理解与应用．特别要注意某些性质的限制条件，以防乱用和混用．
特别提醒：(1)同向不等式不能相减．
(2)异向不等式不能相加．
(3)两边同乘或除以一个负数，不等式要反向．
(4)a>b>0，c>d>0?ac>bd与a>b，c>d?/ ac>bd易混淆，其中，应注意它们的区别，前一个各项为正，后一个没有正负，故不成立．
题型一 比较大小
【例1】 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
典例剖析方法点评：比较大小的一般步骤是：作差——变形——定号，变形是比较大小的关键，是最重要的一步，因式分解，配方，凑成若干个平方和等，是“变形”的常用方法．
1．设m＝(x＋6)(x＋8)，n＝(x＋7)2，则 ( )
A．m>n B．m≥n C．m解析：∵m－n＝(x＋6)(x＋8)－(x＋7)2＝x2＋14x＋48－(x2＋14x＋49)＝－1<0，∴m答案：C
题型二 不等式的性质的应用
(4)显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b.∴(4)对．
方法点评：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需要的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定．
2．适当增加条件，使下列各命题成立．
误区解密 对不等式性质理解有误
【例3】 已知－1≤a＋b≤1 ①，1≤a－2b≤3 ②，求a＋3b的取值范围．
错因分析：错解中用了同向不等式相减从而扩大了所求代数式的取值范围，导致范围不准确．正确的解法是所求问题用已知的不等式进行表示，根据已知不等式的取值范围，利用同向不等式相加的性质进行求解．注意同向不等式不能相减或相除．
正解：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)
＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，
1．不等式的性质是不等式变形的依据．每一步变形，都应有根有据．记准适用条件是关键．
2．关于处理带等号的情况；由a>b，b≥c或a≥b，b>c均可推得a>c，而a≥b，b≥c不一定可以推得a>c，可能是a>c，也可能是a＝c.
课堂总结3．比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的性质．在教学时应指出，比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号，判断差的符号主要是因式分解、配方法等．
4．不等式的加法、乘法运算一是满足同向，二是只有正数才能相乘而不改变不等号的方向．
课件41张PPT。
§3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式
只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．一2注意：理解一元二次不等式的概念
①可以这样理解：形如ax2＋bx＋c>(≥，<，≤)0(a≠0)的不等式，叫做一元二次不等式，其中a，b，c为常数．
②“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，哪一个是变量“未知数”，哪一些是“参数”就可以．
③“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．2．一元二次不等式的解集
1．下列不等式：①x2>0；②－x2－2x≤15；③x3－5x＋6>0；④x2－y<0.其中一元二次不等式的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B2．不等式x2－2x＋1>0的解集是 ( )
A．R
B．{x|x∈R，且x≠1}
C．{x|x>1}
D．{x|x<1}
答案：B3．函数y＝x2－x－6的判别式Δ________0，该图象与x轴有________个交点，其交点横坐标为________，不等式x2－x－6>0的解集是________，不等式x2－x－6<0的解集是________．
答案：> 2 －2,3 (－∞，－2)∪(3，＋∞) (－2,3)4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)5．解不等式－1∵方程x2＋2x－3＝0的两根为x3＝－3，x4＝1，
∴不等式x2＋2x－3≤0的解集为{x|－3≤x≤1}．
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>0}∩{x|－3≤x≤1}＝{x|－3≤x<－2或0[例1] 求下列一元二次不等式的解集：
(1)x2－5x>14；(2)－x2＋7x>6.[解] (1)先将14移到左边化为x2－5x－14>0.因为方程x2－5x－14＝0的两根分别为－2,7.结合二次函数图象易得不等式解集为{x|x<－2或x>7}．
(2)先将不等式化为x2－7x＋6<0，
因为方程x2－7x＋6＝0的两根为1,6.
所以利用图象可得不等式解集为{x|12.
[例2] 解下列关于x的不等式：
(1)x2－(a2＋a)x＋a3>0；
(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.
[分析] 在(1)中，显然有两根a和a2，因而只需要以两根的大小作为分类标准即可；而在(2)中，首先它不一定是一元二次不等式，即使是也不一定有二次项系数大于零，因此应首先以二次项系数与零的大小为分类标准进行分类讨论，转化为标准形式后，还应考虑判别式与零的大小，再就是两根的大小关系．[解] (1)原不等式化为(x－a)(x－a2)>0
①当a2－a>0，即a>1或a<0时，原不等式的解为x>a2或x②当a2－a<0，即0a；
③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，原不等式的解为x≠a.[评析] (1)解含有参数的一元二次型(ax2＋bx＋c>0)的不等式，首先要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论；其次转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零)后，再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论；如果两根的大小还不能确定，此时还需要以两根的大小作为分类标准再进行分类讨论．
(2)若对参数进行讨论，其结果应对参数分类叙述．为了叙述结果的简洁，可把其解的结构一样的相应参数合并在一起叙述．
(3)解这类问题容易出现的失误是未对二次项系数进行讨论，特别是未考虑它是否为零．迁移变式2 若a∈R，解关于x的不等式ax2＋2x＋1<0.
[例3] 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3[分析] 根据已知解集和一元二次不等式解的结构逆向推出a、b、c应满足的关系，进而求解不等式．[评析] 若已知一元二次不等式的解，则由一元二次不等式解的结构可逆向推知，它的系数所满足的条件(即相应的一元二次方程的两根及二次项系数的正负性)，再利用韦达定理即可解决问题．迁移变式3 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①限速40 km/h；②刹车距离s甲>12 m，s乙>10 m；
③刹车距离s甲、s乙与车速关系确定．
解答本题可将刹车距离直接代入关系式分别得到一个关于x的一元二次不等式，解此不等式即可求出x的范围，即汽车刹车前的车速范围．[解] 由题意，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，
即x2＋10x－1200>0.
解得x>30或x<－40(舍去)．
这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车不会超过限速40 km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，
即x2＋10x－2000>0.
解得x>40或x<－50(舍去)．
这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．[点评] (1)实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型．解题时要弄清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解．
(2)解不等式应用题，一般可按如下四步进行：
①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；
②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；
③解不等式(或求函数最值)；
④回扣实际问题．迁移变式4 某企业上年度的年利润为200万元，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，投入成本增加的比例为x(01．一元二次不等式的解题步骤可总结为：
首先化为标准形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a>0，然后解出相应的一元二次方程的根，再结合二次函数的图象便可得出解集．一般步骤为：一看(看二次项系数a的正负)；二算(计算判别式，判断相应方程根的情况并求根)；三写(写出不等式的解集)．2．从函数观点看：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，而一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此要加深理解“一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式”这三个“二次” 之间的内在联系．3．一元一次不等式(组)和一元二次不等式(组)的解法是不等式的基础，因为很多不等式的求解最终都是转化为一元一次不等式(组)和一元二次不等式(组)进行．课件32张PPT。
第2课时 一元二次不等式解法的应用
1．若ax2＋bx＋c≥0的解集是空集，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向 ，且与x轴 交点．
2．若ax2＋bx＋c>0的解集是实数集R，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向 ，且二次三项式的判别式Δ 0.下没有上<答案：C2．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)>0的解集为 ( )
A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)
B．(－∞，3)∪(4，＋∞)
C．(－4，－3)
D．(3,4)
解析：∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式等价于x2－7x＋12>0，∴x<3或x>4.故选B.
答案：B3．若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解为一切实数，则a的取值范围为 ( )
A．(－2,2]
B．[－2,2]
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案：A4．不等式 <0的解集为________．答案：{x|－1解：已知函数定义域为R.
即2x －2ax－a－1≥0在R上恒成立．
也即x2－2ax－a≥0恒成立，
所以有Δ＝(－2a)2－4(－a)≤0，解得－1≤a≤0.2
[例1] 关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值范围．[解] (1)若a2－1＝0，
即a＝±1时，
若a＝1，
不等式变化为－1<0，
解集为R；
若a＝－1，
不等式变为2x－1<0，
解集为{x|x<}．
∴a＝1时满足条件．迁移变式1 若x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则a的取值范围是________．
[例3] 若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0在(－1,1)和(1,3)内各有一个实根，则实数k的取值范围如何？
[分析] 此为二次方程根分布问题．[点评] 解决这类一元二次方程两实根正负性的讨论问题，只需抓住判别式和韦达定理，由它们构建关于参数的一元二次不等式组，解之即可．迁移变式3 m为何值时，关于x的方程(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋(1－3m)＝0有两个异号的实根．
[例4] 设A＝{x|x2－(a＋a2)x＋a3<0}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
[分析] 由A∩B＝A?A?B，又因为B是可解集合，因此可以求出B集合．对于A集合，要明确不等式的解集，需判断对应方程两根的大小，故要就两根的大小对参数a加以讨论，再借助数轴由A，B两集合的关系，求出a的具体取值范围．[解] 因为A∩B＝A，所以A?B.
B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1因为x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a2)(x－a)<0，
所以x介于a与a2之间．
当a1或a<0时，A＝{x|a若A?B，则需满足 如图1所示，迁移变式4 已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，B＝{x|00，得(x－3)(x＋2)>0，
∴x<－2或x>3.
∴A＝{x|x<－2或x>3}．
由0∴B＝{x|－a又∵A∩B＝?，∴
解得1≤a≤2.
故所求实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}．
1．形如“ax2＋bx＋c>0(或<0)”的不等式恒成立问题时，必须对a＝0与a≠0作分类讨论，以防出错．有些恒成立问题可通过分离参变量，转化为最值问题去处理．
2．根的分布问题不需要作深入研究，要从数形结合这一方面加深对三个“二次”问题的理解．分式不等式的常见解法(2)指数、对数不等式的解法．
解指数、对数不等式的依据是指数、对数函数的概念和性质，因而同底法是解指数、对数不等式的基本方法．当然，最终是将它们转化为代数不等式，其主要类型和解法是：
①af(x)>aφ(x)?f(x)>φ(x)(a>1)或f(x)<φ(x)(0②logaf(x)>logaφ(x)?f(x)>φ(x)>0(a>1)；
或01．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为________不等式．
答案：一元二次
自学导引答案：没有实数根 {x|xx2} ?
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)具备哪些条件时，解集为R或?？
答案：当a>0，Δ<0时，解集为R.当a<0，Δ≤0时，解集为?.
2．ax2＋5x＋1>0是关于“x”的二次不等式吗？
答案：ax2＋5x＋1>0不一定是一元二次不等式，当a＝0时它是一元一次不等式．若题目中给出的条件是“一元二次不等式ax2＋5x＋1>0”则隐含的条件是a≠0.
自主探究1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是 ( )
A．{x|x≤－2，或x≥1}
B．{x|－2C．{x|－2≤x≤1}
D．?
解析：原不等式可化为(x＋2)(x－1)≤0，
∴－2≤x≤1.
答案：C
预习测评2．下面四个不等式解集为R的是 ( )
解析：利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10>0中，Δ＝62－40<0，∴不等式x2＋6x＋10＝0的解集为R.选C.
答案：C
3．不等式x2＋px＋q<0的解集为{x|－3解析：依题意，x1＝－3和x2＝2是方程x2＋px－q＝0的根，
∴x1＋x2＝－p，即p＝1，x1x2＝q＝－6，∴p＋q＝－5.
答案：－5
4．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数的条件是________．
解析：利用三个“二次”关系及二次函数图象推导．
1．一元二次不等式
通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)．
不妨设方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1 、x2且x1 0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在x轴下方部分的点的横坐标x的集合．
2．解一元二次不等式的常见思考步骤和解题程序
由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般思考步骤：
(1)化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)，或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(2)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
(3)由图象得出不等式的解集．
3. 含参数的一元二次型的不等式
在解关于含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1题型一 求一元二次不等式的解集
【例1】 求下列一元二次不等式的解集：
(1)x2－5x>14；(2)－x2＋7x>6.
解：(1)先将14移到左边化为x2－5x－14>0.因为方程x2－5x－14＝0的两根分别为－2,7.结合二次函数图象易得不等式解集为{x|x<－2或x>7}．
典例剖析(2)先将不等式化为x2－7x＋6<0，因为方程x2－7x＋6＝0的两根为1,6.所以利用图象可得不等式解集为{x|1方法点评：当所给不等式是非标准形式时，应先化为标准形式，在具体求解一个标准形式的一元二次不等式的过程中，要根据一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象求解．这种方法体现了“化归”的数学思想方法的运用，要注意体会．
解：(1)原不等式可化为2x2－x－1≥0，
∴(2x＋1)(x－1)≥0，
(2)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，
故原不等式的解集是R.
1．解下列不等式：
(1)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(2)x2－2x＋3>0.
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.
解：当m＝0时，∵ －3<0恒成立，
∴原不等式的解集为R.
当m≠0时，原不等式化为(mx＋3)(mx－1)<0，
方法点评：解不等式时，由于m∈R，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当m＝0时，原不等式化为－3<0，此时不等式的解集为R，所以解题时应分m＝0与m≠0种情况来讨论．
2．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0.
解：(1)当a＝0时，原不等式可化为－x＋2<0，解集为{x|x>2}．
(2)当a>0时，原不等式化为(ax－1)(x－2)<0，
题型三 三个二次的关系
方法点评：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0的解集的端点就是对应的一元二次方程的解．
3．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α解：∵不等式ax2＋bx＋c>0的解集为
{x|α根据一元二次方程的根与系数的关系，得
误区解密 忽略二次项系数为零而出错
【例4】 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．
错解：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，错因分析：当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．
解一元二次不等式主要采用图象法和代数法，解决问题的基础是不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集与对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根以及二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象之间的关系，求解时明确具体的解题步骤．对于应用问题，要先确定其中的不等关系，进而用相应的不等式表示出来，再解不等式获得问题的答案．
课堂总结课件22张PPT。二元一次不等式（组）与平面区域复习回顾 数
一元一次方程
一元一次不等式
二元一次方程
形 x0-3 春节的时候,爸爸给5岁的小明10元压岁钱,小明想用于买零食和玩具.但为了培养小明的爱心与责任意识,爸爸要求他必须从中拿出一部分捐给灾区的小朋友,剩余的钱用于买零食和玩具，小明应该如何分配用于买零食和玩具的钱呢？请你帮小明列出这其中蕴含的不等关系式. 这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？ 这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？解析:设买文具和玩具的钱数分别为 ，
则由题意可知应满足：
即转化为满足 的有序数对 .二元一次不等式二元一次不等式组 二元一次不等式（组）的解集从数上来说，是满足二元一次不等（组）
的 和 的取值构成的有序数对 的集合；
是有序数对对应于平面直角
坐标系内的点的集合.从形上来说， 左上方区域直线上右下方区域问题一在平面直角坐标系中
二元一次方程 表示的直线将坐标平面分成哪几个部分？问题二 以下各点的坐标代入
中，结果是什么?有何规律？ 二元一次不等式x-y-6<0的解集表示的是什么图形？ 问题三 设点P（x,y 1）是直线
x- y -6=0上的点,则y 1 =x- 6选取点A(x，y 2)，使它的
坐标满足不等式x – y < 6问题三验证 ◆当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？ ◆直线x-y-6=0左上方点的坐标是否都满足不等式x-y-6<0？
◆直线x-y-6=0右下方点的坐标呢？探究思考？点A的纵坐标大于点P的纵坐标
是
满足不等式x-y-6>0
左上方区域x-y-6<0右下方区域x-y-6>0边界
x-y-6=0（1） 表示直线 某一
侧所有点组成的平面区域.（2）把直线画成虚线表示区域不包括边界；把直线画成实线表示区域包括边界；结论（3）在直线的某一侧取一个特殊点 ,从
的正负即可判断.①作线②取点③画区域实战演练 例.(1)画出不等式 表示的平面区域。实战演练 例. (1)画出不等式 表示的平面区域. (2)画出不等式 表示的平面区域.
(3)画出不等式 表示的平面区域. 跟踪练习1、画出不等式 表示的平面区域.
2、用平面区域表示不等式组 的解集.变式与拓展阶段性学习小结1、如何画出二元一次不等式表示的平面区域?
作线→取点→画区域
直线定界，特殊点定域
2、所做平面区域的边界的实虚应如何确定？
带等为实，反之为虚阶段性学习小结3、不等式组所表示的平面区域应如何画？
4、如何判断点与平面区域的位置关系？
5、如何求封闭区域的面积？
6、给出图形区域时应如何写出对应的不等关系？课堂小结 归一升华1、B4、达标测评2、D3、B祝您一帆风顺谢谢课件42张PPT。
第2课时 简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念：
1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 ．
2．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式是 ，目标函数又是x、y的 解析式．
3．线性规划问题：求线性目标函数在 条件下的 的问题．一次不等式线性目标函数一次线性约束最大值或最小值4．可行解：满足线性约束条件的解(x、y)
由所有可行解组成的集合叫做 ．
5．最优解：使目标函数取得 时的可行解．
6．通常最优解在可行域的 取得．可行域最大值或最小值边界处或顶点处1．目标函数z＝4x＋y，将其看成直线方程时，z的几何意义是
( )
A．该直线的截距
B．该直线的纵截距
C．该直线的横截距
D．该直线的纵截距的相反数
解析：把z＝4x＋y变形为y＝－4x＋z，则此方程为直线方程的斜截式，所以z为该直线的纵截距．
答案：B2．若 则目标函数z＝x＋2y的取值范围是
( )
A．[2,6] B．[2,5]
C．[3,6] D．[3,5]
解析：本题考查线性规划问题的图象解法．只需画出约束条件对应的可行域，平移直线x＋2y＝0使之经过可行域，观察图形，找出动直线纵截距最大时和最小时经过的点，然后计算可得答案．
答案：A3．在△ABC中，三顶点坐标为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及边界运动，则z＝x－y的最大，最小值分别是 ( )
A．3,1
B．－1，－3
C．1，－3
D．3，－1
解析：本题运用线性规划问题的图象解法．只需画出约束条件对应的可行域，即一个封闭的三角形区域(含边界)，再平移直线x－y＝0使之经过可行域，观察图形，找出动直线纵截距最大时和最小时经过的点，然后计算可得答案．
答案：C解析：本题运用线性规划问题中的有关概念，即变量x，y的一次不等式组称为问题的线性约束条件，研究最值的函数解析式称为线性目标函数．
答案：线性约束条件 线性目标函数5．已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．[分析] 求目标函数最大值或最小值的步骤：作可行域、画平行线、解方程组、求最值．[点评] (1)中z并不是直线2x＋3y＝z在y轴的截距，而是截距的3倍，因此，直线过点B时， 最小，z最小．
(2)中z并不是直线3x－y＝z在y轴的截距，而是截距的相反数，过A(－3,0)截距最大而z值最小，注意不要搞反．迁移变式1 设x，y满足 则z＝x＋y( )
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最大值，也无最小值解析：如图3所示．
作出可行域，作直线l0：x＋y＝0，平移l0，当l0过点A(2,0)时，z有最小值2，无最大值．
答案：B[分析] 把所求问题赋给相关的几何意义，即圆与斜率．
[解] 画出满足条件的可行域如图4所示，
(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以umax＝73，umin＝0.
[例3] 已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①可行域已知；
②目标函数在(3,1)处取得最大值．
解答本题可利用逆向思维，数形结合求解．[解] 由约束条件画出可行域(如图6所示)，为矩形ABCD(包括边界)．点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时使直线在y轴上的截距最大，
∴－a1.[答案] a>1
[评析] 这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．
[例4] 某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？[点评] 对于线性规划中的最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可用下面的方法求解：
①平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解．
②检查优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解．
③调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优解．迁移变式4 某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．令z＝0，得l0：2x＋3y＝0，
平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值．
又由 得A点坐标为(4,5)．
所以zmin＝4×200＋5×300＝2300.
答案：2300(3)将直线ax＋by＝0平移，在可行域中，观察使 最大(或最小)时所经过的点．
(4)将该点代入目标函数，从而求出d的最大值或最小值．2．最优解可有两种确定方法：
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解；
(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1，k2，…，kn，且k1(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
(2)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．课件45张PPT。3.3.2 简单的线性规划问题了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念，掌握线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高解决实际问题的能力．
课前自主学习1．关于x，y的不等式(组)称为对变量x，y的约束条件，如果约束条件都是关于x，y的一次不等式，则称约束条件为________约束条件．
答案：线性
2．把要求最大(小)值的函数z＝f(x，y)称为________函数．
答案：目标
自学导引3．在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为________规划问题．满足线性约束条件的解(x，y)叫做________解，由所有可行解组成的集合叫做________域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．
答案：线性 可行 可行
线性目标函数z＝2x＋3y最大值的几何意义是什么？
自主探究A．4 B．11 C．12 D．14
预习测评解析：只需画出线性规划区域，如下图．
可知，z＝4x＋y在A(2,3)处取得最大值11.
答案：BA．无最大值有最小值
B．无最小值有最大值
C．无最大值和最小值
D．有最大值和最小值
解析：可行域无上界．
答案：A
3．在如图所示的区域内，z＝x＋y的最小值为__________．
解析：当直线x＋y－z＝0经过原点时，z最小，最小值为0.
答案：0
4.在如图所示的区域内，z＝－x＋y的最大值为________．
解析：因为z为直线z＝－x＋y的纵截距，所以要使z最大，只要纵截距最大就可以，当直线过(0,2)点时，直线的纵截距最大，最大值为2.
答案：2
课堂讲练互动1．基本概念
(1)约束条件和线性约束条件：变量x，y满足的一次不等式(组)叫做对变量x，y的约束条件；如果约束条件都是关于x，y的一次不等式，那么又称为线性约束条件．线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示．
(2)目标函数和线性目标函数：求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫目标函数；如果这个解析式是关于x，y的一次解析式，那么又称为线性目标函数．
要点阐释(3)线性规划问题：一般地，在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．
(4)可行解与可行域：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．
(5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解，称为这个问题的最优解．
2．解决线性规划问题的一般方法
解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：
(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；
(2)确定线性目标函数；
(3)画出可行域，注意作图准确；
(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．
说明：求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是：
①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.
②平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．
③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
特别提醒：寻找整点最优解的方法
①平移找解法：先打网格、描整点、平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优解，这种方法应充分利用非整数最优解的信息，结合精确的作图才行．当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．②调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优解，最后筛选出整点最优解．
③由于作图有误差，有时由图形不一定能准确而迅速地找到最优解，此时将可能的数逐一检验即可．
题型一 求线性目标函数的最值典例剖析解：画出约束条件表示的点(x，y)的可行域，如图所示的阴影部分(包括边界直线)．
作直线l：3x＋5y＝0，把直线向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时，l1：3x＋5y－z＝0的纵截距最小，此时z＝3x＋5y取最小值．
图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移直线ax＋by＝0时，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最大值，也无最小值
解析：如图所示，作出可行域，作直线l0：x＋y＝0，平移l0，当l0过点A(2,0)时，z有最小值2，无最大值．
答案：B题型二 求解非线性目标函数的最值
解：画出满足条件的可行域．
(1)令t＝x2＋y2.则对t的每个值，x2＋y2＝t表示一簇同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点，x2＋y2的值都相等．由下图可知：
当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆过C点时，u最大，过(0,0)时u最小．又C(3,8)，∴umax＝73，umin＝0.方法点评：(1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离平方的最值问题．
题型三 线性规划的实际应用
【例3】 某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0．3x＋0.1y＝1.8的交点．
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
方法点评：充分利用已知条件，找出不等关系，画出适合条件的平面区域，然后在该平面区域内找出符合条件的点的坐标．实际问题要注意实际意义对变量的限制．必要时可用表格的形式列出限制条件．
3．某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1 kg要用煤9吨，电力4 kW，劳力(按工作日计算)3个；制造乙产品1 kg要用煤4吨，电力5 kW，劳力10个．又知制成甲产品1 kg可获利7万元，制成乙产品1 kg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200 kW，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？
利润目标函数为z＝7x＋12y.
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如下图)．
作直线l：7x＋12y＝0，把直线l向右上方平移至l1位置时，直线l经过可行域上的点M时，此时z＝7x＋12y取最大值．答：应生产甲种产品20千克，乙种产品24千克，才能获得最大经济效益．
误区解密 凭空而想，没抓住问题本质致误
因为x、y为整数，而离点A最近的整点是C(1,2)，这时S＝13，所以所求的最大值为13.
错因分析：显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S＝14，故上述解法不正确．
对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点．
而要先对边界点作目标函数t＝Ax＋By的图象，则最优解是在可行域内离直线t＝Ax＋By最近的整点．
正解：与错解中第一段解题过程相同．
因为x，y为整数，所以当直线5x＋4y＝t平行移动时，从点A起第一个通过的可行域的整点是B(2,1)，此时Smax＝14.
1．常见的几种目标函数的最值的求法： ①利用截距的几何意义；②利用斜率的几何意义；③利用距离的几何意义．往往是根据题中给出的不等式，求出(x，y)的可行域，利用(x，y)的条件约束，数形结合求得目标函数的最值．
课堂总结2．线性规划应用题主要体现在两个方面：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．通常是根据题意设出决策变量，找出线性规划的约束条件和线性目标函数，再利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大(或最小)．课件27张PPT。基本不等式 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1ab1、正方形ABCD的
面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿＿３、S与S’有什么
样的不等关系？ 探究１：S___>__S′问：那么它们有相等的情况吗？
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab思考：你能给出不等式 的证明吗？证明：（作差法） 结论：一般地，对于任意实数a、b，总有
当且仅当a=b时，等号成立文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 适用范围：a,b∈R问题一问题一替换后得到： 即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？问题二证明：要证 只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分析法问题二证明不等式：特别地，若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数，
叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a, b表示CD? CD=______①如何用a, b表示OD? OD=______你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三②如何用a, b表示CD? CD=______①如何用a, b表示OD? OD=______③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD＞≥如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCaba=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式 例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x ，CD=y ， 则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m. 当且仅当 时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 此时x=y=10. x=yABDC若x、y皆为正数，
则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，
x+y有最小值_______.例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则 2(x + y)= 36 , x + y =18矩形菜园的面积为xy m2得 xy ≤ 81当且仅当x=y时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，
菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，
则当x+y的值是常数S时，
当且仅当x=y时，
xy有最大值_______；①各项皆为正数；
②和或积为定值；
③注意等号成立的条件.一“正”
二“定”
三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则篱笆的长为矩形花园的面积为xy m2ABDC得 144≥2xy 当且仅当 时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，
花园面积最大，最大面积是72m2即 xy ≤ 72即x=12，y=6x +2y= 24 x=2y变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则篱笆的长为矩形花园的面积为xy m2ABDCx + y不是 定值.2=24为 得 2xy ≤ 144当且仅当 时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，
花园面积最大，最大面积是72m2即 xy ≤ 72即x=12，y=6x +2y= 24 x=2y变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？分析：设AB=x ，BC=24－2x ， ABDC变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设AB=x ，BC=24－2x ， 矩形花园的面积为x(24－2x) m2当且仅当2x=24－2x,即x=6时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，
花园面积最大，最大面积是72m2(其中2x+(24-2x)=24 是定值)变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设AB=x ，BC=24－2x ， 矩形花园的面积为x(24－2x) m2因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，
花园面积最大，最大面积是72m2当x=6时，函数y取得最小值为72小结：求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”2. 利用基本不等式求最值1. 两个重要的不等式作 业课本P100
习题3.4 A组 第2、3题 思考题2. 若 0第1课时 基本不等式
1．重要不等式：对于任意实数a、b，有a2＋b2 2ab，当且仅当 时，等号成立．
2．基本不等式：如果a，b∈R＋，那么 ，当且仅当 时，等号成立．其中 为a、b的 ，
为a、b的 ．所以两个正数的 平均数不小于它们的 平均数．
≥a＝b≤a＝b算术平均数几何平均数算术几何2
2
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是 ( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
解析：a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a＝1时，等号成立．
答案：B2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，则下列各式最大的是( )
A．2ab B．2
C．a＋b D．a2＋b2
答案：C答案：A≥G解析：分x>0和x<0讨论．
答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)[答案] B解析：A、C符合基本不等式，可以运用基本不等式作理论依据．D拆项后为 ，符合基本不等式，只有B，因给出a∈R，所以需讨论．故答案为B.
答案：B[点评] 根据均值不等式与对数的运算法则，利用不等式的传递性，即可得到三个式子的大小关系．答案：C[点评] 本题的证题思想非常重要，证明其他不等式时有时用到．迁移变式3 已知a、b、c、d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.[点评] 本题除了正确使用基本不等式外，还要注意“1”的整体代换，上式中还必须保证三个“＝”号同时成立．课件33张PPT。
第2课时 基本不等式的应用
3．运用以上结论求最值要注意下列三个问题：
(1)要求各数均为正数；
(2)要求“和”或“积”为定值；
(3)要注意是否具备等号成立的条件．简称“ ”．二定、三相等一正、1．若x>4，则函数y＝x＋ ( )
A．有最大值－6 B．有最小值6
C．有最大值2 D．没有最小值答案：B答案：B答案：B4．不等式y＝x(1－3x)(0[例4] 如图1所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[分析] 设每间虎笼长x m、宽y m，则问题(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值，而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值．因此，使用基本不等式解决即可．迁移变式4 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．答案：20
1．使用均值不等式求最值、证明不等式要注意使用的前提条件有三条：一正(各数为正)、二定(和或积为定值)、三相等(等号在允许取值的范围内能取到)，要熟练掌握均值不等式的各种变形．
2．在一个题目中，若多次使用均值不等式，取等号的条件要求很严格，即每次使用均值不等式等号都成立且字母取值保持一致．3．对于不满足基本不等式结构的函数，可以通过因式分解、通分等手段转化成为和为定值或积为定值的结果．
4．求函数y＝ ＋bx(a>0，b>0)的最值要掌握，特别是应用均值不等式等号不成立时，要用单调性的方法来研究最值．
5．应用基本不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围．课件28张PPT。章 末 归 纳 整 合知识网络1．不等式的基本性质
不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式性质进行论证时，要注意每一个性质的条件，不要盲目乱用或错用性质，特别是乘法性质容易用错，要在记忆基础上加强训练，提高应用的灵活性．
2．一元二次不等式的解法及其应用
要点归纳一元二次不等式的解集可以通过两种方法求解，第一种方法是结合该一元二次不等式所对应的二次函数图象给出，第二种方法是将原不等式转化求与它同解的一元一次不等式组的交集去解决．
第一种方法意在让我们通过函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系，充分注重数形结合，得出一般的一元二次不等式解集，它适用于任何一元二次不等式．对于这种方法一定要有深刻的认识与体会，要从图象上真正把握其内在的本质，自己找出不等式解所对应的区间．
(2)最大(小)值定理：两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值．
要通过自己的思考与尝试加深对均值不等式最大(小)值定理的正确理解，在使用均值不等式与最大(小)值定理求某些函数的最值时，要特别注意定理成立的条件是否具备，如均值不等式中的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可．
(3)利用基本不等式求实际问题中最值的一般步骤
①认真分析理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大值或最小值(有时还需要进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数，凑出“正数”、“定值”、“相等”三个条件)；
④给出问题的答案．
4．二元一次不等式(组)表示平面的区域与线性规划
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线(画成虚线)．Ax＋By＋C≥0在平面直角坐标系中所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线(画成实线)．(2)确定二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中所表示的平面区域的判断方法：
由于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)来说，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以Ax0＋By0＋C的正负情况便可判断Ax＋By＋C>0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．
(3)二元一次不等式组表示的平面区域，就是这个不等式组的各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．
(4)解决线性规划问题最大的困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．主要障碍有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍及题目本身文字过长等因素，解题时要认真分析理解题意，能够抓住问题本质特征，要根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题，然后利用图解法求出最优解，作为突破这个难点的关键．对于寻找整点最优解的问题，还可以利用计算机辅助解决．
题型一 一元二次不等式的解法
解一元二次不等式一定要注意，二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系，二次函数图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程的根，二次函数图象在x轴上方，表示函数值大于0，这时x的范围就是不等式ax2＋bx＋c>0的解集；二次函数图象在x轴下方，表示函数值小于0，这时x的范围就是ax2＋bx＋c<0的解，解不等式是应该把二次函数图象画出来，用数形结合的思想方法解题．
要点整合【例1】 解不等式－1由①得x(x＋2)>0，所以x<－2或x>0；
由②得(x＋3)(x－1)≤0, 所以－3≤x≤1.
方法点评：(1)本例中端点值能否取到易搞错，“＝”号易漏掉．(2)利用转化思想及数轴可以准确地找出不等式的解集．
题型二 简单线性规划在实际问题中的应用
(1)解线性规划问题的关键步骤是画图，所以作图要尽可能地准确，图上操作尽可能的规范．(2)因为作图存在误差，若图上的最优点并不明显易辨，可求出可能是最优解的点的坐标，然后逐一检查、确定最优解．
在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
【例2】 某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A，B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？
作直线l：2x＋3y＝0，把直线向右上方平移，
答：两种金属板各取5张时，用料面积最省．
方法点评：本题属于给定一项任务，问怎样统筹安排才能使完成这项任务的人力、物力资源量最小的题型．解答这类问题的方法是：根据题意列出不等式组(约束条件)，确定目标函数，然后由约束条件找出可行域，最后利用目标函数的平移，在可行域内求出使目标函数达到最值的点，从而求出问题的最优解．
题型三 基本不等式与最值
应用基本不等式求最大(小)值，关键在于“一正二定三相等”．也就是：(1)一正：各项必须为正．(2)二定：要求积的最大值，则其和必须是定值；要求和的最小值，则其积必须是定值．(3)三相等：必须验证等号是否成立．
【例3】 已知：3a2＋2b2＝5，试求：y＝(2a2＋1)(b2＋2)的最大值．
【例4】 某农场有一废弃的猪圈，留有一面旧墙长12 m，现准备在该地区重新建一个猪圈．平面图为矩形，面积为112 m2，预计：(1)修复1 m旧墙的费用是建造1 m新墙费用的25%，(2)拆去1 m旧墙用以改造建成1 m新墙的费用是建1 m新墙的50%，(3)为安装圈门，要在围墙的适当处留出1 m的空缺．试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小．
设建造1 m新墙需a元，则这里建造围墙的总造价
因此修复的旧墙约为11.3 m，拆除改建成新墙的旧墙约为0.7 m，这样建造的总造价最小．
方法点评：在使用极值定理求函数的最大或最小值时，要注意以下几点：①x，y都是正数；②积xy(或和x＋y)为定值；③x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足(积)(或和)为定值．