2022-2023学年北师大版数学九年级上册1.3正方形的性质与判定 同步达标测试题（word版 含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．满足下列条件的四边形是正方形的有（　　）
①对角线互相垂直且相等的平行四边形
②对角线互相垂直的矩形
③对角线相等的菱形
④对角线互相垂直平分且相等的四边形
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
2．如图，在正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，连接菱形AEFC的对角线AF，则∠FAB的度数等于（　　）
A．22.5° B．45° C．30° D．15°
3．如图，正方形ABCD中，点E为CD上一点，BE与AC交于点F，连接DF，若∠EBC＝25°，则∠DFE的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
4．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AP、BE相交于点G，下列结论中正确的是（　　）
①AF＝BE；
②AF⊥BE；
③AG＝GE；
④S△ABG＝S四边形CEGF．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他把活动学具做成图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着把活动学具做成图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝50cm，则图（1）中对角线AC的长为（　　）
A．30cm B．40cm C．50cm D．25cm
6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（　　）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
7．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，AE＝3，则ED的长度为（　　）
A．7 B．2 C． D．
8．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD边长为1．则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝　 　．
10．如图，已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：　 　，使菱形ABCD变为正方形．
11．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是a和b，且满足：+|b﹣2|＝0，则正方形ABCD的面积是　 　．
12．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF⊥AD，垂足为点F．若AF＝3，EC＝5，则正方形ABCD的面积为 　 　．
13．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是　 　．
14．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AC为一边作正方形ACDE，过点D作DF⊥BC交直线BC于点F，则BF的长为 　 　．
15．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN，若AB＝9，BE＝6，则MN的长为　 　．
16．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD； ③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有 　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M为AD的中点，过点M作MN∥BD交CD延长线于点N．
（1）求证：四边形MNDO是平行四边形；
（2）请直接写出当四边形ABCD的边AB与BD满足什么关系时，四边形MNDO分别是菱形、矩形、正方形．
18．如图，已知正方形ABCD，∠MAN＝45°，连接CB，交AM、AN分别于点P、Q，求证：CP2+BQ2＝PQ2．
19．如图，正方形ABCD中，AB＝2，E为DC右侧一点，且DE＝DC，（∠CDE＜90°）．连接AE．
（1）若∠CDE＝20°，求∠DAE的度数；
（2）过点A作射线EC的垂线段，垂足为P，求证AE＝AP；
（3）在（2）的条件下，AP与BC交于点F，当BF＝FC时，求CE的长．
20．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．
（1）若矩形ABCD为正方形，求证：AE＝BF；
（2）若AE＝BF，求证：矩形ABCD为正方形．
21．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，点B，D为垂足．
（1）∠EAF＝　 　（直接写结果）．
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝2，求DF的长．
22．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：A、对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形，故符合题意；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，故符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，故符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故符合题意；
故选：D．
2．解：在正方形ABCD中，∠CAB＝45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠CAF＝∠FAB＝22.5°，
∴∠FAB＝22.5°，
故选：A．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCF＝∠DCF＝45°，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CDF＝25°，
∴∠BEC＝65°，
∴∠DFE的度数是：65°﹣25°＝40°．
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△ABF与△BCE中，
，
∴Δ ABF≌Δ BCE，
∴AF＝BE，故①正确；
∵∠BAF+∠BFA＝90°，
∠BAF＝∠EBC，
∴∠EBC+∠BFA＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∴AF⊥BE，故②正确；
∵GF与BG的数量关系不清楚，
∴无法得AG与GE的数量关系，故③错误；
∵△ABF≌△BCE，
∴S△ABF＝S△BCE，
∴S△ABF﹣S△BGF＝S△BCE﹣S△BGF，
即S△ABG＝S四边形CEGF，故④正确；
综上可得：①②④正确，
故选：B．
5．解：如图（1），（2）中．
在图（2）中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AC＝50cm，
∴AB＝BC＝25（cm），
在图（1）中，∵∠B＝60°，BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝25（cm），
故选：D．
6．解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，
∵AD＝3，
∴DG＝4﹣3＝1，
∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，
∴△EBC≌△FGC（SAS），
∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，
∴∠DCE＝∠DCF，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD（SAS），
∴ED＝DF，
设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1，
∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，
Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，
∴（5﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝3.4，
∴DE＝3.4．
故选：B．
7．解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AB＝AD，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∵EF⊥AB于点F，AE＝3，
∴AF＝EF＝3，
∵AB＝10，
∴BF＝7，
∴BE＝＝，
∴ED＝．
故选：C．
8．解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，
∴∠PEQ＝90°，
∴∠PEM+∠MEQ＝90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，
∴∠PEM＝∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN＝S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC＝，
∵EC＝3AE，
∴EC＝，
∴EP＝PC＝，
∴正方形PCQE的面积＝×＝，
∴四边形EMCN的面积＝，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°．
故答案为：22.5°．
10．解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；
故答案为：AC＝BD或AB⊥BC．
11．解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB＝∠BFC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝180°﹣90°＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
在△AEB和△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE＝CF＝2，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AB＝＝．
即正方形ABCD的面积是5，
故答案为：5．
12．解：连接AE，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝EC＝5，
∵EF⊥AD，若AF＝3，
∴EF＝＝4，
∴DF＝4，AD＝4+3＝7，
∴正方形ABCD的面积为49，
故答案为：49．
13．解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝2，
在Rt△AOD中，OD＝＝2，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
14．解：如图1所示：
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴AM＝4，
∵∠ACM+∠FCD＝90°，∠MAC+∠ACM＝90°，
∴∠MAC＝∠FCD，
在△AMC和△CFD中，
，
∴△AMC≌△CFD（AAS），
∴AM＝CF＝4，
∴MF＝6÷2+4＝7，
∴BF＝BM+MF＝3+7＝10，
如图2所示：
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴AM＝4，MC＝3，
∵∠ACM+∠FCD＝90°，∠MAC+∠ACM＝90°，
∴∠MAC＝∠FCD，
在△AMC和△CFD中，
，
∴△AMC≌△CFD（AAS），
∴AM＝FC＝4，
∴FM＝FC﹣MC＝1，
∴BF＝BM﹣MF＝3﹣1＝2，
综上所述，BF为4或10．
故答案为：2或10．
15．解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝9，BE＝6，
∴GF＝GB＝6，BC＝9，
∴GC＝GB+BC＝6+9＝15，
∴CF＝＝＝3．
∵M、N分别是DC、DF的中点，
∴MN＝＝．
故答案为：．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE＝CF，
在△BCE与△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF，（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG＝CD＝AD，故④正确；
如图，连接AH，
同理可得：AH⊥DF，
∵HG＝HD＝CD，
∴DK＝GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG＝AD，故②正确；
∴∠DAG＝2∠DAH，
同理：△ADH≌△DCF，
∴∠DAH＝∠CDF，
∵GH＝DH，
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，
∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．
综上所述：正确的有：①②③④．
故答案为：①②③④．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵点M为AD的中点，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM//CD，即OM//DN，
∵MN∥BD，
∴四边形MNDO是平行四边形；
（2）由（1）知四边形MNDO是平行四边形，若四边形MNDO是菱形，只需OM＝OD，
而OM＝CD＝AB，OD＝BD，
∴AB＝BD时，四边形MNDO是菱形；
若四边形MNDO是矩形，只需∠MOD＝90°，
而∠MOD＝∠ABD，
∴∠ABD＝90°时，四边形MNDO是矩形，即AB⊥BD；
若四边形MNDO是正方形，需OM＝OD，∠MOD＝90°，
∴AB＝BD，AB⊥BD时，四边形MNDO是正方形．
18．证明：将△ABQ绕A点顺时针旋转90°得到△ACQ′，连接PQ′，
∴AQ′＝AQ，CQ′＝BQ，∠BAQ＝∠CAQ′，∠ACQ′＝∠ABC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACQ′＝∠ABC＝∠ACB＝45°，∠CAB＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠CAP+∠BAQ＝45°，
∴∠Q′AP＝∠CAQ′+∠CAP＝45°，
∴∠Q′AP＝∠QAP，
在△Q′AP和△QAP中，
，
∴△Q′AP≌△QAP（SAS），
∴PQ＝PQ′，
∵∠Q′CP＝∠ACQ′+∠ACB＝90°，
在Rt△Q′CP中，由勾股定理得，
Q′P2＝Q′C2+CP2，
∴CP2+BQ2＝PQ2．
19．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵DE＝DC，∠CDE＝20°，
∴DE＝DA，∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°+20°＝110°，
∴∠DAE＝（180°﹣∠ADE）＝（180°﹣110°）＝×70°＝35°．
（2）
设∠DAE＝∠DEA＝x°，∠BAF＝y°，
∵四边形ABCD是正方形，过点A作射线EC的垂线段，垂足为P，
∴∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠APC＝90°，∠FCP+∠2＝90°，
又∵∠AFB＝∠CFP，
∴∠FCP＝∠BAF＝y°，∠2＝（90﹣y）°，
∵DC＝DE，
∴∠DEC＝∠2＝（90﹣y）°，则∠3＝∠DEC﹣∠DEA＝（90﹣y）°﹣x°＝（90﹣x﹣y）°，
∵∠1＝∠DAE+∠ADG＝∠2+∠3，
∴x+90＝90﹣y+90﹣x﹣y，则2x+2y＝90，
∴x+y＝45，即∠BAF+∠DAE＝45°，
∴∠PAE＝∠DAB﹣x﹣y＝90°﹣45°＝45°，
在Rt△APE中，cos45°＝＝，即AE＝AP．
（3）
过点D作DK⊥EP，则∠DKC＝∠FPC＝∠B＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
由（2）得，∠1+∠2＝90°，且∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∴△ABF∽△DKC，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，
∴BC＝DC＝2，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝1，则AF＝＝＝，
∴，则CK＝，
在△DCE中，∵DC＝DE，DK⊥CK，
∴EK＝CK＝，则CE＝．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，
∴∠ABF+∠CBF＝90°，
又∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABF+∠CBF＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AB＝BC，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
21．（1）解：∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，
∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45°；
（2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②解：设DF＝x，
∵BE＝EC＝2，
∴BC＝4，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝2，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝，
∴DF的长为．
22．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，
∴四边形ABEF是正方形；
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∴AD＝，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴DF＝﹣1，
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴DF＝FO＝﹣1，
∴DO＝DF＝2﹣．