2022-2023学年北师大版九年级数学上册1.2 矩形的性质与判定 同步练习（word版 含解析）

北师版九上 1.2 矩形的性质与判定
一、选择题（共9小题）
1. 下列命题中，是真命题的是
A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
2. 四边形 的对角线 ， 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是
A. B. C. D.
3. 如图，公路 ， 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开．若测得 的长为 ，则 ， 两点间的距离为
A. B. C. D.
4. 如图，在矩形纸片 中，已知 ，折叠纸片使 边与对角线 重合，点 落在点 处，折痕为 ，且 ，则 的长为
A. B. C. D.
5. 平行四边形 中，， 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形 是矩形，那么这个条件是
A. B. C. D.
6. 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， 为 中点，，．则线段 的长为
A. B. C. D.
7. 在判断“一个四边形门框是不是矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是
A. 测量对角线是否相等 B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量其中三个角是否都为直角
8. 如图，在 中，点 、点 分别是 ， 的中点，点 是 上一点，且 ，若 ，，则 的长为
A. B. C. D.
9. 如图，矩形纸片 中，，，折叠纸片使 边全部落在对角线 上，折痕为 ，那么 的长为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题）
10. 如图， 过矩形 对角线的交点 ，且分别交 ， 于 ，，矩形 内的一个动点 落在阴影部分的概率是 ．
11. 如图，在四边形 中，，，，， 分别是 ， 的中点，则线段 的长为 ．
12. 如图，已知四边形 为平行四边形，下列条件中：，，，，能说明平行四边形 是矩形有 （填写序号）．
13. 矩形 的对角线 ， 交于点 ，， 平分 ， 交 与 ，那么 的度数为 ．
14. 如图，在 中， 于点 ， 是 的中点．若 ，，则 等于 ．
三、解答题（共6小题）
15. 如图，在平行四边形 中， 为 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 ，，若 ，求证：四边形 是矩形．
16. 如图，矩形 中， 是 的中点．请你探索，当矩形 的一组邻边满足何种数量关系时，有 成立，说明你的理由．
17. 如图，在 中，点 ，， 分别是边 ，， 的中点， 是边 上的高．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，，求 的度数．
18. 如图，在平行四边形 中，过点 作 于点 ，点 在边 上，，连接 ，．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 平分 ，试写出线段 ，， 之间的数量关系，并加以证明．
19. 如图，已知矩形 中，对角线 与 相交于点 ， 垂直且平分线段 ，垂足为 ，，求 ， 的长．
20. 如图，在 中， 是 边上的中线， 是 的中点，过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：；
（2）若 ，试判断四边形 的形状，并证明你的结论．
答案
1. B
2. B
3. C
【解析】在 中，， 是 的中点，
（）．
故选C．
4. D
5. B
6. D
7. D
【解析】A.对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形；
B.两组对边分别相等的四边形不一定是矩形，例如平行四边形；
C.一组对角都为直角的四边形不一定是矩形，因为另外两个角的度数不确定；
D.根据矩形的判定定理，三个角都为直角的四边形是矩形．
故选D．
8. B
9. C
10.
11.
【解析】连接 ，．
， 是 的中点，
，，
，又 是 的中点，
，
．
12. ①④
13.
14.
15. 在平行四边形 中，，
，
为 的中点，
，
又 ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
在平行四边形 中，，
又 ，
，
平行四边形 是矩形．
16. 由矩形 ， 为 中点可得：，那么 ，如果 ，那么 ，因此矩形满足 即可．
17. （1） 点 ，， 分别是 ，， 的中点，
， 都是 的中位线，
，，
四边形 是平行四边形．
（2） 四边形 是平行四边形，
，
， 分别是 ， 的中点， 是边 上的高，
，，
，，
，，
，
．
，，
．
18. （1） 四边形 是平行四边形，
，
，，
四边形 是矩形．
（2） 平分 ，
，
，
，
，
，
在 中，，
又 ，
．
19. 先证 是等边三角形，再推出 厘米， 厘米．
20. （1） 因为 是 的中点，
所以 ．
因为 ，
所以 ，，
所以 ．
所以 ．
因为 是 边上的中线，
所以 ，．
（2） 四边形 是菱形．
理由：由（）知，，
因为 ，
所以四边形 是平行四边形．
又因为 ，
所以 是直角三角形．
因为 是 边上的中线，
所以 ．
所以平行四边形 是菱形．