1.3正方形的性质与判定 同步练习题 2022-2023学年北师大版九年级数学上册（含答案和解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相垂直 D．两组对边分别平行
2．下列说法正确的是（　　）
A．正方形既是矩形，又是菱形
B．有一个内角是直角的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，四边形ABCD是矩形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形
C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是正方形
4．在正方形ABCD中，BF平分∠DBC交CD于F点，则∠DBF的度数是（　　）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
5．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AF、BE相交于点G，下列结论不正确的是（　　）
A．AF＝BE B．AF⊥BE
C．AG＝GE D．S△ABG＝S四边形CEGF
6．如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．∠AFP＝∠BPQ
B．EF∥QP
C．四边形EFPQ是正方形
D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半
7．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（　　）
A．3.0 B．2.5 C．2.0 D．1.5
8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥
CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：
①PD＝EC；
②四边形PECF的周长为8；
③AP＝EF；
④EF的最小值为2．
其中正确结论有几个（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，4），A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，且△ABO的周长是8，则P到直线AB的距离是（　　）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
10．如图四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形ABCD，一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
二．填空题
11．如图，已知阴影部分是一个正方形，AB＝4，∠B＝45°，则此正方形的面积为 　 　．
12．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 　 　．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是　 　（只需添加一个即可）
14．边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为 　 　．
15．如图，正方形ABCD内部有一个等边△ABE，则∠DAE＝　 　°．
16．如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，点D的坐标是（2，3），则点B的坐标是 　 　．
17．如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，连接AD，DE，DF，有下列结论：
①四边形AEDF一定是平行四边形；
②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；
③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；
④若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形．
其中正确的有 　 　．（填序号）
三．解答题
18．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且AB＝4，CF＝1．
（1）求AE，EF，AF的长；
（2）求证：∠AEF＝90°．
19．如图，在正方形ABCD中，PD＝QC，求证：PB＝AQ，BP⊥AQ．
20．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵正方形的性质为：对边平行且相等，四条边相等，四个角为直角，对角线互相垂直平分，相等，且每条对角线平分一组对角，
矩形的性质为：对边平行且相等，四个角为直角，对角线互相平分，相等，
∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直，
故选：C．
2．解：A．正方形既是矩形，又是菱形，正确，符合题意；
B．有一个内角是直角的四边形是矩形，错误，不符合题意；
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误，不符合题意；
D．对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意．
故选：A．
3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠DBC＝45°．
∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF＝∠DBC＝22.5°．
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
∵BF＝CE，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE，∠BAG＝∠CBE，
∴选项A不符合题意；
∵∠ABG+∠CBE＝∠ABC＝90°，
∴∠BAG+∠ABG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AF⊥BE，
∴选项B不符合题意；
∵△ABF≌△BCE，
∴S△ABF＝S△BCE，
∴S△ABF﹣S△BFG＝S△BCE﹣S△BFG，
∴S△ABG＝S四边形CEGF，
∴选项D不符合题意；
∵无法证明AG＝GE，
∴选项C符合题意；
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AF＝BP＝CQ＝DE，
∴DF＝CE＝BQ＝AP，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），
∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；
∵EF＝FP＝PQ＝QE，
∴四边形EFPQ是菱形，
∴EF∥PQ，故B选项正确，不符合题意；
∵△APF≌△BQP，
∴∠AFP＝∠BPQ，
∵∠AFP+∠APF＝90°，
∴∠APF+∠BPQ＝90°，
∴∠FPQ＝90°，
∴四边形EFPQ是正方形．故C选项正确，不符合题意；
∵四边形PQEF的面积＝EF2，四边形ABCD面积＝AB2，
若四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半，
则EF2＝AB2，即EF＝AB．
若EF≠AB，则四边形PQEF的面积不是四边形ABCD面积的一半，
故D选项不一定正确，符合题意．
故选：D．
7．解：∵由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1，
∴该细铁丝的长度为4．
∴AC+BC+AB＝4，
∴AC+BC＝4﹣AB．
∵AC+BC＞AB，
∴4﹣AB＞AB，
∴AB＜2．
∴AB的长可能为1.5，
故选：D．
8．解：如图，连接PC，
①∵正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∠PDC＝∠DBC＝45°，AB＝BC＝CD＝AD＝4，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEC＝∠PEB＝∠PFC＝∠PFD＝90°＝∠BCD，
∴∠DPF＝∠PDF＝∠BPE＝∠DBC＝45°，
∴PF＝DF，PE＝BE，即△PDF和△BPE均为等腰直角三角形，
∴PD＝PF，
∵∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴CE＝PF＝DF，PE＝FC，
∴PD＝CE，
故①正确；
②由①知：PE＝BE，且四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2（CE+BE）＝2BC＝2×4＝8，
故②正确；
③∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
故③正确；
④由③得：EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
∴当AP⊥BD时，垂线段最短，即AP＝BD＝2时，EF的最小值等于2；
故④错误；
综上，①②③正确．
故选：C．
9．解：方法一：如图，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂直分别为C，D，
设OB＝a，OA＝b，AB＝c，P到直线AB的距离是h，
∵△ABO的周长是8，
∴a+b+c＝8，
∴a+b＝8﹣c，
∴a2+2ab+b2＝64﹣16c+c2
根据勾股定理得：a2+b2＝c2，
∴ab＝32﹣8c，
∵S△PAB＝4×4﹣ab﹣4（4﹣b）﹣4（4﹣a）
＝2（a+b）﹣ab
＝2（8﹣c）﹣（32﹣8c）
＝16﹣2c﹣16+4c
＝2c，
∵S△PAB＝×c h，
∴2c＝×c h，
∴h＝4．
∴P到直线AB的距离为4．
方法二：如图，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂直分别为C，D，
∵P（4，4），
∴四边形CODP是边长为4的正方形，
∴PC＝PD＝OC＝OD＝4，
∵A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，
∴将△PA′D沿PA′折叠得到△PA′E，延长A′E交y轴于点B，
∴∠PA′D＝∠PA′E，PE＝PD，A′D＝A′E，∠PDA′＝∠PEA′＝90°，
∴PE＝PC，
在Rt△PEB和Rt△PCB中，
，
∴Rt△PEB≌Rt△PCB（HL），
∴BE＝BC，
∵△A′BO的周长是8，
∴A′O+BO+A′B＝A′O+BO+BE+A′E＝A′O+BO+BC+A′D＝CO+DO＝8，
∴△A′BO符合题意中的△ABO，
∴P到直线AB的距离PE＝4，
故选：A．
10．解：如图，根据题意，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形，
所以这个小孩走的路线所围成的图形是正方形．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵阴影部分是一个正方形，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝＝＝2，
∴正方形的面积为（2）2＝8，
故答案为：8．
12．解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
13．解：条件为∠ABC＝90°或AC＝BD，
理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC＝90°或AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：∠ABC＝90°或AC＝BD．
14．解：过C作CD⊥AB交AB延长线与D，如图：
∵∠CBD＝180﹣90°﹣60°＝30°，∠D＝90°，
∴CD＝BC＝×4＝2，
∴△ABC的面积为AB CD＝×4×2＝4，
故答案为：4．
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝60°，
∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
16．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝BC＝AB，
∵点D的坐标是（2，3），
∴AD＝CD＝BC＝3，OC＝2，
∴OB＝1，
∴点B的坐标是（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
17．解：①∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF为△ABC的中位线，
∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；DF∥AB，且DF＝AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，故正确；
②若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是矩形，故正确；
③若AD平分∠BAC，则∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
又∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，
∴不能判定四边形AEDF是正方形，故错误；
④若AD⊥BC，则AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
又∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故正确．
故答案为：①②④．
三．解答题
18．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵E为AB的中点，
∴BE＝CE＝2，
∴AE＝＝＝2，
EF＝＝＝，
AF＝＝＝5；
（2）证明：∵AE2+EF2＝20+5＝25，AF2＝52＝25，
∴AE2+EF2＝AF2，
∴∠AEF＝90°．
19．证明：由题意可得：AD＝AB＝BC＝DC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵PD＝QC，
∴AP＝DQ，
在△ADQ和△BAP中，
，
∴△ADQ≌△BAP（SAS），
∴BP＝AQ，∠APB＝∠AQD，
∵∠DAQ+∠AQD＝90°，
∴∠DAQ+∠APB＝90°，
∴BP⊥AQ，
∴BP＝AQ，BP⊥AQ．
20．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）解：如图2，
在Rt△ABC中，AB＝2，
∴AC＝AB＝4，
∵CE＝2，
∴AE＝4﹣2＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴CG＝CE＝2．