24.4.1 弧长和扇形面积 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
24.4 .1 弧长和扇形面积
弧长和扇形面积
学习目标
1. 理解弧长和扇形面积公式的探求过程；(难点）
2. 会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）
24.4 .1 弧长和扇形面积
如图，在运动会的 4×100 米比赛中，甲和乙分别在第 1 跑道和第 2 跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
怎样计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
情境引入
24.4 .1 弧长和扇形面积
讲授新课
与弧长相关的计算
问题1 半径为 R 的圆，周长是多少？
O
R
问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别占圆周长的多少
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
O
R
180°
24.4 .1 弧长和扇形面积
(1) 圆心角是 180° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(2) 圆心角是 90° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(3) 圆心角是 45° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(4) 圆心角是 n° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
________.
________.
________.
________.
24.4 .1 弧长和扇形面积
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的.
知识要点
弧长公式
算一算 已知弧所对的圆心角为 60°，半径是 4，则弧长为
．
24.4 .1 弧长和扇形面积
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度 L (单位：mm，精确到 1 mm).
解：弧 AB 的长为
因此所要求的展直长度 L = 2×700 + 500π ≈ 2971 (mm).
答：管道的展直长度约为 2971 mm.
700 mm
700 mm
R = 900 mm
(
100°
A
C
B
D
O
24.4 .1 弧长和扇形面积
·
O
A
解：设半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的度数为 n°，则
解得 n ≈ 90°.
因此，滑轮旋转的角度约为 90°.
例2 一滑轮起重机装置 (如图)，滑轮的半径 R = 10 cm，当重物上升 15.7 cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 逆时针方向旋转多少度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π 取 3.14)
24.4 .1 弧长和扇形面积
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
与扇形面积相关的计算
讲授新课
24.4 .1 弧长和扇形面积
判断：下列图形是扇形吗？
√
×
×
×
√
24.4 .1 弧长和扇形面积
问题1 半径为 r 的圆,面积是多少？
O
r
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几？具体是多少呢
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
讲授新课
24.4 .1 弧长和扇形面积
圆心角占
周角的比例 扇形面积占
圆面积的比例 扇形
的面积
=
24.4 .1 弧长和扇形面积
半径为 r 的圆中，圆心角为 n° 的扇形的面积
①公式中 n 的意义：n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
注意
知识要点
24.4 .1 弧长和扇形面积
●
O
A
B
D
C
E
F
●
O
A
B
C
D
问题3 扇形的面积与哪些因素有关？
大小不变时，对应的扇形面积与 有关，
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
24.4 .1 弧长和扇形面积
问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
讲授新课
24.4 .1 弧长和扇形面积
例3 如图，圆心角为 60° 的扇形的半径为 10 cm. 求这个扇形的面积和周长（精确到 0.01 cm2 和 0.01 cm）.
O
r
60°
解：∵ n = 60，r = 10 cm，
∴ 该扇形的面积为
该扇形的周长为
24.4 .1 弧长和扇形面积
例4 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2).
(1)
O .
B
A
讨论：(1) 截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
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(2) 水面高 0.3 m 是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，并延长 OD 交圆 O 于 C. 则线段 DC 的长为水面高.
(3) 要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
S阴影 = S扇形 OAB - S△OAB
O.
B
A
D
(2)
C
24.4 .1 弧长和扇形面积
∵ OC＝0.6，DC＝0.3，
∴ OD＝OC - DC＝0.3.
∴ OD＝DC.
又 AD⊥OC，
∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线.
∴ AC＝AO＝OC.
从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.
O.
B
A
C
D
解：如图，连接 OA、OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交 于点 C，连接 AC.
24.4 .1 弧长和扇形面积
在 Rt△AOD 中，OA = 0.6 m，OD = 0.3 m，
∴ AD = m.
∴ AB = 2AD = m.
∴ 截面上有水部分的面积为
S = S扇形AOB - SΔOAB
O.
B
A
C
D
24.4 .1 弧长和扇形面积
左图： S弓形 = S扇形 - S三角形
右图：S弓形 = S扇形 + S三角形
O
O
弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积
知识要点
弓形的面积公式
24.4 .1 弧长和扇形面积
1．(2021·梧州中考)若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是( B )
A. π B．π C. π D．2π
课堂练习
24.4 .1 弧长和扇形面积
2 一个扇形的弧长是11 π cm，半径是18 cm ，则此扇形的圆心角是 110° .
3 一个扇形的弧长是8π cm ，圆心角是144°，则此扇形的半径是 10 cm.
24.4 .1 弧长和扇形面积
4．如图，在扇形OAB中，AC为弦，∠AOB＝130°，∠CAO＝60°，OA＝6，则 的长为 .
24.4 .1 弧长和扇形面积
5．(2021·娄底中考)如图所示的扇形中，已知OA＝20，AC＝30， ＝40，则 ＝ 100 .
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6．(2021·衢州中考)已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（ D ）
A. π B．3π C．5π D．15π
24.4 .1 弧长和扇形面积
7．如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为 6 .
24.4 .1 弧长和扇形面积
8．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形ABD的面积为 25 .
24.4 .1 弧长和扇形面积
9．如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和为 6π .
24.4 .1 弧长和扇形面积
10．(2021·河南中考)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在 上，∠BAC＝22.5°，则 的长为
π .
24.4 .1 弧长和扇形面积
弧长
计算公式：
扇形
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
公式
S弓形 = S扇形 - S三角形
S弓形 = S扇形 + S三角形
割补法
课堂小结
24.4 .1 弧长和扇形面积