21.2.3 公式法 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
21.2.3 公式法
21.2.3 公 式 法
知识回顾
1.用配方法解一元二次方程的方法的步骤？
[答案](1)移项 (2)化1 (3)配方 (4)开方 (5)求解
2.如何用配方法解方程
2x2 + 4x - 1 = 0
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解：方程整理得
配方得
开平方得
解得
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想一想 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
能否也用配方法得出它的解呢？
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合作探究
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
方程两边都除以 a，得
解：移项，得
配方，得
即
问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？
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∵ a≠0，∴ 4a2 > 0.
而 b2－4ac 的符号有以下三种情况：
（1）b2－4ac ＞0，
这时 ＞0，由①得
则方程有两个不相等的实数根
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（2）b2 - 4ac = 0，
这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = - .
（3）b2 - 4ac ＜0，
这时 ＜0，由①可知 ＜0，而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根.
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两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 4ac.
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
Δ≥0
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由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式.
注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当 Δ = b2 - 4ac≥0 时，才可以用求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
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例题讲解
例1　用公式法解下列方程：
　 （1） x 2 - 4x - 7 = 0； （2）　　　　　　　；
解：(1)a＝1，b＝－4，c＝－7.
即
1.确定系数；
2.计算Δ ；
3.代入 ；
4.定根 ；
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0.
方程有两个不等的实数根
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(2) a＝2，b＝ ，c＝1.
Δ＝b2－4ac＝ －4×2×1＝0.
方程有两个相等的实数根
1.确定系数；
2.计算Δ ；
3.代入 +4.定根；
解：
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方程化为5x2－4x－1＝0.
a＝5，b＝－4，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.
方程有两个不等的实数根
即
1.确定系数；
2.计算Δ ；
3.代入 ；
4.定根 ；
提示：方程必须要转化成一般形式才能确定系数
(3) 5x2－3x = x + 1；
解：
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解：方程化为x2－8x＋17＝0.
提示：方程必须要转化成一般形式才能确定系数
1.确定系数；
2.计算Δ ；
3.定根 ；
a＝1，b＝－8，c＝17.
Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0.
方程无实数根．
(4) x2 + 17 = 8x.
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要点归纳
公式法解方程的步骤
1. 变形：化已知方程为一般形式；
2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数；
3. 计算：b2 4ac 的值；
4. 判断：若 Δ = b2 4ac≥0，则利用求根公式求出；
若 b2 4ac＜0，则方程没有实数根.
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例2 k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有两个不相等的实数根？
导引：已知方程有两个不相等的实数根，则该方程的Δ>0，
用含k的代数式表示出Δ，然后列出以k为未知数的不等式，
求出k的取值范围．
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解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程，
∴k≠0.方程根的判别式
Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k.
由144－36k>0，求得k<4，又 k≠0，
∴当k<4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．
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1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2 + 3x 4 = 0； （2）x2 x + = 0；
解：（1）a = 2，b = 3，c = 4，
∴ Δ = b2 4ac = 32 4×2×( 4) = 41＞0.
∴ 方程有两个不等的实数根．
（2）a = 1，b = 1，c = ，
∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1× = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
随堂练习
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解：x2 x + 1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，
∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1×1 = 3 < 0.
∴ 方程无实数根．
（3） x2 x + 1 = 0.
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2. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0.
解：a = 1，b = 7，c = 18，
∴ Δ = b2 - 4ac = 72 – 4×1×( 18 ) = 121 > 0，
即 x1 = 9， x2 = 2 .
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3. 解方程：(x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号，得 x - 2 - 3x2 + 6x = 6，
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0，
a = 3，b = -7，c = 8，
∴ Δ = b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96
= - 47 < 0，
∴ 原方程没有实数根.
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4. 解方程：2x2 - x + 3 = 0.
解： a = 2，b = ，c = 3 .
∴ Δ = b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ，
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5. (1) 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 .
(2) 若关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围.
解：化为一般式，得 (m 1)x2 2mx + m 2 = 0．
Δ = 4m2 4(m 1)(m 2)≥0，且 m 1≠0.
解得
且 m≠1.
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6. 不解方程，判断关于 x 的方程
的根的情况.
解：
∴ 原方程有两个实数根．
Δ ＝( k )2 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
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课堂小结
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）
务必将方程
化为一般形式
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