2022-2023学年人教版九年级数学上册22.3.3 建立二次函数模型解决实际问题 同步精练 （word、含答案）

建立二次函数模型解决实际问题
同步精练
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 图①是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面宽4 m.如图②建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )
A．y＝－2x2 B．y＝2x2
C．y＝－x2 D．y＝x2
2. 北中环桥是太原的一座跨汾河大桥，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB＝90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
A．y＝x2 B．y＝－x2
C．y＝x2 D．y＝－x2
3. 中国贵州省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．据资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500 m，最低点O到口径面AB的距离是100 m，若按如图建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )
A．y＝x2－100 B．y＝－x2－100
C．y＝x2 D．y＝－x2
4. 有一拱桥呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图所示，则抛物线的函数解析式为(　　)
A．y＝x2＋x B．y＝－x2－x
C．y＝－x2＋x D．y＝－x2＋x＋16
5. 图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形近似看成抛物线y＝－(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为( )
A．16米 B．米
C．16米 D．米
6. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图)，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4 cm，最低点C在x轴上，高CH＝1 cm，BD＝2 cm.则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为( )
A．y＝(x＋3)2 B．y＝－(x－3)2
C．y＝－(x＋3)2 D．y＝(x－3)2
7. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s．其中正确的是( )
A．①④ B．①②
C．②③④ D．②③
8. 在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－x2＋bx＋c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1 m，球落地点A到O点的距离是4 m，那么这条抛物线的解析式是( )
A．y＝－x2＋x＋1 　B．y＝－x2＋x－1
C．y＝－x2－x＋1 　D．y＝－x2－x－1
9. 如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的高度应小于( )
A．2.80米 B．2.816米
C．2.82米 D．2.826米
10. 如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为( )
A．48m B．52m
C．54m D．58m
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加___________m.
12. 某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是______米．
13. 桥拱呈抛物线型，其函数解析式为y＝－x2，当桥拱水位线在某位置时，水面宽为12 m，这时水面离桥拱顶端的高度h是_______m.
14. 如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________________.
15. 有一座抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的图形放在坐标系中(如图).若在离跨度中心点M 5 m处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为_______m.
16. 某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米．则校门的高是______．(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)
三．解答题（共6小题， 56分）
17．(6分) 王大力同学在校运动会上投掷标枪，标枪运动的高度h(m)与水平距离x(m)的关系式为h＝－x2＋x＋2，求王大力同学投掷标枪的成绩．
18．(8分) 某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
19．(8分) 游乐场的圆形喷水池中心O处有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y＝－ (x－5)2＋6.
(1)求雕塑高OA.
(2)求落水点C，D之间的距离．
20．(10分) 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m.
(1)建立如图的坐标系，求抛物线的函数解析式；
(2)若洪水到来时水位以0.2 m/h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？
21．(12分) 如图，某公园草坪的防护栏形状是抛物线型．为了安全起见，每段防护栏要间距0.4 m架设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距离底部0.5 m.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求防护栏所在抛物线对应的函数解析式；
(2)根据(1)中求得的函数解析式，求防护栏支柱A3B3的长度．
22．(12分) 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系(如图所示).
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数解析式；
(3)施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上，B，C点在地面OM上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少．请你帮施工队计算一下．
参考答案
1-5CBACB 6-10DDABA
11．(4－4)
12．
13．9
14．y＝－(x＋6)2＋4
15．15
16. 9.1米
17. 解：令h＝0，则－x2＋x＋2＝0，解得x1＝48，x2＝－2(舍)，∴大力同学投掷标枪的成绩为48 m．
18. 解：如图，作出汽车通过大门时的截面图，以C点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据题意知A(－2，－4.4)，B(2，－4.4)，设该函数解析式为y＝kx2.将A点坐标代入，求得y＝－1.1x2，E，F两点的横坐标是－1.2和1.2，∴将x＝1.2代入y＝－1.1x2中，得y＝－1.584，∴GH＝CH－CG＝4.4－1.584＝2.816(m)>2.8(m)，因此这辆汽车可以顺利通过大门
19. 解：(1)当x＝0时，y＝－×(0－5)2＋6＝，∴点A的坐标为，∴雕塑高OA为 m.
(2)当y＝0时，－ (x－5)2＋6＝0，解得x1＝－1(舍去)，x2＝11，∴点D的坐标为(11，0)，∴OD＝11 m.∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC＝OD＝11 m，∴CD＝OC＋OD＝22 m.
20. 解：(1)由题意知点D的横坐标为5，点B的横坐标为10，EF＝3，设OE＝h，则OF＝h－3，则点B(10，－h)，D(5，3－h).设抛物线的函数解析式为y＝ax2，则解得∴抛物线的函数解析式为y＝－x2　
(2)再过20 h就能到达桥面
21. 解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系(注：方法不唯一)，由题意，得D(0，0.5)，C(1，0)，设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，代入得a＝－0.5，c＝0.5，∴解析式为y＝－0.5x2＋0.5
(2)当x＝0.2时，y＝－0.5×0.22＋0.5＝0.48，答：这条防护栏的不锈钢支柱A3B3的长度为0.48 m
22. 解：(1)M(12，0)，P(6，6)　
(2)设这条抛物线的函数解析式为y＝a(x－6)2＋6，∵抛物线过点O(0，0)，∴a(0－6)2＋6＝0，解得a＝－，∴这条抛物线的函数解析式为y＝－(x－6)2＋6，即y＝－x2＋2x
(3)设点A的坐标为(m，－m2＋2m)，则OB＝m，AB＝DC＝－m2＋2m，根据抛物线的轴对称，可得OB＝CM＝m，∴BC＝12－2m，即AD＝12－2m，∴l＝AB＋AD＋DC＝－m2＋2m＋12－2m－m2＋2m＝－m2＋2m＋12＝－(m－3)2＋15，∴当m＝3，即OB＝3米时，三根木杆长度之和l取最大值为15米