1.3正方形的性质与判定 同步精练 2022-2023学年北师大版数学九年级上册（word版 含答案）

1.3正方形的性质与判定 同步精练
一、单选题
1．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线长度相等 D．一组对角线平分一组对角
2．四边形的对角线相交于点，下列能判定四边形是正方形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．2
4．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　）
A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定
5．如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC=120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（　　）
A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1 D．（）n
8．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
9．如图，在正方形内，，连接，若，两块阴影部分的面积和为4，则正方形的面积为（ ）
A．17 B．18 C．26 D．32
10．如图，正方形的边长为10，，，连接，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( )
A． B． C． D．
12．如图，四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形...如此进行下去，得到四边形则下列结论正确的个数有（ ）
①四边形是矩形；②四边形是菱形；③四边形的周长为； ④四边形的面积是．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
13．正方形是有一组邻边_______，并且有一个角是_______的平行四边形，因此它既是______又是________．
14．连接任意一个四边形的四条边的中点所构成的四边形一定是_____________．
15．如图，在直线l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为，，．已知，，则=_____．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB的中点，点G在CD上，连接AG．将和分别沿直线AE和EG折叠，点B和点C同时落在点AG上的点F处，则AG的长是______．
17．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．
三、解答题
18．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．
(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）；
(2)求出△BPE周长的最小值．
19．四边形为正方形，点为对角线上一点，连接．过点作，交射线于点．
(1)如图1，若点在边上，求证：；
(2)以，为邻边作矩形，连接．
①如图2，若，，求的长度；
②当线段与正方形一边的夹角是时，直接写出的度数．
20．【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，CF交于点G．
（1）易证，可知DE、CF的关系为______________；（直接填写结果）
（2）连接BG，若，求BG的长．
【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，分别交AD、BC于F、G，垂足为O，求证：．
【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长．
21．已知，如图，O为正方形对角线的交点，平分，交于点E，延长到点F，使，连结，交的延长线于点G，连结．
（1）求证：．
（2）判断与有何数量及位置关系，证明你的结论．
（3）若，求正方形的面积。
参考答案
1--10CAAAA BBBAB 11--12DA
13． 相等 直角 矩形 菱形
14．平行四边形
15．16
16．5
17．1
18．（1）解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，∵AP′=AP′，∴△ABP′≌△ADP′，∴BP′=DP′，∴BP+PE= DP′+ P′E≥DE，即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小；
（2）解：由（1）得：B P′=DP′，∴P′B＋P′E＝DE．∵BE＝2，AE＝3BE，∴AE＝6．∴AD＝AB＝8．∴DE＝＝10．∴PB＋PE的最小值是10．∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12．
19．（1）解：证明：如图，连接，
是正方形的对角线，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵EC=EC，CB=CD，
∴△ECB≌△ECD(SAS)，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
①四边形为矩形，，
四边形为正方形，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图，
，
，
，
当时，如图，
，，
，
综上，或．
20．（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADC=90°，AD=AB=CD，
∵点E，F是AB，AD的中点，
∴AE=AB，DF=AD，
∴AE=DF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴DE=CF，∠AED=∠DFC，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠ADE+∠DFC=90°，
∴∠DGF=90°，
∴DE⊥CF，
故答案为：DE=CF，DE⊥CF；；
（2）解：延长DE交CB的延长线于H，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【初步探究】证明：如图2，过点C作，交AD于H，交DE于N，
∵，，
∴四边形FHCG是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
【基本应用】如图3，过点Q作于H，则四边形ABQH中，
由翻折变换的性质得，
∵，，
∴
∵四边形ABCD是正方形，
∴，∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点M是CD的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴的长为.
21．解：（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
；
（2）且，
理由：如图，
是正方形的对角线，
，
平分，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
而是的平分线，
，
为正方形的中心，
，
是的中位线，
且；
（3）设，则，，由（2）知，
，
，
，
，解得，
正方形的面积是2．