21.3.3 一元二次方程的应用-几何问题 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
一元二次方程的应用（几何问题）
合作探究
引例：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？
27 cm
21cm
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
分析:这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右边衬的宽度
之比为 : .
9
9
解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为
9
7
7
7
27 cm
21cm
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
设上下边衬的宽均为 9x cm，左右边衬宽为 7x cm，则中央的矩形的长为 (27 18x) cm，宽为 (21 14x) cm.
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.
27 cm
21cm
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
于是可列出方程
解得
故上下边衬的宽为
故左右边衬的宽为
方程的哪个根
符合实际意义
为什么
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
整理，得 16x2 48x + 9 = 0.
27 cm
21cm
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
解2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得
解得
故上下边衬的宽度为
左右边衬的宽度为
27 cm
21cm
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x m. 则
例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
典例精析
还有其他列法吗？
方法一：
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x m. 则
20 x
32 x
(32 x)(20 x) = 540.
整理，得 x2 52x + 100 = 0.
解得 x1= 2，x2 = 50.
当 x = 50 时，32 x = 18，不合题意，舍去.
∴ 取 x = 2.
答：道路的宽为 2 m.
方法二：
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜20.
(32 x)(20 x) = 540，
可列方程为
变式一
x
20-x
32-x
答：道路的宽为 2 m.
解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
20
32
x
2x
20-x
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜16.
(32 2x)(20 x) = 540.
可列方程为
变式二
32-2x
解得 x1 = 18 -
x2 = 18 +
(舍去).
答：道路的宽为 (18 - ) m.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
20
32
2x
2x
32 2x
20 2x
在宽为 20 m，长为 32 m
的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜10.
(32 2x)(20 2x) = 540.
可列方程为
变式三
∴ x = 1.
答：道路的宽为 1 m.
解得 x1 = 1，x2= 25(舍去).
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为 3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少（保留两位小数）？
变式四
32 cm
20 cm
2x
3x
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
小路所占面积是矩形面积的四分之一
剩余面积是矩形面积的四分之三
解：设横、竖小路的宽度分别为 3x m、2x m，
于是可列方程
20 cm
32 cm
3x
2x
32 4x
(32 4x)(20 6x) = —×20×32.
4
3
3x
2x
6x
4x
32 4x
20 6x
20 6x
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我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
∴ x≈0.62，则 3x≈1.86，2x≈1.24.
解得 x1=
x2=
(舍).
答：横、竖小路的宽度分别约为 1.86 m、1.24 m.
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
(58 2x)x = 200，
整理得 x2 29x + 100 = 0. 解得 x1 = 25，x2 = 4.
当 x = 25 时，58 2x = 8；
当 x = 4 时，58 2x = 50.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 25 m，8 m 或 4 m， 50 m.
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？
D
C
B
A
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
(80 2x)x = 600.
整理得 x2 40x + 300 = 0，
解得 x1 = 10，x2 = 30.
当 x = 10 时，80 2x = 60 > 25(舍去)；
当 x = 30 时，80 2x = 20 < 25.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 30 m，20 m.
变式 如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用 80 m 的围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？
D
C
B
A
25 m
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
变式 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？
住房墙
1m
解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m，
由题意得 x(25 2x + 1) = 80，
解得 x1 = 5，x2 = 8.
当 x = 5 时，26 2x = 16 > 12(舍去)；
当 x = 8 时，26 2x = 10 < 12.
故所围矩形鸡场的长为 10 m，宽为 8 m.
则平行于住房墙的一边长 (25 2x + 1) m.
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围墙问题一般先设其中的一条边为 x，然后用含 x 的代数式表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解. 需要注意联系实际问题选择合适的解.
方法点拨
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随堂演练
1. 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(　　)
A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180
C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180
C
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2. 公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为(　　)
A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0
C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0
C
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3. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm ？
根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm,有
解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm .
解得 x1=x2=3
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm .
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4.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门.当所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80 m2
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
解:设矩形猪舍垂直于住房墙的一边的长为x m,可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m,由题意得x(25-2x+1)=80,
化简,得x2-13x+40=0,
解得x1=5,x2=8.
当x=5时,26-2x=16(m)>12 m(舍去);
当x=8时,26-2x=10(m)<12 m.
答:当所围矩形猪舍的长为10 m、宽为8 m时,猪舍面积为80 m2.
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课堂小结
几何图形问题与一元二次方程
几何图形
运用常见几何图形的
面积公式构建等量关系
类 型
课本封面问题
彩条/小路宽度问题
常采用图形平移聚零为整，方便列方程
动点面积问题
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