2022-2023学年北师大版八年级数学上册第1章勾股定理 同步解答专项练习题 （word版 含解析）

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步解答专项练习题（附答案）
1．为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m，
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
2．数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？
3．如图在四边形ABCD中，AD＝1，AB＝BC＝2，DC＝3，AD⊥AB，求S四边形ABCD．
4．如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16，
（1）若E是边AB的中点，求线段DE的长；
（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．
5．已知△ABC中，边AB＝AC＝17，BC＝16．
（1）△ABC的面积为　 　；
（2）已知点E是BC中点，以AB为斜边在△ABC外构造Rt△ABD．
①如图1，求线段DE长度的最大值；
②如图2，当AD＝BD时，求∠BED的度数．
6．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　 　、　 　；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为　 　；
（3）用所学知识加以说明．
7．如图是一副秋千架，图1是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计），图2是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）．求秋千支柱AD的高．
8．如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为　 　m；
（2）求这棵树高有多少米？
9．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．
探索研究：
（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋转，得到图3，请利用图3证明勾股定理；
数学思考：
（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．
10．如图，四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积．
11．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，
（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；
（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．
12．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
13．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．
14．[阅读理解]
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦“边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为（a+b）2或者是2×ab+c2，因此得到（a+b）2＝2×ab+c2，运用乘法公式展开整理得到a2+b2＝c2．
[尝试探究]
（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边分别为a、b，斜边长为c，请你根据古人的拼图完成证明．
（2）图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a、b，斜边长为c，请你帮助完成．
[实践应用]
已知a、b、c为Rt△ABC的三边（c＞b＞a），试比较代数式a2c2+a2b2与c4﹣b4的大小关系．
15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，BC＝10，CD＝8．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交BC于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长．
17．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E．
（1）求证：△ABC为直角三角形．
（2）求AE的长．
18．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝16，CD＝12．
（1）求△ABC的周长；
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
19．方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A和点B是格点，位置如图．
（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；
（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；
（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有 　 　个．
20．如图，△ABC中，AE是高，ED是AB边上的中线，连接CD，EF垂直平分CD，垂足为F．
（1）若AE＝6，BE＝8，求EC的长；
（2）若∠ADC＝66°，求∠BCD的度数．
参考答案
1．解：（1）连接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，
在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，
而102+242＝262，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝ AC BC﹣AD CD，
＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．
（2）需费用96×200＝19200（元）．
2．解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+2）m，
∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，
由题意列式为x2+82＝（x+2）2，解得x＝15m，
∴旗杆的高度为15米．
3．解：连接BD，
∵AD⊥AB，
∴∠A＝90°，
由勾股定理得：BD＝＝＝，
∵在△DBC中，BC＝2，DB＝，DC＝3，
∴BD2+BC2＝DC2，
∴∠DBC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△DAB+S△DBC＝+×2＝1+．
4．解：（1）在△BCD中，BC＝13，BD＝12，CD＝AC﹣AD＝5，
∵52+122＝169＝132，即CD2+BD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°．
在Rt△ABD中，AD＝16，BD＝12，∠ADB＝90°，
∴AB＝＝20．
又∵点E是边AB的中点，
∴DE＝AB＝10．
（2）当DE⊥AB时，DE长度最小．
此时：S△ABD＝AD BD＝AB DE，
∴DE＝＝．
∴线段DE的最小值为．
5．解：（1）如图，作AD⊥BC于点D，
∵△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，
∴BD＝BC＝8，
∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝15，
∴S△ABC＝×15×16＝120，
故答案为：120；
（2）①如图1，取AB中点F，连接AE、DF、EF，
∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝17，
∴AF＝EF＝AB＝8.5，
∵DE≤DF+EF＝17，
∴线段DE长度的最大值为17；
②如图2，取AB中点F，连接AE、DF、EF，同①可知DF＝EF＝AF，
∴∠FAE＝∠FEA．
设∠FAE＝∠FEA＝a，
则∠BFE＝∠FAE+∠FEA＝2a，
∵AD＝BD，
∴DF⊥AB，
∴∠BFD＝90°，
∴∠DFE＝90°+2a，
∴∠FED＝＝45°﹣a，
∴∠AED＝∠FED+∠FEA＝45°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝45°．
6．解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴11，60，61；
故答案为：60，61；
（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为，
则用含a的代数式表示第三个数为，
故答案为：；
（3）∵a2+（）2＝，
（）2＝，
∴a2+（）2＝（）2
又∵a为奇数，且a≥3，
∴由a，，三个数组成的数是勾股数．
7．解：设AD＝xm，则由题意可得
AB＝（x﹣0.5）m，AE＝（x﹣1）m，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即（x﹣1）2+1.52＝（x﹣0.5）2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
8．解：（1）设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA，
即BD+DA＝15，DA＝15﹣x，
故答案为：15﹣x；
（2）∵∠C＝90°
∴AD2＝AC2+DC2
∴（15﹣x）2＝（x+5）2+102
∴x＝2.5
∴CD＝5+2.5＝7.5
答：树高7.5米；
9．解：（1）如图3所示
∵图形的面积表示为a2+b2+2×ab＝a2+b2+ab，
图形的面积也可表示为c2+2×ab＝c2+ab；
∴a2+b2+ab＝c2+ab，
∴a2+b2＝c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（2））如图4所示：
∵大正方形的面积表示为（a+b）2；
大正方形的面积也可表示为c2+4×ab
∴（a+b）2＝c2+4×ab，
a2+b2+2ab＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2；
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
10．解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，
∴AC＝5cm，
∵CD＝12cm，DA＝13cm，
AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2，
∴△ADC为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABC
＝AC×CD﹣AB×BC
＝×5×12﹣×4×3
＝30﹣6
＝24．
故四边形ABCD的面积为24cm2．
11．解：（1）如图①所示：
（2）如图②③所示．
12．解；在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BC＝0.7m，
则AC＝＝2.4m，
∵AC＝AA1+CA1
∴CA1＝2m，
∵在直角△A1B1C中，AB＝A1B1，且A1B1为斜边，
∴CB1＝＝1.5m，
∴BB1＝CB1﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8m
答：梯足向外移动了0.8m．
13．解：由题意知，AB＝130米，AC＝50米，
且在Rt△ABC中，AB是斜边，
根据勾股定理AB2＝BC2+AC2，
可以求得：BC＝120米＝0.12千米，
且6秒＝时，
所以速度为＝72千米/时，
故该小汽车超速．
答：该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．
14．解：[尝试探究]（1）图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4（ab），即（a+b）2＝c2+4（ab），
∴a2+b2＝c2；
（2）图中大正方形的面积可表示为c2，也可表示为（b﹣a）2+4（ab），即（b﹣a）2+4（ab）＝c2，
∴a2+b2＝c2；
[实践应用]∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，
∴代数式a2c2+a2b2与c4﹣b4的大小关系是相等．
15．解：（1）连接BD，
∵AB＝AD＝6，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝6，∠ADB＝60°，
∵BC＝10，CD＝8，
则BD2+CD2＝82+62＝100，BC2＝102＝100，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝150°；
（2）S＝S△ABD+S△BDC
＝AD AD+BD DC
＝×6××6+×8×6
＝9+24．
16．证明：（1）∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴EC2﹣EA2＝AC2，
∴EC2＝EA2+AC2，
∴∠A＝90°；
（2）∵D是BC的中点，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∵∠A＝90°，AC＝6，
∴AB＝，
∵EB＝EC，
∴△AEC的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝6+8＝14．
17．（1）证明：∵△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，
又∵42+32＝52，
即AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）证明：连接CE．
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝EB，
设AE＝x，则EC＝4﹣x．
∴x2+32＝（4﹣x）2．
解之得x＝，即AE的长是．
18．解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴BC＝＝20，AC＝＝15，
∵AB＝AD+BD＝25，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝25+20+15＝60；
（2）△ABC是直角三角形；理由如下：
∵BC2+AC2＝400+225＝625＝252＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
19．解：（1）（2）如图所示：
（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有4个．
故答案是：4．
20．解：（1）∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∵AD＝DB，
∴DE＝AB＝5，
∵EF垂直平分线段CD，
∴EC＝ED＝5，
（2）设∠EDC＝∠ECD＝x，则∠DEB＝∠EDC+∠ECD＝2x，
∵DE＝DB，
∴∠B＝∠DEB＝2x，
∵∠ADC＝∠B+∠DCE＝3x，
∴3x＝66°，
∴x＝22°，
∴∠BCD＝22°．