24.1.3 弧、弦、圆心角 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
24.1.3 弧、弦、圆心角
1. 理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性；
2. 探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题；（重点）
3. 理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.（难点）
学习目标
24.1.3 弧、弦、圆心角
飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？
情境引入
24.1.3 弧、弦、圆心角
讲授新课
圆的对称性
用准备好的两个透明等圆探究实验：
问题1 在同一个圆中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转
到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？
为什么？
问题2 在等圆中，能否也能得出类似的结论呢？
24.1.3 弧、弦、圆心角
A
B
O
·
O
B
A
观察在⊙O 中，这些角有什么共同特点？
顶点在圆心上
定义：顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB .
圆心角的定义
讲授新课
24.1.3 弧、弦、圆心角
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
不是
不是
不是
是
练一练
24.1.3 弧、弦、圆心角
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
弦
想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？
O
A
B
圆心角 ∠AOB 所对的弦为 AB.
圆心角 ∠AOB 所对的弧为 .
讲授新课
24.1.3 弧、弦、圆心角
观察：1. 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
重合，
圆是中心对称图形
.
O
A
B
180°
圆心角、弧、弦之间的关系
合作探究
讲授新课
24.1.3 弧、弦、圆心角
2. 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
O
α
重合.圆是旋转对称图形，具有旋转不变性
·
24.1.3 弧、弦、圆心角
问题1 在⊙O 中，如果圆心角∠AOB =∠COD，那么 与 ，弦 AB 与弦 CD 有怎样的数量关系？
在同圆中探究
C
·
O
A
B
D
因为将圆绕圆心旋转任一角度都能
与自身重合，所以可将 ⊙O 绕圆心
旋转，使点 A 与点 C 重合.
由于∠AOB =∠COD，
因此，点 B 与点 D 重合.
从而 ，AB = CD.
24.1.3 弧、弦、圆心角
问题2 如图，在等圆中，如果圆心角∠AOB ＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？
在等圆中探究
O′
·
O
A
B
·
C
D
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB =∠CO′D，那么 ，弦 AB = 弦 CD.
归纳
24.1.3 弧、弦、圆心角
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
①∠AOB = ∠COD
③ AB = CD
弧、弦与圆心角的关系定理
A
B
O
D
C
②
24.1.3 弧、弦、圆心角
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
24.1.3 弧、弦、圆心角
温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.
在同圆或等圆中
24.1.3 弧、弦、圆心角
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
24.1.3 弧、弦、圆心角
(3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ）
(2) 等弧所对的弦相等. （ ）
(1) 等弦所对的弧相等. （ ）
×
×
√
判断正误：
辨一辨
24.1.3 弧、弦、圆心角
解：
∵
·
A
O
B
C
D
E
例1 如图，AB 是⊙O 的直径，
∠COD = 35°，求∠AOE 的度数．
∴∠BOC =∠COD =∠DOE = 35°.
∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°.
典例精析
24.1.3 弧、弦、圆心角
∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形.
又∵∠ACB = 60°，
∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA.
∴∠AOB =∠BOC =∠AOC.
A
B
C
O
方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝.
例2 如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
证明：∵ = ，
24.1.3 弧、弦、圆心角
例3 如图，已知 AB、CD 是⊙O 的两条弦， .
求证：AB = CD.
.
C
A
B
D
O
证明：
24.1.3 弧、弦、圆心角
变式1 如图，在⊙O 中，AD = BC．求证：DC = AB．
∴ DC = AB．
证明：∵ AD = BC，
变式2 如上图，在⊙O 中，DC = AB．求证：AD = BC.
证明：∵ DC = AB，
∴ AD = BC.
24.1.3 弧、弦、圆心角
例4 如图，AB，CD是☉O的两条直径，CE为☉O的弦，且CE∥AB，弧CE为40°，求∠BOD的度数.
O
C
E
A
B
D
解：连接OE，如图.
∵弧CE为40°，
∴∠COE=40°，
∵CE∥AB，
∴∠BOD=∠C=70°.
24.1.3 弧、弦、圆心角
1．如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE,∠AOE=72°，则∠COD的度数是( )
A．36° B．72° C．108° D．48°
A
当堂练习
24.1.3 弧、弦、圆心角
2．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，
若BC＝CD＝DA＝4 cm，则⊙O的周长为(　　)
A．5π cm B．6π cm
C．9π cm D．8π cm
D
24.1.3 弧、弦、圆心角
4．弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 　.
60 °
3．如图所示，在☉O中，AB =AC，∠B＝70°，则
∠A＝________．
⌒ ⌒
40 °
24.1.3 弧、弦、圆心角
5．如图，在☉O中，2∠AOB =∠COD，那么CD = 2AB
成立吗？CD = 2AB呢？如果成立，请说明理由；如
不成立，那它们之间的关系又是什么？
⌒ ⌒
解：CD =2AB 成立，CD =2AB 不
成立.理由如下：
取 CD 的中点 E，连接 OE，CE，
DE ，那么∠AOB=∠COE =∠DOE，
所以 = = ， =2 ，
弦AB = CE = DE，
在△CDE中，CE+DE > CD，即 CD ＜ 2AB.
⌒ ⌒
A
B
C
D
E
O
⌒
24.1.3 弧、弦、圆心角
弧、弦、圆心角的关系定理及推论
在同圆或等圆中
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角
24.1.3 弧、弦、圆心角