22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式
用待定系数法求二次函数的解析式
学习目标
1. 会用待定系数法求二次函数的解析式；(难点）
2. 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）
22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式
1. 一次函数 y = kx + b (k≠0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？
2. 求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1) 设：解析式
(2) 代：坐标代入
(3) 解：方程(组)
(4) 还原：写出解析式
知识回顾
22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式
探究归纳
问题 (1) 由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
3个
由两点 (连线不与坐标轴垂直) 的坐标，可以确定一次函数的解析式；类似地，由三点 (不在同一条直线上) 的坐标，可以确定二次函数的解析式.
讲授新课
(2) 如果一个二次函数的图象经过 ( 1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
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故所求二次函数解析式为 y = 2x2 3x + 5.
(2) 解：设所求二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c.
由函数图象经过 ( 1，10 )，(1，4)，(2，7) 三点，得关于 a，b，c 的三元一次方程组
解得
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想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上，其中两点的连线可垂直于 y 轴，但不可以垂直于 x 轴.
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例1 一个二次函数的图象经过 (0，1)、(2，4)、(3，10) 三点，求这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是 y = ax2 + bx + c，由于这个函数经过点 (0，1)，可得 c = 1.
又由于其图象经过 (2，4)、(3，10) 两点，可得
4a + 2b + 1 = 4，
9a + 3b + 1 = 10.
∴ 所求的二次函数的解析式是
解得
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这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
① 设函数解析式为 y = ax2 + bx + c；
② 代入已知的三点的坐标后得到一个三元一次方程组；
③ 解方程组得到 a，b，c 的值；
④ 把待定系数用所求得的值换掉，写出函数解析式.
归纳总结
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已知二次函数 y = a(x 1)2 + 4 的图象经过点 ( 1，0)，求这个二次函数的解析式.
试一试
则函数解析式为 y = (x 1)2 + 4，
即 y = x2 + 2x + 3.
解：把 ( 1，0) 代入二次函数解析式得
4a + 4 = 0，
即 a = 1.
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例2 一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的解析式.
解：∵ 这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8，9)，∴ 可设其解析式为 y = a(x - 8)2 + 9.
由其图象经过点 (0，1)，可得 1 = a(0 - 8)2 + 9.
解得
∴ 所求的二次函数的解析式是
即
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归纳总结
这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
① 设函数解析式是 y = a(x - h)2 + k；
② 先代入顶点坐标，得到只含一个参数 a 的解析式；
③ 将另一点的坐标代入解析式求出 a 的值；
④ 将 a 用所求得的值换掉，写出函数解析式.
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解：∵ (-3，0)，(-1，0) 是抛物线 y = ax2 + bx + c
与 x 轴的交点，
∴ 可设这个抛物线解析式为 y = a(x + 3)(x + 1).
再把点 (0，-3) 代入上式得
∴ a(0 + 3)(0 + 1) = -3，
解得 a = -1.
∴ 二次函数的解析式是 y = -(x+3)(x+1)，即 y = -x2-4x-3.
问题 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的解析式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-2
-4
1
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归纳总结
这种已知抛物线与 x 轴的交点，求解析式的方法叫做交点法. 其一般步骤是：
① 设函数解析式为 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分别是两交点的横坐标)；
② 将抛物线经过的第三点的坐标代入到解析式中，得到关于 a 的一元一次方程；
③ 解方程得出 a 值；
④ 将 a 用所求得的数值换掉，写出函数解析式.
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例3 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
(1) 图象经过点 A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线 x = 2；
解：∵ 图象经过点 A(1，0)，对称轴是直线 x = 2，
∴ 图象经过另一点 (3，0).
故可设该二次函数的解析式为 y = a(x 1)(x 3).
将点 (0， 3)代入，得
3 = a(0 1)(0 3)，
解得
a = 1.
∴ 该二次函数的解析式为
y = (x 1)(x 3) = x2 + 4x 3.
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(2) 图象顶点坐标是 ( 2，3)，且过点 (1， 3)；
解：∵ 图象的顶点为 ( 2，3)，且经过点 (1， 3)，
∴ 可设抛物线的解析式为 y = a(x + 2)2 + 3.
把 (1， 3) 代入，得 a(1 + 2)2 + 3 = 3.
解得
∴ 抛物线的解析式为
即为
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(3) 如图，图象经过 A，B，C 三点．
代入可得
解得
∴ 该二次函数的解析式为 y = x2 2x 3.
解：根据图象可知抛物线 y = ax2 + bx + c
经过 A( 1，0)，B(0， 3)，C(4，5) 三点，
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当堂练习
1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是
y = ax2、y = ax2 +k、y = a(x -h)2 与 y = a(x -h)2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
注意
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
2
1
-1
3
4
5
.
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2. 若抛物线过点 (2，4)，且当 x = 1 时，y 有最值为 6，则其解析式为 .
顶点坐标是 (1，6)
y = -2x2 + 4x + 4
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3. 已知二次函数的图象经过点 (－1，－5)，(0，－4) 和 (1，1)．
求这个二次函数的解析式．
解：设这个二次函数的解析式为 y＝ax2 ＋bx＋c.
依题意得
∴ 这个二次函数的解析式为 y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1.
c＝－4，
a－b＋c＝－5，
解得
b＝3，
c＝－4.
a＝2，
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4.下面是我们用描点法画二次函数的图象时所列表格的一部分：
x 3 2 1 0 1 2
y 0 1 0 3 8 15
试求出这个二次函数的解析式.
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① 选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 三点，试求出这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式是
y = ax2 + bx + c，把 (-3，0)，(-1，0)，
(0，-3) 代入 y = ax2 + bx + c 得
9a - 3b + c = 0，
a - b + c = 0，
c = -3.
解得
a = -1，
b = -4，
c = -3.
∴所求的二次函数的解析式是 y = -x2 - 4x - 3.
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5. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A(－1，0)，B(1，0)，且过点 M(0，1)，求此函数的解析式．
解：∵ 点 A(－1，0)，B(1，0) 是抛物线与 x 轴的交点，∴ 可设此函数的解析式为 y＝ a(x＋1)(x－1)．
又∵抛物线过点 M(0，1)，
∴ 1＝ a(0＋1)(0－1)，解得 a＝ －1.
∴ 所求抛物线的解析式为 y＝ －(x＋1)(x－1)，
即 y＝－x2 ＋1.
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6.已知一个二次函数有最大值 4，当 x＞5 时，y 随 x 的增大而 减小；当 x＜5 时，y 随 x 的增大而增大，且该函数图象经过
点 (2，1)，求该函数的解析式．
解：由题意得该二次函数图象的顶点坐标为 (5，4)，
设解析式为 y = a(x 5)2 + 4，把 (2，1) 代入，得 1 = 9a + 4，
解得
∴ 二次函数的解析式为
即
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7. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A(－4，－3)，与 y 轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题：
(1) 求抛物线的解析式；
解：把点 A (－4，－3) 代入 y＝x2＋bx＋c，
得 16－4b＋c ＝－3，即 c＝4b－19.
∵ 对称轴是 x＝－3，∴ ＝－3，
即 b＝6. ∴ c＝5.
∴ 抛物线的解析式是 y ＝ x2＋6x＋5.
x
y
O
x = -3
A
B
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(2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求△BCD 的面积．
解：∵ CD∥x 轴，∴ 点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称．
∵ 点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，
∴ 点 C 的横坐标为－7.
∴ 点 C 的纵坐标为 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵ 点 B 的坐标为 (0，5)，
∴ △BCD 中 CD 边上的高为 12－5＝7.
∴ △BCD 的面积为 ×8×7＝28.
x
y
O
x = -3
A
B
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课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与 x轴的两个交点
已知条件
选择适当的方法
用一般式法：y = ax2+bx+c
用顶点法：y =a(x - h)2 +k
用交点法：y = a(x -x1)(x -x2)
(x1，x2为与x轴交点的横坐标)
待定系数法
求二次函数解析式
22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式