22.1.4.1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
学习目标
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x+h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
新课导入
y=a(x+h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
极值
向上
向下
(-h ,k)
(-h ,k)
x=-h
x=-h
当x<-h时，y随着x的增大而减小；当x>-h时，
y随着x的增大而增大.
当x<-h时,y随着x的增大而增大；当x>-h时，
y随着x的增大而减小.
x=-h时,y最小=k
x=-h时,y最大=k
抛物线y=a(x+h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
新课导入
顶点坐标 对称轴 最值
y=-2x2
y=-2x2-5
y=-2(x+2)2
y=-2(x+2)2-4
y=(x-4)2+3
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
(0,0)
y轴
0
(0,-5)
y轴
-5
(-2,0)
直线x=-2
0
(-2,-4)
直线x=-2
-4
(4,3)
直线x=4
3






22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
探究归纳
我们已经知道y=a(x+h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？
问题1 怎样将 化成y=a(x+h)2+k的形式？
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
配方可得
想一想：配方的方法及步骤是什么？
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
配方
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
答：平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
问题4 如何画二次函数 的图象？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，
得到图象如右图.
O
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质.
5
10
x
y
5
10
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
O
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
y ··· ···
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
解: 函数 通过配方可得 ，
先列表：
例1
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
2
x
y
-2
0
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
解：
试一试
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
顶点坐标 对称轴 最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-5
(1,3)
x=1
最大值1
(0,-1)
y轴
最大值-1
最小值-6
( ,-6)
直线x=
练一练
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x+h)2+k？
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
y=ax +bx+c
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x+h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线
故二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象都可以通过二次函数y=ax2的图象平移得到.
归纳总结
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质：
y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
开口方向 向上 向下
顶点坐标
对称轴 直线 直线
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(c为抛物线与y轴交点的纵坐 标)，当c＝0时，y＝ax2＋bx的图象必定经过原点，图象与x轴的另一个交点为
y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
增减性 当 时，y随x的增 大而减小；当 时，y随x的增大而增大 当 时，y随x的增
大而增大；当
时，y随x的增大而减小
最值 当 时，y有最小 值，为 当 时，y有最大
值，为
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .
D
例2
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k2x+b2
y=k3x+b3
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k2 0
b2 ___ 0
＞
＞
＜
k3 ___ 0
b3 ___ 0
＜
＞
＜
合作探究
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
x
y
O
问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在y轴左侧，x＜0
对称轴在y轴右侧，x＞0
x=0时，y=c.
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
x
y
O
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是y轴，x=0
对称轴在y轴右侧，x＞0
x=0时，y=c.
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号 图象的特征
a＞0 开口__________
a＜0 开口__________
b=0 对称轴为_____轴
a、b同号 对称轴在y轴的____侧
a、b异号 对称轴在y轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于_____半轴
c＜0 与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，那么abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中，值为正数的有(　　)
A．3个　　B．2个　 C．1个　　D. 0个
∵抛物线的开口向上，∴a＞0.
∵对称轴x＝ ＞0，∴b＜0.
又∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴abc＞0.
∵x＝ ＞1，∴－b＞2a，即2a＋b＜0.
∵当x＝1时，抛物线上对应的点在x轴的下方，
∴y＝a＋b＋c＜0.
综上所述，abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中，值为正数的只有abc.
C
导引：
例3
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
D
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
导引：由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x ＞ －1可得2a－b＜0，故②正确；
例4
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
(1)a决定抛物线的开口方向，简记为“正上负下”；
(2)c决定抛物线与y轴的交点位置，简记为“上正下负原点0”；
(3)a、b的符号共同决定对称轴x＝ 的位置，简记为：“左同右异y轴0”；可以由各项系数的符号来决定图象的位置，也可以由图象的位置来判断各项系数的符号．
总结
二次函数y＝ax2＋bx＋c的各项系数的符号与图象位置间的关系：
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
22.1.4.1二次函数 y=ax +bx+c的图象和性质