24.1.2 垂直于弦的直径 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
24.1.2 垂直于弦的直径
1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形；
2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它
解决一些简单的计算、证明和作图问题；（重点）
3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
学习目标
24.1.2 垂直于弦的直径
问题：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
导入新课
24.1.2 垂直于弦的直径
问题1 在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将⊙O折叠，你发现了什么？
O
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.
讲授新课
24.1.2 垂直于弦的直径
讲授新课
垂径定理及其推论
(1) 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
(2) 你是怎么得出结论的？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法
● O
说一说
24.1.2 垂直于弦的直径
问题2 已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=EB， （或 ）.
·
O
A
B
D
E
C
证明：连接OA，OB，OA=OB.△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称.
24.1.2 垂直于弦的直径
同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，
所以⊙O关于直线CD对称. 当把圆沿
着直径CD折叠时，CD两侧的两个半
圆重合，AE与BE重合，点A与点B重
合， 与 重合， 与 重合.
因此 AE=EB， ， .
P
·
O
A
B
D
E
C
Q
24.1.2 垂直于弦的直径
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.
垂径定理
·
O
A
B
C
D
P
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，(条件)
推导格式：
∴ AP = BP，
(结论)
归纳总结
24.1.2 垂直于弦的直径
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，
请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为 AB，CD 都不是直径
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
A
B
O
C
D
E
24.1.2 垂直于弦的直径
可运用垂径定理的几种常见图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
C
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
归纳总结
24.1.2 垂直于弦的直径
例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm.
·
O
A
B
E
解析：连接 OA.
∵ OE⊥AB，
∴ AB = 2AE = 16 (cm).
16
∴
(cm).
24.1.2 垂直于弦的直径
例2 如图，⊙O 的弦 AB＝8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC＝2 cm，求半径 OC 的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接 OA. ∵ CE⊥AB 于 D，
∴
设 OC = OA = x cm，则 OD = x - 2，根据勾股定理，得
解得 x = 5.
即半径 OC 的长为 5 cm.
x2 = 42 + ( x - 2)2，
24.1.2 垂直于弦的直径
如果把垂径定理 (垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧) 的结论与题设交换一条，命题还是真命题吗？
①过圆心(是直径)； ②垂直于弦；③平分弦；
④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
24.1.2 垂直于弦的直径
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法.
已知:
求证：
① CD 是直径
② CD⊥AB，垂足为 E
③ AE = BE
④
24.1.2 垂直于弦的直径
证明猜想
如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AB 于点 E.
（1）CD⊥AB 吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
解：(1) 连接 AO、BO，则 AO = BO.
又∵ AE = BE，
∴∠AEO =∠BEO = 90°.
∴ CD⊥AB.
∴△AOE≌△BOE(SSS).
(2) 由垂径定理可得
与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？
24.1.2 垂直于弦的直径
证明举例
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
特别说明：
·
O
A
B
C
D
归纳总结
圆的两条直径是互相平分的.
24.1.2 垂直于弦的直径
证明：作直径 MN⊥AB，如图.
∵ AB∥CD，∴ MN⊥CD.
则 = ， = （垂直
平分弦的直径平分弦所对的弧）.
∴ － = － .
∴ = .
例3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD，求证： = .
.
M
C
D
A
B
O
N
24.1.2 垂直于弦的直径
解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
24.1.2 垂直于弦的直径
归纳总结
问题：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
24.1.2 垂直于弦的直径
解得 R ≈ 27.3.
即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m.
∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52，
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23 m.
由垂径定理，得 AD = AB = 18.5 m，
设⊙O 的半径为 R m.
在 Rt△AOD 中，AO = R，
OD = R - 7.23，AD = 18.5.
由勾股定理，得
24.1.2 垂直于弦的直径
1. 已知⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为
3 cm，则此圆的半径为 cm.
5
2. 已知⊙O 的直径 AB = 20 cm，∠BAC = 30°，则弦
AC = cm.
3.已知⊙O 的半径为 10 cm，弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 .
14 cm 或 2 cm
当堂练习
24.1.2 垂直于弦的直径
D
·
O
A
B
C
E
4. 如图，在⊙O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，
求证：四边形 ADOE 是正方形．
证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴ 四边形 ADOE 为矩形，
又∵ AC = AB，
∴ AE = AD.
∴ 四边形 ADOE 为正方形.
∴∠OEA =∠EAD =∠ODA = 90°.
24.1.2 垂直于弦的直径
5. 如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点. 你认为 AC 和 BD 相等吗？为什么？
解：AC = BD. 理由如下：
过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E.
则 AE = BE，CE = DE.
∴ AE－CE = BE－DE，
即 AC = BD.
.
A
C
D
B
O
E
方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，这是一种常见辅助线的添法．
24.1.2 垂直于弦的直径
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
课堂小结
24.1.2 垂直于弦的直径