21.1 一元二次方程 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
21.1一元二次方程
21.1 一元二次方程
情景引入
雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗？
21.1一元二次方程
导入新课 在设计人体雕像时，使雕像的上部 AC (腰以上)与下部 BC (腰以下)的高度比，等于下部 BC 与全部 AB (全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，假设如图所示的雕像高 AB 为 2 m，下部 BC = x m，请列出方程.
A
C
B
解：列方程得
整理得　x 2 + 2x - 4 = 0．①
x 2 = 2(2 - x )，
想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？
x m
(2 - x) m
等量关系：
AC∶BC = BC∶AB
即 BC2 = AB AC
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问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm，
根据方盒的底面积为3600cm2，得
化简，得
(100-2x)(50-2x)=3600.
x2-75x+350=0. ②
x
x
100cm
50cm
3600cm2
方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？
21.1一元二次方程
一元二次方程的概念
讲授新课
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛
解：设比赛组织者应邀请 x 个队参加比赛，根据题意，列方程：
化简，得
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
③
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观察与思考
方程 ① ② ③ 有什么共同点？
(1) 方程的两边都是整式；
(2) 都只含一个未知数；
(3) 未知数的最高次数都是 2.
x2 - 75x＋350 = 0 ②
x2 + 2x - 4 = 0 ①
x2 - x = 56 ③
21.1一元二次方程
等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做
一元二次方程.
一元二次方程的概念
ax2 + bx + c = 0 (a≠0).
ax2 是二次项， a 是二次项系数；
bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项.
一元二次方程的一般形式是
21.1一元二次方程
想一想：为什么一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a≠0？b，c 可以为 0 吗？
当 a = 0 时，
bx＋c = 0，
当 a≠0，b = 0 时，
ax2＋c = 0，
当 a≠0，c = 0 时，
ax2＋bx = 0，
当 a≠0，b = c = 0 时，
ax2 = 0，
总结：只要满足 a≠0 即可，b，c 可以为任意实数.
不符合定义；
符合定义；
符合定义；
符合定义．
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例题讲解
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简为 x2 - 3x + 2 = 0
化简为 4x2 -1 = 4x2 +12x + 9
判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断.
提示
21.1一元二次方程
判断下列方程是否为一元二次方程：
(2) x3 + x2 = 6；
(3) x + 3y = 36；
(5) x -2 1 = 0；

×
×
×
×

×
×
(1) x2 -2 x = 3；
注意：未限定 a ≠ 0
21.1一元二次方程
例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？
(1) ax2－x = 2x2；
(2) (a－1) x |a| + 1－2x－7 = 0.
解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，
所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程.
(2) 由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时，
原方程是关于 x 的一元二次方程.
方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解．
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变式 已知方程 (2a－4)x2 2bx + a = 0.
（1）在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为关于 x 的一元一次方程？
解：(1) 当 2a 4 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，是关于 x 的一元二次方程.
(2) 当 a = 2 且 b ≠ 0 时，是关于 x 的一元一次方程.
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一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点 不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax = b (a ≠ 0)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
都是整式方程，且只含有一个未知数
未知数次数只能是 1
未知数的最高次数是 2
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例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2 - 3x = 5x + 10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 - 8x - 10 = 0.
其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10.
系数和项均包含前面的符号.
注意
21.1一元二次方程
一元二次方程的根
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根
– 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
x2 – x – 6
14
6
0
– 4
– 6
– 6
– 4
0
6
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例4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值.
解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0.
方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值.
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变式 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值.
解：由题意得
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解.
21.1一元二次方程
问题 在一块宽 20 m、长 32 m 的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路 (两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直)，把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.
如图，要使花坛的总面积为
570 m2，小路的宽应为多少
呢？
32
20
一元二次方程应用
21.1一元二次方程
1. 若设小路的宽是 x m，则横向小路的面积是_____m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2.
思考：
32x
2×20x
2x2
2. 由于花坛的总面积是 570 m2. 你能根据题意，列出方程吗？
整理以上方程，可得
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2 = 570，
x2－36x＋35 = 0.
32
20
x
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32
20
32-2x
20-x
想一想：
还有其它的列法吗？ 试说明理由.
(20－x)(32－2x) = 570.
整理以上方程，可得
x2－36x＋35 = 0.
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1. 下列哪些是一元二次方程？
是
不是
是
不是
不是
是
3x + 2 = 5x - 2；
x2 = 0；
(x + 3)(2x - 4) = x2；
3y2 = (3y + 1)(y - 2)；
x2 = x3 + x2 - 1；
3x2 = 5x - 1.
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随堂演练
2. 填表：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
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3. 关于 x 的方程 (k2 1)x2 ＋ 2(k 1)x＋2k＋ 2＝0，
当 k 　　时，是一元二次方程；
当 k 　　时，是一元一次方程．
≠±1
＝ 1
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4. (1) 已知方程 5x + mx 6 = 0 的一个根为 4，则 m 的
值为 ；
(2) 若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2－4 = 0
.有一个根为 0，求 m 的值
二次项系数不为零不容忽视
解：将 x = 0 代入方程得 m2 4 = 0，
解得 m = ±2.
∵ m + 2 ≠ 0，
∴ m ≠ 2.
综上可知 m = 2.
_____
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5. (1) 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程（其中 π 取 3）；
解：由于圆的半径为 x cm，故其面积为 3x2 cm2.
整理，得
根据题意，得
200 cm
150 cm
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(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆. 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x.
整理，得
根据题意，得
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课堂小结
一元二次方程
一元二次方程实际应用
一元二次方程的定义
一元二次方程的根
一元二次方程的一般形式
a x +b x+ c =0
使方程两边相等的未知数的值
1.整式
2.一个未知数
3.最高次数为2
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