22.1.3.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
22.1.3.3 二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象和性质
二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象和性质
学习目标
1. 会用描点法画出 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象；
2. 掌握二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象和性质并会应用；(重点）
3. 理解二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0) 之间的联系.（难点）
22.1.3.3 二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象和性质
(1) y = ax2；
(2) y = ax2 + k；
(3) y = a(x - h)2.
复习引入
1. 说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况：
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
x
x
O
O
22.1.3.3 二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象和性质
2. 请说出抛物线 y = -2x2 的开口方向、顶点坐标、对称 轴及最值.
3.把 y = -2x2的图象
向上平移3个单位长度
y=-2x2+3
向左平移2个单位长度
y=-2(x+2)2
4. 请猜测一下，二次函数 y = -2(x + 2)2 + 3 的图象是否可以由
y = -2x2 平移得到？学完本课时你就会明白.
开口向上，顶点坐标是 (0，0)，对称轴是 y 轴，y最大值 = 0
22.1.3.3 二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象和性质
例1 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
探究归纳
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…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解：先列表；
再描点、连线.
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
2
4
x
-2
-4
-6
y
O
-2
-4
直线 x = -1
开口向下；
对称轴是直线 x = -1；
顶点坐标是 (-1，-1).
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试一试
画出二次函数 y = 2(x + 1)2 - 2 的图象，并说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口向上；
对称轴是直线 x = -1；
顶点坐标是 (-1，-2).
-2
2
x
y
O
-2
4
6
8
-4
2
4
22.1.3.3 二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象和性质
二次函数 y = a( x - h )2 + k 的图象和性质
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 x = h 直线 x = h
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当 x = h 时，y最小值 = k 当 x = h 时，y最大值 = k
增减性 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小.
知识要点
22.1.3.3 二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象和性质
例2 二次函数 y＝ 2(x + 1)2 4，下列说法正确的是( )
A．图象开口向上
B．图象的对称轴为直线 x＝1
C．图象的顶点坐标为 (1，4)
D．当 x＜ 1 时，y 随 x 的增大而增大
D
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例3 已知抛物线 y＝a(x 3)2 + 2 经过点 (1， 2)．
（1）指出抛物线的对称轴；
（2）求 a 的值；
解：（1）由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)，
对称轴为直线 x＝3.
（2）∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)，
∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2，
∴ a＝-1.
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（3）若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，
试比较 y1 与 y2 的大小．
∴ y1＜y2.
解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2，
∴ 此函数的图象开口向下，
当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大.
∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，
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探究归纳
例4 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
向左平移1个单位长度
平移方法1
1 个单位长度
向下平移
2
4
x
-2
-4
y
O
-2
-4
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怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？
平移方法2
向左平移
向下平移
1个单位
1 个单位
2
4
x
-2
-4
y
O
-2
-4
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知识要点
二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系
图象的形状和开口方向均相同，可以通过互相平移得到.
y = ax2
y = ax2±k
y = a(x±h)2
y = a( x±h )2±k
上下
平移
左右
平移
上下
平移
左右
平移
平移规律(设 h＞0，k＞0)：
简记为：
上下平移，
常数项上加下减；
左右平移，
自变量左加右减.
二次项系数 a 不变.
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例5 将抛物线 y = 2x2 向左平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到的抛物线的解析式为 (　　)
A．y = 2(x 4)2 1 B．y = 2(x + 4)2 + 1
C．y = 2(x 4)2 + 1 D．y = 2(x + 4)2 1
B
22.1.3.3 二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象和性质
将抛物线 y＝5(x﹣1)2 + 1 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，则所得抛物线的解析式为(　　)
A．y＝5(x + 2)2 + 3 B．y＝5(x﹣4)2﹣1
C．y＝5(x﹣4)2 + 3 D．y＝5(x﹣3)2 + 4
变式训练
C
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当堂练习
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = 2(x＋3)2＋5
向上
(1，－2)
向下
向下
(3，7)
(2，－6)
向上
直线 x = －3
直线 x = 1
直线 x = 3
直线 x = 2
(－3，5)
y =－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y =－5(2－x)2－6
1. 完成下列表格：
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2. 抛物线 y = -3x2 + 2 的图象先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的抛物线解析式为_________________.
3. 抛物线 y = 2x2 不动，把 x 轴、y 轴分别向上、向左平移 3 个单位长度，则在新坐标系下，此抛物线的解析式为_______________.
y = 2(x - 3)2 - 3
22.1.3.3 二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象和性质
4. 已知函数 y＝﹣(x﹣4)2﹣1.
(3) 怎样移动抛物线 y＝﹣x2，就可以得到抛物线
y＝﹣(x﹣4)2﹣1
(1) 指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是 　
　 ，顶点坐标为　 　 ；
(2) 当 x　 　 时，y 随 x 的增大而减小；
向下
直线 x＝4
(4，﹣1)
＞4
解：将抛物线 y＝﹣x2 向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位就可以得到抛物线 y＝﹣(x﹣4)2﹣1.
22.1.3.3 二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象和性质
5. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0)．
(1) 求 a 的值；
(2) 若 A(m，y1)、B(m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系．
(1) 将 (3，0) 代入 y＝a(x－1)2－4， 得 0＝4a－4，
(2) 方法一:根据题意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵ y1＝y2，
∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵ n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得 2m＋n＝2.
解：
解得 a＝1.
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方法二：
∵ 抛物线 y＝a(x－1)2－4 的对称轴是直线 x = 1，
∴ 当 y1＝y 2 时，A、B 两点关于直线 x = 1 对称.
∴ ，化简，得 2m＋n＝2.
要点归纳：对于抛物线 y＝a(x－h)2 + k(a≠0) 上的两个不同点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，若 y1 = y2，则必有
，即 x1 + x2 = 2h.
22.1.3.3 二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象和性质
课堂小结
一般地，抛物线 y = a( x - h )2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0)
的形状相同，位置不同.
二次函数
y = a(x - h)2 + k (a ≠ 0) 的图象和性质
图象特点
当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下.
对称轴是 x = h，
顶点坐标是 (h，k)
平移规律
左右平移：自变量左加右减；
上下平移：常数项上加下减.
22.1.3.3 二次函数 y = a(x h)2 + k (a≠0) 的图象和性质