22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
抛物线形实物及运动轨迹问题
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
河上有座抛物线拱桥，如图所示，拱顶离水面高2m时，测得水面宽4m，若想了解水面宽度变化时.拱顶离水面高度怎样变化,你能建立模型来解决这个问题吗？
A
B
C
D
标突
标突
探索问题
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
分析：
根据题意，要求CD宽，只要求出ED的长度．在图示的直角坐标系中，即只要求出点D的横坐标．又因为点D在桥洞所成的抛物线上，故应先求出抛物线所对应的函数关系式.
C
D
A
B
E
探索问题
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
一座拱桥的纵截面是抛物线的异端，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米，如图．想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．
动脑筋
你能想出办法来吗？
4.9m
4m
2m
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线应当是某个二次函数的图象
你能想出办法来吗？
探索问题
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
我们来比较一下
（0，0）
（4，0）
（2，2）
（-2，-2）
（2，-2）
（0，0）
（-2，0）
（2，0）
（0，2）
（-4，0）
（0，0）
（-2，2）
谁最合适
y
y
y
y
o
o
o
o
x
x
x
x
动脑筋
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为
x
O
y
－2
－4
2
1
－2
－1
A
解决问题
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
x
O
y
－2
－4
2
1
－2
－1
A
如何确定a是多少？
已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上由此得出
解得
因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们可以了解到水面宽变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
解决问题
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
水面宽3m时， ，从而
因此拱顶离水面高1.125m
你是否体会到：从实际问题建立起函数模型，对于解决问题是有效的？
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？
解决问题
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
知识总结
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
将其代入
抛物线 y＝ x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 y＝ x2 + 2x + c 表示．
(1)请写出该抛物线的函数解析式；
解：根据题意，得 C (0，4).
∴ 抛物线解析式为 y＝ x2 + 2x + 4.
例题讲解
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
∴这辆货车能安全通过.
解：抛物线解析式为 y＝ x2 + 2x + 4
(x﹣6)2 + 10，
∴ 对称轴为 x＝6.
由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点坐标为 (2，0) 或 (10，0)，
当 x＝2 或 x＝10 时，y＝ ＞6，
6
2
10
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过 8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
解：令 y＝8，则
(x﹣6)2 + 10＝8，
，x2＝6﹣2
解得 x1＝6 + 2
则 x1﹣x2＝4
所以两排灯的水平距离最小是 4 m.
8
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度 y (m)与喷出水流离喷嘴的水平距离 x (m) 之间满足
(1) 喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
(2) 喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
解：
(1) 当 x = 2 时，有 y最大 = 2，故水流的最大高度是 2 m.
(2) 令 y = 0，即
解得 x1 = 0，x2 = 4.
即喷嘴喷出水流的最远距离为 4 m．
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
例3悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为 0.5 m.
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为 (0，0.5)，
故可设其对应的函数解析式为 y = ax2 + 0.5.
又抛物线经过点 (450，81.5)，代入上式，得
81.5 = a 4502 + 0.5. 解得
故所求函数解析式为
(1) 若以桥面所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数解析式；
y
x
O
-450
450
81.5
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
(2) 计算距离桥两端主塔分别为 100 m，50 m 处垂直钢索的长.
解：当 x = 450－100 = 350 时，得
当 x = 450－50 = 400 时，得
即距离桥两端主塔分别为 100 m，50 m 处垂直钢索的长分别为 49.5 m、64.5 m.
y
x
O
-450
450
81.5
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
1、足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式
h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.
4
2、河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的表达式为 ，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m时，这时水面宽度AB为(　　)
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
C
巩固练习
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
3、某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A.50m B.100m C.160m D.200m
C
巩固练习
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
4、某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
巩固练习
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
数学化
●B (1,2.25)
●
C
●
D
o
A
x
y
(0,1.25)
巩固练习
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ;
同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25.
●B (1,2.25)
(0,1.25)
●
D
o
A
x
y
●
C
巩固练习
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
5、某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
巩固练习
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，-5.6）在抛物线的图象上，
∴-5.6=36a，
∴抛物线的表达式为
巩固练习
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
巩固练习
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m，
∴t=-5.6- (-1.6)=-4
∴ ，解得k= ，
即k1≈5.07，k2≈-5.07
∴CD=5.07×2≈10.14（m）
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n-1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
则最大的正整数为4．
答：最多可安装4扇窗户.
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22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解决
解题步骤：
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形.
2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3.选用适当的解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
实际问题
知识升华
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
解决建筑模型问题的一般步骤：
(1)建立合适的平面直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标；
(3)合理地设出所求的函数表达式；
(4)代入已知条件或点的坐标，求出函数表达式；
(5)利用函数表达式解决问题．
[点拨] (1)在不同的坐标系中，函数表达式会不同，但最终解决实际问题时结论是不变的；
(2)把函数问题转化为实际问题时，注意实际问题的取值范围．
归纳总结
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题