24.3 正多边形和圆 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
24.3 正多边形和圆
正多边形和圆
1. 了解正多边形和圆的有关概念；
2. 理解并掌握正多边形的半径、中心角、边心距、边
长之间的关系；（重点）
3. 会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）
学习目标
24.3 正多边形和圆
下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗
导入新课
24.3 正多边形和圆
问题1 什么叫做正多边形？
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 矩形是正多边形吗？为什么？
菱形是正多边形吗？为什么？
矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；
菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等.
注意
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
讲授新课
正多边形的对称性
24.3 正多边形和圆
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
24.3 正多边形和圆
正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
归纳
24.3 正多边形和圆
问题1 怎样把一个圆进行四等分？
问题2 依次连接各等分点，得到一个什么图形？
A
B
C
D
·
O
正多边形的有关概念及性质
24.3 正多边形和圆
①
③ ∠A ∠E.
把⊙O 进行 5 等分，依次连接各等分点得到五边形ABCDE.
(1) 填空：
探究归纳
·
A
O
E
D
C
B
3
＝
(2) 这个五边形 ABCDE 是正五边形吗？简单说说理由.
归纳：像上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆.
②
3
24.3 正多边形和圆
O
A
B
C
D
问题3 以正方形为例，根据对称性，你能得出什么结论？
E
F
G
H
结论一：正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的外接圆.
证明：∵ EF 是边 AB、CD 的垂直平分线，∴ OA = OB，OD = OC.
∵ GH 是边 AD、BC 的垂直平分线，
∴ OA = OD，OB = OC.
∴ OA = OB = OC = OD.
∴ 正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的外接圆.
24.3 正多边形和圆
O
A
B
C
D
E
F
G
H
证明：∵ AC、CA 分别是∠DAB 及∠DCB 的平分线，BD、DB 分别是∠ABC 及∠ADC 的平分线，
∴ OE = OH = OF = OG.
∴ 正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的内切圆.
结论二：正方形 ABCD 有一个以
点 O 为圆心的内切圆.
24.3 正多边形和圆
所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且圆心相同.
想一想
24.3 正多边形和圆
O
A
B
C
D
E
R
r
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心
外接圆的半径叫做正多边形的半径
内切圆的半径叫做正多边形的边心距
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于
24.3 正多边形和圆
正多边形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
60°
120°
120°
90°
90°
90°
120°
60°
60°
正多边形的外角 = 中心角
完成下面的表格：
练一练
24.3 正多边形和圆
如图，已知半径为 4 的圆内接正六边形 ABCDEF：
① 它的中心角等于 度；
② OC BC(填＞、＜或＝）；
③ △OBC 是 三角形；
④ 圆内接正六边形的面积是 △OBC 面积
的 倍.
⑤ 圆内接正 n 边形面积公式：___________________.
C
B
D
O
E
F
A
P
60
=
等边
6
正多边形的有关计算
探究
S正多边形 =
24.3 正多边形和圆
例1 如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，则∠ADE 的
度数是 （ ）
A．60° B．45° C．36° D．30°
·
A
B
C
D
E
O
C
解析：由五边形 ABCDE 是正五边形且内接于⊙O，可求出弧 AE 所对的圆心角的度数等于 360°÷5 = 72°，再根据圆周角定理可得到∠ADE 的度数.
24.3 正多边形和圆
变式题 如图，圆内接正五边形 ABCDE 中，对角线 AD 和 CE 相交于点 P，则∠APE 的度数是（　　）
A．36° B．60°
C．72° D．108°
解析：由例 1 易得∠ADE = ∠CED = 36°，根据三角形的外角性质，得
∠APE = ∠ADE + ∠CED = 72°.
C
P
·
A
B
C
D
E
O
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例2 有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 (面积保留小数点后一位 ).
抽象成
C
D
O
E
F
A
B
4 m
24.3 正多边形和圆
利用勾股定理，可得边心距
亭子地基的面积
4 m
O
A
B
C
D
E
F
M
r
解：连接 OB，过点 O 作 OM⊥BC 于 M.
在 Rt△OMB 中，OB = 4，MB =
亭子地基的周长 l = 6×4 = 24 (m)，
24.3 正多边形和圆
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
方法归纳
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
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练一练
正多边形的边数 边长 半径 边心距 周长 面积
3 2
4 2
6 2
24.3 正多边形和圆
课堂小结
正多边形的性质
正多边形的对称性
正多边形的有关计算
添加辅助线的方法：连半径，作边心距
圆内接正 n 边形
圆外切正 n 边形
任何正多边形都有一个外接圆和内切圆，且这两个圆是同心圆
正多边形都是轴对称图形
正多边形和圆的关系
偶数边的正多边形同时也是中心对称图形，中心就是对称中心
中心角、内角、外角、半径、边长、边心距的计算
24.3 正多边形和圆