22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
学习目标
1. 正确理解抛物线的有关概念；（重点）
2. 会用描点法画出二次函数 y = ax 的图象，概括图象的特点；（难点）
3. 掌握二次函数 y = ax 的图象和性质，并会应用.
（难点）
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
讲授新课
画出 y = x2 的图象.
合作探究
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以取任意实数.
列表表示几组对应值：
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y).
3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到
y = x2 的图象．
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
-3
3
O
3
6
9
x
y
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点，
它是抛物线的最低点，
为 (0，0).
这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是它的对称轴.
二次函数 y =x2 的图象是一条曲线，形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线 y = x2.
当取更多个点时，二次函数 y = x2 的图象如下：
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
根据你以往学习函数图象特征的经验，说说二次函数 y = x2 的图象有哪些特征，并与同伴交流.
议一议
x
O
y=x2
y
1. y＝x2 的图象是一条抛物线；
2. 图象开口向上；
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0 ，0)；
5. 图象有最低点．
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
1
2
-2
O
-1
1
4
x
y
(-2，4)
(-1，1)
(2，4)
(1，1)
3
2
问题：观察二次函数 y = x2 的图象，y 随 x 的如何变化？
从二次函数 y = x2 的图象
可以看出：
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大.
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
例1 在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
解：列表如下：
x ··· 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
描点、连线，如图所示：
x
y
y = 2x2
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
(2) 当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
x
y
y = 2x2
当 a＞0 时，a 越大，开口越小.
思考：(1) 函数 的图象与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？
共同点是开口向上，对称轴是 y
轴，顶点是原点，也是抛物线的
最低点；不同点是开口大小不同，
二次项系数大的开口反而小.
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
对于抛物线 y = ax2 (a＞0)：
抛物线开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a 越大，即 | a |越大，抛物线 y = ax2 的开口就越小.
知识要点
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
合作探究
解：列表如下.
x … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 …
y=-x2 … 　 　 　 　 　 　 …　
… …
9
4
1
0　
1
9
4
8
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
4.5
16
16
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
x ··· 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
4.5
8
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
O
2
2
-2
-4
-6
4
4
-8
描点、连线，如图所示.
x
y
y = -2x2
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
思考 (1)观察函数 的图象，这些抛物线有什么相同点和不同点？
2
2
-2
-4
-6
4
4
-8
x
y
y = -2x2
O
当 a＜0 时，a 越小，抛物线的开口越小.
共同点是开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点；不同点是
开口大小不同，二次项系数越小，抛物线的开口越小.
(2) 当 a＜0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
对于抛物线 y = ax2 (a＜0)：
抛物线开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，即 | a |越大，抛物线 y = ax2 的开口越小.
知识要点
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
问题：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？
y
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
从二次函数 y = -x2 的图象可以看出：
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小.
(2， 4)
( 2， 4)
(3， 9)
( 3， 9)
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
y＝ax2 a > 0 a < 0
图象
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
开口向上
开口向下
| a | 越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点(0，0)
当 x = 0 时，y最小值 = 0
当 x = 0 时，y最大值 = 0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
归纳总结
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
观察下列图象，抛物线 y = ax2 与 y = ax2
(a＞0) 的关系是什么？
二次项系数互为相反数时， 开口方向相反，开口大小相同，它们关于 x 轴对称.
x
y
O
y = ax2
y = ax2
交流讨论
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
3. 函数 y = x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，
顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；
2. 函数 y = 3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；
1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；
向上
向下
y 轴
y 轴
(0，0)
(0，0)
4. 函数 y = 0.2x2 的图象的开口 ，对称轴是____，顶点是 .
向上
y 轴
(0，0)
向下
y 轴
(0，0)
高
低
练一练
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
例2 已知二次函数 y = x2．
(1) 点 A(2，4) 在二次函数图象上吗？
典例精析
解：当 x = 2 时，y = 22 = 4，
所以点 A(2，4) 在二次函数图象上.
解：点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标为 (2， 4)，
关于 y 轴的对称点 C 的坐标为 ( 2，4).
(2) 请分别写出点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标，关于 y 轴的对称点 C 的坐标；
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
(3) 点 B、C 在二次函数 y = x2 的图象上吗？在二次函数
y = x2 的图象上吗？
解：由 (2) 可知，B (2， 4) ，C ( 2，4).
当 x = 2 时，y = 22 = 4，
所以点 B 在二次函数 y = x2 的图象上；
当 x = 2 时，y = ( 2)2 = 4，
所以点 C 在二次函数 y = x2 的图象上．
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
例3 已知 y = (m + 1)x 是二次函数，且其图象开口向上，求 m 的值和函数解析式.
m2+m
解：依题意有
m + 1 > 0， ①
m2 + m = 2. ②
解②得 m1 = －2，m2 = 1.
由①得 m > －1.
∴ m = 1.
此时，二次函数的解析式为 y = 2x2.
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
例4 已知二次函数 y＝ax2.
(1) 若 a = 2，点( 2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，
则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)；
＜
(2) 若 a＞0，点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，
则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)；
(3) 若 a＜0，点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数
的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.
＜
y1＞y2＞y3
分析：(1)将 x = -2，3 分别代入 y = 2x2，得出 y1，y2 的值，再比较大小.
(2)根据 a＞0，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大得出结论.
(3)画出草图，在图象上标出 y1，y2，y3，直观得出结论.
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
当堂练习
1、函数y=2x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
2、函数y=-3x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
减小
减小
增大
增大
x
x
y
y
O
O
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
3、已知抛物线y＝ax2(a＞0)经过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(　　).
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
C
当堂练习
4、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是 .
x
y
k>1
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
5、若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 .
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 .
抛物线在x轴的 方（除顶点外）.
（4）若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1则y1 y2.
2
y轴
向上
（0,0）
小
上
>
当堂练习
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
当堂练习
6、 [ 易错题] 已知函数y=（m+2）xm2+m-4 是关于x 的二次函数.
(1)求满足条件的m 的值.
(2)当m 为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
(3)当m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y 随x 的增大而减小？
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
当堂练习

22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
当堂练习
(3)若函数有最大值，则抛物线的开口向下，
∴ m+2<0，即m<-2. ∴ m=-3.
∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，顶点坐标为（0，0），
∴当m=-3 时，函数有最大值0. 当x>0 时，y 随x 的增大而减小.
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质
课堂小结
二次函数
y = ax2 的图象及性质
画法
描点法
在对称轴两侧对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4 个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
22.1.2 二次函数 y = ax 的图像和性质