2021-2022学年北师大版八年级数学上册1.1 探索勾股定理 同步练习(word版含解析)

北师大版 1.1 探索勾股定理
一、选择题（共14小题）
1. 如图所示，在 中，，，点 ， 是中线 上的两点，则图中阴影部分的面积是
A. B. C. D.
2. 一个直角三角形的斜边长比一条直角边长多 ，另一条直角边长 ，那么这个直角三角形的斜边长
A. B. C. D.
3. 在 中，若 ，则
A. B.
C. D.
4. 如图，在 中，． 中 边上的高等于 的长度， 中 边上的高等于 的长度． 中 边上的高等于 的长度，且 ， 的面积分别是 和 ，则 的面积是
A. B. C. D.
5. 如图，小方格都是边长为 的正方形，则 中 边上的高是
A. B. C. D.
6. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形 ，， 的面积依次为 ，，，则正方形 的面积为
A. B. C. D.
7. 在 中，已知其两直角边长 ，，那么斜边 的长为
A. B. C. D.
8. 已知直角平面内点 ，，那么线段 的长等于
A. B. C. D.
9. 有一个边长为 的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图形状，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是
A. B. C. D.
10. 在 中，， 是 上异于 ， 的一点，则 的值是
A. B. C. D.
11. 图 是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点 的直角三角形（如图 所示）演化而成的．如果图 中的 ，那么 的长为
A. B. C. D.
12. 如图，在四边形 中，，，，．分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，交 于点 ．若点 是 的中点，则 的长为
A. B. C. D.
13. 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”． 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是
A. B.
C. D.
14. 如图，在 中，，，， 是 的平分线．若 ， 分别是 和 上的动点，则 的最小值是
A. B. C. D.
二、填空题（共7小题）
15. 如图，在 中，，点 在边 上，， 平分 交 于点 ．若 ，，则 的长为 ．
16. 一直角三角形有两边长分别为 和 ，则第三边长为 ．
17. 直角坐标平面内的两点 ， 的距离为 ．
18. 如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中 ，，，小明蒙上眼睛用棍子敲击锣面，他击中阴影部分的概率是 ．
19. 如图， 中，，点 为 边上的一点，延长 至点 ，使得 ，当 时，过 作 于 ，，，则 面积为 ．
20. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图①所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图②所示），则该凸六边形的周长是 ．
21. 如图，在 中，已知 ，，垂足为 ，．若 是 的中点，则 ．
三、解答题（共6小题）
22. 如图，在四边形 中，，，，．分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，交 于点 ，点 是 的中点．
（1）求证：；
（2）求 的长．
23. 如图，以直角三角形的三边分别作正方形．证明：．
24. 如图，在 中，，，，求 的长及 的面积．
25. 如图，在 中，，，，求 的长．
26. 已知 的面积为 ，斜边长为 ，两直角边长分别为 ，．求代数式 的值．
27. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的 倍的三角形叫常态三角形．例如：一个三角形的三边长分别是 ， 和 ，因为 ，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若 的三边长分别是 ， 和 ，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是”）；
（2）若 是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 （从小到大排列）；
（3）如图，在 中，，，，若 是常态三角形，求 的面积．
答案
1. A
【解析】，， 是 的中线，
，，
，，
，
故选：A．
2. C
3. D
【解析】 在 中，若 ，
，
，
故选：D．
4. A
【解析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 延长线于 ，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
为直角三角形，
，
5. B
【解析】，
，
中 边上的高 ．
6. A
【解析】设中间正方形为 ，
正方形 ，， 的面积依次为 ，，，
由勾股定理得 ， 的面积和等于 的面积，， 的面积和等于 的面积，
故 的面积为 ．
7. D
8. B
9. A
10. B
【解析】过点 作 于 ．
，，
，，，
故选：B．
11. A
【解析】因为 ，
所以由勾股定理可得 ，
，
，
所以 ，
所以 ．
12. A
【解析】如图，连接 ，
则 ．
因为 ，
所以 ．
在 与 中，
所以 ，
所以 ，
所以 ，．
在 中，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
13. B 【解析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，
14. C
【解析】如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，
是 的平分线，
，这时 有最小值，即 的长度，
，，，
，
，
，
即 的最小值为 ．
15.
【解析】在 中，，，，
由勾股定理，得 ，
．
， 平分 交 于点 ．
．
16. 或
【解析】第三边可能是直角边或斜边，若是直角边，其长为 ；若是斜边，其长为 ．
17.
18.
【解析】，，，
由勾股定理得 ，
，
小明蒙上眼晴用棍子敲击锣面，他击中阴影部分的概率是 ．
19.
【解析】，
，
，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，
在 中，
，
解得：，
即 ，
，
过点 作 于点 ，如图，
在 和 中，
，
，，
，
设 ，
在 中，，
解得：，
即 ，
．
20.
21.
【解析】设 ，，
，
，
，
在 中，，
，
在 中，，
．
22. （1） ，
，
，，
，
．
（2） 连接 ，
易证 垂直平分 ，
，
由（）知 ，
，．
在 中，
，
，
，
．
23. 由题知 ，，，
又 ，
．
24. ，
．
25. ．
26. 的面积为 ，
，
解得 ，
根据勾股定理得：，
．
27. （1） 是
（2）
（3） 设 ，则 ，
若 是常态三角形，则有以下两种可能．
①当 时，，
所以 ，，
由勾股定理得 ，
则 ．
②当 时，，
所以 ，，
由勾股定理得 ，
则 ．
所以 的面积为 或 ．