北师大版数学八年级下册6.2平行四边形的判定同步练习
一、选择题
1．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
2．下列判断正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
B．两条对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
C．两组邻角分别互补的四边形一定是平行四边形
D．两条对角线相等的四边形一定是平行四边形
3．（2017八下·临泽期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=OD
C．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC
4．已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
5．下列给出的是四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能说明四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．2：2：3：4 C．2：3：2：3 D．2：3：3：2
6．点A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A，B，C，D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给的边长长度及角度，判断哪一个为平行四边形？（ ）
A． B．
C． D．
8．若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
10．下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等 B．两条对角线互相平分
C．一组对边平行 D．两条对角线互相垂直
11．在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．∠A=∠C，∠B=∠D
B．∠A=∠B=∠C=90°
C．∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°
D．∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°
12．根据下列条件，能作出平行四边形的是（ ）
A．两组对边的长分别是3和5
B．相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9
C．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8
D．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5
13．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形的共有（ ）个．
A．10 B．12 C．14 D．23
14．如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连接AD，CD，则有（ ）
A．∠ADC与∠BAD相等
B．∠ADC与∠BAD互补
C．∠ADC与∠ABC互补
D．∠ADC与∠ABC互余
15．如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A．（3，-1） B．（-1，-1） C．（1，1） D．（-2，-1）
二、填空题
16．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形
17．如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，且CD=6cm，AB=9cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向B运动，Q以2cm/s的速度由C向D运动．则 秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形
18．用边长为4cm，5cm，6cm的两个全等三角形一共能拼成 个平行四边形．
19．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件： 使四边形ABCD是平行四边形。
20．如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个
三、解答题
21．嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，
求证：四边形ABCD是 四边形．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为平行四边形两组对边分别相等
22．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.
23．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由。
24．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．
25．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】
【解答】如图示，根据平行四边形的判定定理知，只有C符合条件．
故选C．
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可．
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项错误；
B，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；
C，两组邻角分别互补的四边形不一定是平行四边形，还可能是梯形，故本选项错误；
D，两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形的两条对角线相等，故本选项错误；
故选：B．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断．
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】依题意得有四种组合方式：（1）①③，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；（2）②④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；（3）①②或③④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定．故选：C．
【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式：（1）两组对边平行①③；（2）两组对边相等②④；（3）一组对边平行且相等①②或③④，所以有四种组合．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】由平行四边形的两组对角分别相等，可知C正确．故选：C．
【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有C能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】分别以AB、BC、AC为平行四边形的对角线，作平行四边形，共三个，故选C．
【分析】分三种情况，分别以AB、BC、AC为平行四边形的对角线，作平行四边形．
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（A） 上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形；
（B） 上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形，但此等腰梯形底角为90°，所以为平行
四边形；
（C） 上、下这一组对边平行，可能为梯形；
（D） 上、下这一组对边平行，可能为梯形；
故选：B．
【分析】利用平行四边形的判定定理、等腰梯形的判定及梯形的判定方法分别对每个选项判断后即可确定答案．
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【分析】令点A为（-0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t，
根据题意得到12-3t=t，
解得：t=3，
故选B．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；等腰梯形的性质
【解析】【解答】 A，一组对边相等，不能判断，故错误；
B，两条对角线互相平分，能判断，故正确；
C，一组对边平行，不能判断，故错误；
D，两条对角线互相垂直，不能判断，故错误．
故选：B．
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断．
11．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】（A）∠A=∠C，∠B=∠D，根据四边形的内角和为360°，可推出∠A+∠B=180°，所以AD∥BC，同理可得AB∥CD，所以四边形ABCD为平行四边形，故A选项正确；
（B）∠A=∠B=∠C=90°，则∠D=90°，四个内角均为90°可以证明四边形ABCD为矩形，故B选项正确；
（C）∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°即可证明AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的定义可以证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项正确；
（D）∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°即可证明AD∥BC，条件不足，不足以证明四边
ABCD为平行四边形，故D选项错误．
故选 D．
【分析】根据平行四边形的多种判定方法，分别分析A、B、C、D选项是否可以证明四边形ABCD为平行四边形，即可解题．
12．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】A，因为平行四边形的对边相等，故本选项正确；
B，因为3+5＜9，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
C，因为3+4=7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
D，因为3+2.5＜7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
故选A．
【分析】因为平行四边形的对角线把平行四边形分成三角形，根据平行四边形的对角线互相平分求出对角线一半的长，根据三角形的三边关系定理看能不能作出三角形，即可判断能不能作出平行四边形即可．
13．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】
一顶点在BC上，两顶点在MG上的有四边形AGIB，AOQB，AMIF，AQFO，ABMI，AFGI共6个，
一顶点在BC上，两顶点在PH上的有四边形AHVC，AVNC，APZE，AZNE，AEVN，ACZN共6个，
还有四边形AQNO，AIYL，ATXI，AHLI，APTI，AGHI，AMPI，AZRN，AVR′N，AOKN，AQSN，共11个，6+6+11=23个，故选D．
【分析】观察图形，根据平行四边形的判定数出平行四边形的个数即可．
14．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】如图，
依题意得AD=BC、CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠BAD=180°，∠ADC=∠ABC，
∴B正确．
故选B．
【分析】首先根据已知条件可以证明四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可作出判定．
15．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】A，∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（3，-1）时，
∴BO=AC1=2，
∵A，C1，两点纵坐标相等，
∴BO∥AC1，
∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确；
B，∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（-1，-1）时，
∴BO=AC2=2，
∵A，C2，两点纵坐标相等，
∴BO∥AC2，
∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确；
C，∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（1，1）时，
∴BO=AC1=2，
∵A，C1，两点纵坐标相等，
∴C3O=BC3=.
同理可得出AO=AB= .
进而得出C3O=BC3=AO=AB，∠OAB=90°，
∴四边形OABC3是正方形；故此选项正确；
D，∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（-1，-1）时，四边形OC2AB是平行四边形；
∴当第四个点为（-2，-1）时，四边形OC2AB不可能是平行四边形；
故此选项错误．
故选：D．
【分析】根据以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，根据平行四边形的判定分别对答案A，B，C，D进行分析即可得出符合要求的答案．
16．【答案】BO=DO
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：BO=DO．
【分析】根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可．
17．【答案】2或3
【知识点】平行四边形的判定；梯形
【解析】【解答】设x秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形；
则AP=xcm，BP=（9-x）cm，CQ=2xcm，DQ=（6-2x）cm；
∵CD∥AB，
∴分两种情况：
①当AP=DQ时，x=6-2x，
解得：x=2；
②当BP=CQ时，9-x=2x，
解得：x=3；
综上所述：当2秒或3秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形；
故答案为：2或3．
【分析】设x秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形；则AP=xcm，BP=（9-x）cm，CQ=2xcm，DQ=（6-2x）cm；分两种情况：
①当AP=DQ时，得出方程，解方程即可；
②当BP=CQ时，得出方程，解方程即可．
18．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】如图所示：
共6个四边形，其中有3个平行四边形．
故答案为：3．
【分析】把相等的边重合后，得到一个四边形，再把一个翻转180度后，相同边再重合，就又能组成一个四边形，这其中必有一次是平行四边形，由于三边不同，故可组成3×2=6个不同的四边形，其中有3个平行四边形．
19．【答案】AB=BF
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】添加条件是AB=BF，
理由是：∵CD∥AF，
∴∠CDE=∠F，
∵E是BC边的中点，
∴CE=BE，
在△CDE和△BFE中
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DC=BF，
∵AB=BF，CD∥AF，
∴AB=CD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AB=BF．
【分析】添加条件是AB=BF，求出∠CDE=∠F，CE=BE，根据AAS证△CDE≌△BFE，推出DC=BF，推出AB=CD，CD∥AB，根据平行四边形的判定推出即可．
20．【答案】3n
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1C1∥AB1A1B1∥BC1A1C1∥B1C
A1C1=AB1A1B1=BC1A1C1=B1C，
∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四边形，共有3个．
在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，
同理可证：四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C、A2B2C2B1、A2B2A1C2、A2C2B2C1是平行四边形，共有6个．
…
按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
【分析】根据平行四边形的判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．在图（1）中，有3个平行四边形；在图（2）中，有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
21．【答案】解：（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD求证：四边形ABCD是平行四边形．（2）证明：连接BD，在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等．
【知识点】平行四边形的判定；逆命题
【解析】【分析】（1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，根据题设可得已知：在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）连接BD，利用SSS定理证明△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，进而可得AB∥CD，AD∥CB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别相等．
22．【答案】（1）【解答】证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
（2）【解答】∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
23．【答案】（1）【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°．
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=∠DCE=90°．
又∵CG=CE，
∴△BCG≌△DCE．
（2）【解答】四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：
∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′．
∵CE=CG，
∴CG=AE′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE′∥DG，AB=CD．
∴AB-AE′=CD-CG．
即BE′=DG．
∴四边形E′BGD是平行四边形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由正方形ABCD，得BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°，又CG=CE，所以△BCG≌△DCE（SAS）．（2）由（1）得BG=DE，又由旋转的性质知AE′=CE=CG，所以BE′=DG，从而证得
四边形E′BGD为平行四边形．
24．【答案】（1）【解答】梯形、矩形、正方形
（2）【解答】结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．
已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC=BD，
且∠AOD=60度．
求证：BC+AD≥AC．
证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC．
连接CE，BE．
故∠EDO=60°，四边形ACED是平行四边形．
∵AC=DE，AC=BD，
∴DE=BD，
∵∠EDO=60°，
∴△BDE是等边三角形．
所以DE=BE=AC．
①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1），
在△BCE中，有BC+CE＞BE．
所以BC+AD＞AC．
②当BC与CE在同一条直线上时（如图2），
则BC+CE=BE．
因此BC+AD=AC
综合①、②，得BC+AD≥AC．
即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）等腰梯形、矩形、正方形，任选两个即可；（2）等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．分两种情况证明：当BC与CE不在同一条直线上时，60°角所对的两边之和大于其中一条对角线的长；当BC与CE在同一条直线上时60°角所对的两边之和等于其中一条对角线的长．
25．【答案】（1）【解答】△BDE≌△FEC或△BCE≌△FDC或△ABE≌△ACF
（选证一）△BDE≌△FEC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°．
∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形．
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°．
又∵EF=AE，
∴BD=FE．
∴△BDE≌△FEC．
（选证二）△BCE≌△FDC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°．
又∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形．
∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．
∵EF=AE，
∴EF+DE=AE+CE．
∴FD=AC=BC．
∴△BCE≌△FDC．
（选证三）△ABE≌△ACF．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°．
∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．
∴∠AEF=∠CED=60°．
∵EF=AE，△AEF是等边三角形．
∴AE=AF，∠EAF=60°．
∴△ABE≌△ACF．
（2）【解答】四边形ABDF是平行四边形．
理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形．
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°．
∴AB∥DF，BD∥AF．
∴四边形ABDF是平行四边形．
（3）【解答】由（2）知，四边形ABDF是平行四边形．
∴EF∥AB，EF≠AB．
∴四边形ABEF是梯形．
过E作EG⊥AB于G，则EG=.
∴ S四边形ABEF
．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）从图上及已知条件容易看出△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以此题的关键是找出相等的边．（2）由（1）的结论容易证明AB∥DF，BD∥AF，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（3）EF∥AB，EF≠AB，四边形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面积即可．
1 / 1北师大版数学八年级下册6.2平行四边形的判定同步练习
一、选择题
1．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】
【解答】如图示，根据平行四边形的判定定理知，只有C符合条件．
故选C．
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可．
2．下列判断正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
B．两条对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
C．两组邻角分别互补的四边形一定是平行四边形
D．两条对角线相等的四边形一定是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项错误；
B，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；
C，两组邻角分别互补的四边形不一定是平行四边形，还可能是梯形，故本选项错误；
D，两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形的两条对角线相等，故本选项错误；
故选：B．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断．
3．（2017八下·临泽期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=OD
C．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
4．已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】依题意得有四种组合方式：（1）①③，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；（2）②④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；（3）①②或③④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定．故选：C．
【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式：（1）两组对边平行①③；（2）两组对边相等②④；（3）一组对边平行且相等①②或③④，所以有四种组合．
5．下列给出的是四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能说明四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．2：2：3：4 C．2：3：2：3 D．2：3：3：2
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】由平行四边形的两组对角分别相等，可知C正确．故选：C．
【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有C能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．
6．点A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A，B，C，D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】分别以AB、BC、AC为平行四边形的对角线，作平行四边形，共三个，故选C．
【分析】分三种情况，分别以AB、BC、AC为平行四边形的对角线，作平行四边形．
7．下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给的边长长度及角度，判断哪一个为平行四边形？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（A） 上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形；
（B） 上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形，但此等腰梯形底角为90°，所以为平行
四边形；
（C） 上、下这一组对边平行，可能为梯形；
（D） 上、下这一组对边平行，可能为梯形；
故选：B．
【分析】利用平行四边形的判定定理、等腰梯形的判定及梯形的判定方法分别对每个选项判断后即可确定答案．
8．若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【分析】令点A为（-0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t，
根据题意得到12-3t=t，
解得：t=3，
故选B．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
10．下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等 B．两条对角线互相平分
C．一组对边平行 D．两条对角线互相垂直
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；等腰梯形的性质
【解析】【解答】 A，一组对边相等，不能判断，故错误；
B，两条对角线互相平分，能判断，故正确；
C，一组对边平行，不能判断，故错误；
D，两条对角线互相垂直，不能判断，故错误．
故选：B．
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断．
11．在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．∠A=∠C，∠B=∠D
B．∠A=∠B=∠C=90°
C．∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°
D．∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】（A）∠A=∠C，∠B=∠D，根据四边形的内角和为360°，可推出∠A+∠B=180°，所以AD∥BC，同理可得AB∥CD，所以四边形ABCD为平行四边形，故A选项正确；
（B）∠A=∠B=∠C=90°，则∠D=90°，四个内角均为90°可以证明四边形ABCD为矩形，故B选项正确；
（C）∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°即可证明AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的定义可以证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项正确；
（D）∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°即可证明AD∥BC，条件不足，不足以证明四边
ABCD为平行四边形，故D选项错误．
故选 D．
【分析】根据平行四边形的多种判定方法，分别分析A、B、C、D选项是否可以证明四边形ABCD为平行四边形，即可解题．
12．根据下列条件，能作出平行四边形的是（ ）
A．两组对边的长分别是3和5
B．相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9
C．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8
D．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】A，因为平行四边形的对边相等，故本选项正确；
B，因为3+5＜9，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
C，因为3+4=7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
D，因为3+2.5＜7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
故选A．
【分析】因为平行四边形的对角线把平行四边形分成三角形，根据平行四边形的对角线互相平分求出对角线一半的长，根据三角形的三边关系定理看能不能作出三角形，即可判断能不能作出平行四边形即可．
13．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形的共有（ ）个．
A．10 B．12 C．14 D．23
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】
一顶点在BC上，两顶点在MG上的有四边形AGIB，AOQB，AMIF，AQFO，ABMI，AFGI共6个，
一顶点在BC上，两顶点在PH上的有四边形AHVC，AVNC，APZE，AZNE，AEVN，ACZN共6个，
还有四边形AQNO，AIYL，ATXI，AHLI，APTI，AGHI，AMPI，AZRN，AVR′N，AOKN，AQSN，共11个，6+6+11=23个，故选D．
【分析】观察图形，根据平行四边形的判定数出平行四边形的个数即可．
14．如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连接AD，CD，则有（ ）
A．∠ADC与∠BAD相等
B．∠ADC与∠BAD互补
C．∠ADC与∠ABC互补
D．∠ADC与∠ABC互余
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】如图，
依题意得AD=BC、CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠BAD=180°，∠ADC=∠ABC，
∴B正确．
故选B．
【分析】首先根据已知条件可以证明四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可作出判定．
15．如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A．（3，-1） B．（-1，-1） C．（1，1） D．（-2，-1）
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】A，∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（3，-1）时，
∴BO=AC1=2，
∵A，C1，两点纵坐标相等，
∴BO∥AC1，
∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确；
B，∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（-1，-1）时，
∴BO=AC2=2，
∵A，C2，两点纵坐标相等，
∴BO∥AC2，
∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确；
C，∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（1，1）时，
∴BO=AC1=2，
∵A，C1，两点纵坐标相等，
∴C3O=BC3=.
同理可得出AO=AB= .
进而得出C3O=BC3=AO=AB，∠OAB=90°，
∴四边形OABC3是正方形；故此选项正确；
D，∵以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，
当第四个点为（-1，-1）时，四边形OC2AB是平行四边形；
∴当第四个点为（-2，-1）时，四边形OC2AB不可能是平行四边形；
故此选项错误．
故选：D．
【分析】根据以O（0，0）、A（1，-1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，根据平行四边形的判定分别对答案A，B，C，D进行分析即可得出符合要求的答案．
二、填空题
16．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形
【答案】BO=DO
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：BO=DO．
【分析】根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可．
17．如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，且CD=6cm，AB=9cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向B运动，Q以2cm/s的速度由C向D运动．则 秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形
【答案】2或3
【知识点】平行四边形的判定；梯形
【解析】【解答】设x秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形；
则AP=xcm，BP=（9-x）cm，CQ=2xcm，DQ=（6-2x）cm；
∵CD∥AB，
∴分两种情况：
①当AP=DQ时，x=6-2x，
解得：x=2；
②当BP=CQ时，9-x=2x，
解得：x=3；
综上所述：当2秒或3秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形；
故答案为：2或3．
【分析】设x秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形；则AP=xcm，BP=（9-x）cm，CQ=2xcm，DQ=（6-2x）cm；分两种情况：
①当AP=DQ时，得出方程，解方程即可；
②当BP=CQ时，得出方程，解方程即可．
18．用边长为4cm，5cm，6cm的两个全等三角形一共能拼成 个平行四边形．
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】如图所示：
共6个四边形，其中有3个平行四边形．
故答案为：3．
【分析】把相等的边重合后，得到一个四边形，再把一个翻转180度后，相同边再重合，就又能组成一个四边形，这其中必有一次是平行四边形，由于三边不同，故可组成3×2=6个不同的四边形，其中有3个平行四边形．
19．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件： 使四边形ABCD是平行四边形。
【答案】AB=BF
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】添加条件是AB=BF，
理由是：∵CD∥AF，
∴∠CDE=∠F，
∵E是BC边的中点，
∴CE=BE，
在△CDE和△BFE中
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DC=BF，
∵AB=BF，CD∥AF，
∴AB=CD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AB=BF．
【分析】添加条件是AB=BF，求出∠CDE=∠F，CE=BE，根据AAS证△CDE≌△BFE，推出DC=BF，推出AB=CD，CD∥AB，根据平行四边形的判定推出即可．
20．如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个
【答案】3n
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1C1∥AB1A1B1∥BC1A1C1∥B1C
A1C1=AB1A1B1=BC1A1C1=B1C，
∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四边形，共有3个．
在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，
同理可证：四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C、A2B2C2B1、A2B2A1C2、A2C2B2C1是平行四边形，共有6个．
…
按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
【分析】根据平行四边形的判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．在图（1）中，有3个平行四边形；在图（2）中，有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
三、解答题
21．嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，
求证：四边形ABCD是 四边形．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为平行四边形两组对边分别相等
【答案】解：（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD求证：四边形ABCD是平行四边形．（2）证明：连接BD，在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等．
【知识点】平行四边形的判定；逆命题
【解析】【分析】（1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，根据题设可得已知：在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）连接BD，利用SSS定理证明△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，进而可得AB∥CD，AD∥CB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别相等．
22．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.
【答案】（1）【解答】证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
（2）【解答】∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
23．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由。
【答案】（1）【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°．
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=∠DCE=90°．
又∵CG=CE，
∴△BCG≌△DCE．
（2）【解答】四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：
∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′．
∵CE=CG，
∴CG=AE′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE′∥DG，AB=CD．
∴AB-AE′=CD-CG．
即BE′=DG．
∴四边形E′BGD是平行四边形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由正方形ABCD，得BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°，又CG=CE，所以△BCG≌△DCE（SAS）．（2）由（1）得BG=DE，又由旋转的性质知AE′=CE=CG，所以BE′=DG，从而证得
四边形E′BGD为平行四边形．
24．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．
【答案】（1）【解答】梯形、矩形、正方形
（2）【解答】结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．
已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC=BD，
且∠AOD=60度．
求证：BC+AD≥AC．
证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC．
连接CE，BE．
故∠EDO=60°，四边形ACED是平行四边形．
∵AC=DE，AC=BD，
∴DE=BD，
∵∠EDO=60°，
∴△BDE是等边三角形．
所以DE=BE=AC．
①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1），
在△BCE中，有BC+CE＞BE．
所以BC+AD＞AC．
②当BC与CE在同一条直线上时（如图2），
则BC+CE=BE．
因此BC+AD=AC
综合①、②，得BC+AD≥AC．
即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）等腰梯形、矩形、正方形，任选两个即可；（2）等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．分两种情况证明：当BC与CE不在同一条直线上时，60°角所对的两边之和大于其中一条对角线的长；当BC与CE在同一条直线上时60°角所对的两边之和等于其中一条对角线的长．
25．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．
【答案】（1）【解答】△BDE≌△FEC或△BCE≌△FDC或△ABE≌△ACF
（选证一）△BDE≌△FEC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°．
∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形．
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°．
又∵EF=AE，
∴BD=FE．
∴△BDE≌△FEC．
（选证二）△BCE≌△FDC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°．
又∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形．
∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．
∵EF=AE，
∴EF+DE=AE+CE．
∴FD=AC=BC．
∴△BCE≌△FDC．
（选证三）△ABE≌△ACF．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°．
∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．
∴∠AEF=∠CED=60°．
∵EF=AE，△AEF是等边三角形．
∴AE=AF，∠EAF=60°．
∴△ABE≌△ACF．
（2）【解答】四边形ABDF是平行四边形．
理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形．
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°．
∴AB∥DF，BD∥AF．
∴四边形ABDF是平行四边形．
（3）【解答】由（2）知，四边形ABDF是平行四边形．
∴EF∥AB，EF≠AB．
∴四边形ABEF是梯形．
过E作EG⊥AB于G，则EG=.
∴ S四边形ABEF
．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）从图上及已知条件容易看出△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以此题的关键是找出相等的边．（2）由（1）的结论容易证明AB∥DF，BD∥AF，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（3）EF∥AB，EF≠AB，四边形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面积即可．
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