21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
知识回顾
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
(1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0.
一元二次方程 两 根
x1 x2 x2 + 3x - 4 = 0
x2 - 5x + 6 = 0
2x2 + 3x + 1 = 0
-4
1
2
3
-1
-3
-4
5
6
将二次项系数化为 1
想一想 方程的两根 x1 和 x2 与系数 a，b，c 有什么关系？
算一算 解下列方程并完成填空：
x1 + x2 = ？
x1·x2 = ？
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
（1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
猜一猜
重要发现
方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p， x1·x2 = q
新课讲解
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
猜一猜
（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以发现什么结论？
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证一证：
注：b2 - 4ac≥0
↗
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一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么
注意
满足上述关系的前提条件
b2 - 4ac≥0.
知识归纳
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 – 6x – 15 = 0；
解： a = 1，b = – 6， c = – 15.
Δ = b2 - 4ac = ( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1， x2，那么
x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15.
例题讲解
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（2）3x2 + 7x - 9 = 0；
x1 + x2 = ， x1 x2 =
解：a = 3，b = 7，c = -9.
Δ = b2 4ac = 72 – 4×3×( 9 ) = 157 > 0，
∴ 方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
（3） 5x – 1 = 4x2.
解：方程可化为 4x2 – 5x + 1 = 0.
a = 4，b = – 5，c = 1.
Δ = b2 4ac = ( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0.
∴ 方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
x1 + x2 = ，x1 x2 = .
在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判断是否 Δ≥0，如是则代入 a、b、c 的值即可.
归纳
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.
解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2.
所以 x1·x2 = 2x2 = ，
即 x2 =
由于 x1 + x2 = 2 + = ，
解得 k = -7.
答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7.
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变式：已知关于 x 的方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1= 1.
所以 x1 + x2 = 1 + x2 = 6，
即 x2 = 5 .
由于 x1·x2 = 1×5 = ，
解得 m = 15.
答：方程的另一个根是 5，m 的值为 15.
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例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则
(1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ；
(3) ； (4) .
4
1
14
12
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
归纳
练一练
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
常见的求值式子如下：
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例4 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0，
即 -8k + 4≥0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2
= 2k2 - 8k + 4 = 4.
解得 k1 = 0，k2 = 4.
∵ ，∴ k = 0.
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1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另 一个根是___，m =____.
-3
2x1x2
2.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则
(1) x1+x2 = _____ , x1x2 = _______，
(2) x12+x22 = (x1+x2)2 - ________ = ______,
(3) (x1-x2)2 = (______)2 - 4x1x2 = _______.
4
1
14
12
x1+x2
随堂练习
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
3.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：(1)这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
（2）这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，
且（x1+1)(x2+1)=4；
（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以
则：
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一元二次方程的根与系数的关系
内 容
如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么
应 用
……
课堂小结
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