24.2.4 切线长定理及三角形的内切圆 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
切线长定理及三角形的内切圆
学习目标
1. 掌握切线长的定义及切线长定理；（重点）
2. 初步学会运用切线长定理进行计算与证明；（难点）
3. 认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角
形的内切圆，掌握内心的性质.（重点）
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
情境引入
同学们玩过抖空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
讲授新课
切线长定理及应用
P
O
B
A
O.
P
A
B
互动探究
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
P
1. 切线长的定义：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
A
O
① 切线是直线，不能度量；
② 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是
圆外一点和切点，可以度量．
2. 切线长与切线的区别在哪里？
知识要点
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
问题2 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B．
OB 是☉O 的一条半径吗？
PB 是☉O 的切线吗？
（利用图形轴对称性解释）
PA、PB 有何关系？
∠APO 和∠BPO 有何关系？
O
P
A
B
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
切线长定理：
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
∵ PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B
PA = PB
∠OPA = ∠OPB
几何语言：
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
注意
B
P
O
A
∴
要点归纳
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
O.
P
已知：如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.
求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线，
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
A
B
∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
推理验证
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出
什么新的结论 请给出证明.
解：OP 垂直平分 AB.
.证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点，
∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
∴ △PAB 是等腰三角形，
PM 为顶角的平分线
∴ OP 垂直平分 AB.
M
想一想：
O
P
A
B
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
归纳拓展
PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.
B
P
O
A
C
E
D
（1）图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（2）图中与∠OAC和∠AOC相等的角：
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC
（3）图中所有的相等的线段：PA=PB，AC =BC，OA =OB.
（4）图中所有的全等三角形:
△AOP≌ △BOP，
△AOC≌ △BOC，
△ACP≌ △BCP.
（5）图中所有的等腰三角形:
△ABP △AOB
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论 并给出证明.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴ △PCA ≌ △PCB，
∴AC=BC.
CA=CB
O.
P
A
B
C
拓展延伸
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、
DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H.
求证：AB + CD = AD + BC.
证明：∵ AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H，
·
A
B
C
D
O
E
F
G
H
∴ AE = AH，BE = BF，
CG = CF，DG = DH.
∴ AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH，
即 AB + CD = AD + BC.
典例精析
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
变式训练
如图，四边形 ABCD 是☉O 的外切四边形，且 AB = 10，CD = 15，则四边形 ABCD 的周长为______．
50
·
A
B
C
D
O
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30° 的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径. 若三角板与圆相切且测得 PA =
5 cm，求铁环的半径．
O
B
C
解析：取圆的圆心为O，连接 OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在 Rt△OPA 中由勾股定理易求得半径．
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°，
又∵∠BAC＝60°，∴∠PAO＝∠BAO＝60°.
即铁环的半径为
∴ OA = 2PA = 10.
解：设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA.
∴ OP⊥AP，∠PAO＝∠BAO.
O
B
C
5
∵ AP、AB 为 ⊙O 的切线，
∴ OP =
∴∠POA＝30°.
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据.
方法归纳
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
三角形的内切圆及作法
互动探究
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
问题2 如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为 r 的☉I 与△ABC 的三边都相切，那么
圆心 I 应满足什么条件？
(2) 在△ABC 的内部，如何找到满足条件的圆心 I 呢？
圆心 I 到三角形三边的距离相等，都等于 r.
为什么呢？
三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.
三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？
圆心 I 应是三角形的三条角平分线的交点.
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
已知：△ABC.
求作：和△ABC 的各边都相切的圆 O.
M
N
D
作法：
1. 作∠ABC 和∠ACB 的平分线
BM 和 CN，交点为 O.
2. 过点 O 作OD⊥BC，垂足为 D.
3. 以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O 就是所求的圆.
A
B
C
O
做一做
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
A
C
I
☉I 是△ABC 的内切圆，
点 I 是△ABC 的内心，
△ABC 是☉I 的外切三角形.
知识要点
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
三角形的内心的性质
问题1 如图，☉O 是△ABC 的内切圆，那么 AO、BO、CO 有什么特点？
AO、BO、CO 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA.
B
A
C
O
互动探究
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
B
A
C
O
问题2 如图，☉O 是△ABC 的内切圆，过点 O 分别作 AB、AC、BC 的垂线，垂足分别为 E、F、G，那么线段 OE、OF、OG 之间有什么数量关系？
E
F
G
解：OE = OF = OG.
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
三角形内心的性质
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE = IF = IG.
B
A
C
I
E
F
G
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
例3 如图，△ABC 中，∠B = 43°，∠C = 61°，点 I 是△ABC 的内心，求∠BIC 的度数.
解：连接 IB，IC.
A
B
C
I
∵ 点 I 是△ABC 的内心，
∴ BI，CI 分别平分∠ABC，∠ACB.
在△IBC 中，
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
例4 △ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
B
A
C
E
D
F
O
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
解：
设 AF = x cm，则 AE = x cm.
∴ CE = CD = AC - AE = 9 - x (cm)，
BF = BD = AB - AF = 13 - x (cm).
由 BD + CD = BC，可得
(13 - x) + (9 - x) = 14，
∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.
方法小结：解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
解得 x = 4.
B
A
C
E
D
F
O
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边垂直平分线的交点
1.OA = OB = OC；
2.不一定在三角形内部
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边距离相等；
2. AO、BO、CO 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3.在三角形内部
A
B
O
C
A
B
C
O
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
切线长
切线长定理
作用
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程
应用
重要结论
课堂小结
内心的概念及性质
图形的轴对称性
原理
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆