第11章三角形全章学案(共11课时)
文档属性
| 名称 | 第11章三角形全章学案(共11课时) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-10-02 16:59:39 | ||
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文档简介
2013年秋人教版八年级上册数学
第11章 三角形全章学案
第一课时 11.1.1 三角形的边
一、新课导入
1、三角形是我们早已熟悉的图形，你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗？
2、对于三角形，你了解了哪些方面的知识？你能画一个三角形吗？
二、学习目标
1、三角形的三边关系。
2、用三边关系判断三条线段能否组成三角形。
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
研读一、认真阅读课本（时间：5分钟）
要求：知道三角形的定义；会用符号表示三角形，了解按边角关系对三角形进行分类。一边阅读一边完成检测一。
检测练习一、
1、 的图形叫三角形。
2、如图线段AB，BC，CA是三角形的 ，
点A，B，C是三角形的 ，∠ A、∠ B、 ∠ C是 ，叫做 ，简称 。
3、用符号语言表示上图的三角形。
顶点是 的三角形，记作 ，读作： 。
4、按照三个内角的大小，可以将三角形分为
5、三角形按边可分为
研读二、认真阅读课本（ 时间：3分钟）
要求：思考“探究”中的问题，理解三角形两边的和大于第三边；
游戏：用棍子摆三角形。
检测练习二、6、在三角形ABC中，
AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC
7、假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C，
有 路线。路线 最近，根据是： ，于是有：（得出的结论） 。
8、下列下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？
(1)3、4、8 (2)5、6、11 (3)5、6、10
研读三、认真阅读课本认真看课本（ 时间：5分钟）
要求：（1）、注意例题的格式和步骤，思考（2）中为什么要分情况讨论。
（2）、对这例题的解法你还有哪些不理解的？
（3）、一边阅读例题一边完成检测练习三。
检测练习三、
9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；
②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.（要有完整的过程啊！）
解：
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、下列说法正确的是
等边三角形是等腰三角形
三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
三角形的两边之差大于第三边
三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
其中正确的是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、一个不等边三角形有两边分别是3、5另一边可能是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
3、下列长度的各边能组成三角形的是（ ）
A、3cm、12cm、8cm B、6cm、8cm、15cm 、3cm、5cm D、6.3cm、6.3cm、12cm
【B】组
4、已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，求这个三角形的周长。
5、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是多少？
【C】组（共小1-2题）
6、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是 。
小方有两根长度分别为5cm、8cm的游戏棒，他想再找一根，使这三根游戏棒首尾相连能搭成一个三角形.
（1）你能帮小方想出第三根游戏棒的长度吗？（长度为正整数）
（2）想一想：如果已知两边，则构成三角形的第三边的条件是什么？
（3）如果第三边的长为偶数，那么第三条又有几种情况？
第二课时 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（1）
一、新课导入
你还记得 “过直线外一点画已知直线的垂线”怎么画吗?
二、学习目标
1、了解三角形的高的概念；
2、会用工具准确画出三角形的高。
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
1、 定义：从三角形的一个 向它的 所在的直线作 ， 和
之间的线段，叫做三角形的高。
2、几何语言（图1）
AD是△ABC的高
ADBC于点D（或 = =90o）
逆向：
ADBC于点D（或 = =90o）
AD是△ABC中BC边上的高
3、请画出下列三角形的高
A A A
B C B C B C
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？
（二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、三角形的高是（ ）
A．直线 B．射线 C．线段 D．垂线
2、如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
3、对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（ ）
A．锐角三角形有三条高 B．直角三角形只有一条高
C．任意三角形都有三条高 D．钝角三角形有两条高在三角形的外部
【B】组
4、如图1，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC的三条高分别为线段____ ____．
5、如图2，在△ABC中，∠ACB=900，CD是边AB上的高。与∠A相等的角是（ ）
A.∠A B.∠ACD C.∠BCD D.∠BDC
C
A B
D
图1 图2
【C】组
6、如右图，在锐角△ABC中，CD、BE分别
是AB、AC上的高，且CD、BE交于一
点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是
（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
7、如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，AD⊥BC于D，AD=5， BE⊥AC于E，求BE
的长．
第三课时 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（2）
一、新课导入
请画出线段AB的中点。
二、学习目标
1、了解三角形的中线的概念；
2、会用工具准确画出三角形的中线。
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
（1）定义：连结三角形一个 和它对边 的线段，叫做三角形的中线。
（2）几何语言（右图）
AD是△ABC的中线
=
逆向：
=
AD是△ABC的中线
（3）画出下列三角形的中线
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？
（二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、三角形的三条三条中线交于 。
2、三角形的中线是（ ）
A．直线 B．射线 C．线段 D．垂线
3、如右图，
则BD的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【B】组
4、如右图，D、E是AC的三等分点，BD是
△ 中的 边上的中线，BE是
△ 中的 边上的中线 B D E C
5、如右图，BD=BC，则BC边上的中线为______，
△ 的面积=△____ _的面积
【C】组
6、如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD与△ACD的周长之差．
第四课时 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（3）
一、新课导入
请画出∠AOB的角平分线。
二、学习目标
1、了解三角形的角平分线的概念；
2、会用工具准确画出三角形的角平分线。
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
（1）定义：三角形一个内角的 与它的 相交,这个角 与
之间的线段，叫做三角形的角平分线。
（2）几何语言（右图）：
AD是△ABC的角平分线
=
逆向：
=
AD是△ABC的角平分线
（3）画出下列三角形的角平分线
思考：三角形的角平分线与一个角的角平分线有何异同？
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？
（二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、三角形的角平分线是（ ）
A．直线 B．射线 C．线段 D．垂线
2、如图。在 △ABC中， AD是角平分线，AE是中线，AF是高，则
（1）BE = = . A
（2）∠BAD = =
（3）∠AFB = = 90° B E D F C
（4）△ABC的面积 = .
3、如右图，在ΔABC中，AD平分∠BAC且与BC
相交于点D，∠B=400，∠BAD=300，则∠C的
度数是 ；
【B】组
4．以下说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高可能相交于外部一点
5．如图，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．
【C】组
6．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度.
7、如图，在ΔABC中，AD是ΔABC的高，AE是ΔABC的角平分线，已知∠BAC=820，∠C=400，求∠DAE的大小。
分析:你能先求出∠AED的度数吗?
第五课时 11.1.3 三角形的稳定性
一、新课导入
盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅
常常先在窗框上斜钉一根木条（如右图），为什么
这样做呢？
二、学习目标
1、了解三角形的稳定性，四边形没有稳定性，
2、理解稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
活动1、自主探究
1、如图（1），用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
2、如图（2），用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
3、如图（3），在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然
后扭动它，它的形状会改变吗？
（2）
活动2、议一议
从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。
三角形木架形状 改变，四边形木架形状 改变，这就是说，三角形具有 性，四边形不具有 性。
斜钉一根木条的四边形木架的形状 改变，原因是四边形变成了两个三角形，这样就利用了三角形的 。
活动3、看一看，想一想
三角形的稳定性和四角形的不稳定性在生活中都有广泛应用。
你知道课本图7.1-8和图7.1-9中的例子哪些是利用三角形的稳定性？哪些是利用四角形的不稳定性？你能再举一些例子吗？
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？
（二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、下列图形中具有稳定性的有
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2、在建筑工地我们常可看见如右图所示，用木条EF
固定矩形门框ABCD的情形.这种做法根据( )
A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线
C.三角形的稳定性 D.垂线段最短
3、下列图形具有稳定性的有（ ）
A.梯形 B. 长方形 C. 直角三角形 D. 正方形
【B】组
4、如右图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，
这里所运用的几何原理是_____ ____。
5、我们学校的大门是电动推拉门，这种门工作的原理
是根据四边形的 。
【C】组
6、（开放题）三角形具有稳定性，而其它多边形不具有稳定性，要使多边形也具有稳定性必须额外加一些线段，将其转化为几个三角形。试探究要使四边形不变形，至少需要加 条线段，五边形至少需要加 条线段，六边形至少需要加 条线段，n边形（n﹥3）最少需要 条线段才具有稳定性。
第六课时 11.2.1 三角形的内角
一、新课导入
1、平行线有哪些性质？ 2、1平角= °；3、三角形的内角和等于 °
二、学习目标
1、了解三角形的稳定性，四边形没有稳定性，2、理解稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
活动1、自主探究
在事先准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码（如图1），并将它的内角剪下拼合在一起，看看得到什么结果。
（图1） （图2）
活动2、议一议
从上面的操作过程你能得出什么结论？与同伴交流。
把一个三角形其中的两个角剪下拼在第三个角的顶点处（如图2、图3），形成了一个 角。说明在中， 。 从中得出：
三角形内角和定理 。
活动3、想一想
如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理的正确性呢？
已知： . 求证： .
证明：如右图，过点A作直线DE，
使DE//BC
因为DE//BC，
所以∠B=∠ （ ）
同理∠C=∠
因为∠BAC、∠DAB、∠EAC组成 角，
所以∠BAC+∠DAB+∠EAC= （ ）
所以∠BAC + ∠B + ∠C= （ ）
说明：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常用虚线表示。
3、思考：在图2中，CM与的边AB有什么关系？你能从中想出其他证明三角形内角和定理的方法吗？
活动4、例题
如右下图，C岛在A岛的北偏东方向， B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从C岛看A、B两岛的视角是多少度？
(先独立解决，再小组合作，教师点评)
解：∠CBA= - = 80°- 50°=30°
由AD//BE,可得： + =180°
所以∠ABE=180°- =180°-80°=100°
∠ABC= - =100°-40°=60°
在⊿ABC中，∠ABC=180°- - =180°- 60°- 30°=90°
答： 。
想一想：你还有其他解法吗？
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、在△ABC中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=_ ___；
2、在△ABC中,若∠A=80°,则∠B＋∠C=__ __；
3、在△ABC中,若∠A=400，∠A=2∠B，则∠C = 。
【B】组
4、判断对错：
（1）三角形中最大的角是，那么这个三角形是锐角三角形（ ）
（2）一个等腰三角形一定是锐角三角形（ ）
（3）一个三角形最少有一个角不大于（ ）
5、如右图，在△ABC中∠C=60°，∠B=50°，
AD是∠BAC的平分线，则∠BAD= ，
∠DAC=__ _ ,∠ADB=__ __。
6、如图,在△ABC中,∠ABC=700,∠C=650,BD⊥AC于D，
求∠ABD,∠CBD的度数
【C】组
7、如图：在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC=132°，
则∠A等于多少度？若∠BOC=a°时，∠A又等于多少度呢？
第七课时 11.2.2 三角形的外角
一、新课导入
1、三角形的内角和定理：
2、填空:
(1) 在△ABC中，∠A=300，∠B=500， 则∠C＝ 。
(2) 在直角△ABC中，其中一个锐角是500， 则另一个锐角等于 。
二、学习目标
1、探索并了解三角形的外角的两条性质
2、利用学过的定理论证这些性质
3、能利用三角形的外角性质解决实际问题
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
活动1、做一做，把的一边AB延长到D，得，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？ 。
定义：三角形的一边与 组成的角，叫做三角形的外角。
想一想：三角形的外角有几个？ .每个顶点处有 个外角，但它们是 。
活动2、议一议
在图1中，与的内角有什么关系？
（1）∠ACD = + ；
（2）∠ACD ∠A， ∠ACD ∠B （填“<”、“=”“>”）。
再画的其他的外角试一试，还会得到这些结论吗？
同学用几何语言叙述这个结论：
三角形的一个外角等于 两个内角的 ；
三角形的一个外角大于 任何一个内角。
你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？
已知：是的外角
求证：（1）（2），
证明：（1）因为∠A+∠B+∠ACB=180°（ ）.
所以∠A+∠B= .
又因为∠ACB+∠ACD=180°，所以∠ACD= .
所以∠ACD=∠ （ ）.
（2）由（1）的证明结果可以得出：
，
想一想：你还可以结合右图形给予说明吗？
活动3、例题
如右图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的不同三个外角，则它们的和是多少？
解：因为∠1=∠ABC+∠ACB，
∠2= ，∠3= （ ）
所以 ∠1 + ∠2 + ∠3
= 2（ + + ）
因为 + + = 180o，
所以 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 2180o = 360o
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2、△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
3、如图2，△ABC中，点D在BC的延长线
上，点F是AB边上一点，延长CA到E，
连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是
______ ___．
【B】组
4、 三角形的三个外角中最多有 锐角，最多有 个钝角，最多有 个直角。
5、 如图所示，则α= °．
6、 如图，∠A=55°，∠B=30°，∠C=35°，求∠D的度数．
【C】组
7、（1）如图（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
11.3多边形及其内角和
第八课时
（一）引入
你能从图以下中找出几个由一些线段围成的图形吗?
（二）知识点
我们学过三角形。类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（po1ygon）。
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图7.3－4中的∠l是五边形ABCDE的一个外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal）。图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线。
特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线条。
例如：十边形有________条对角线。在这里n=10，就可套用对角线条数公式（条）。
如图7.3—6（1），画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。而图7.3—6（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。本节只讨论凸多边形。
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等。像正方形那样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。图7.3－7是正多边形的一些例子。
特别提醒：（1）正多边形必须两个条件同时具备，①各内角都相等；②各边都相等。例如：矩形各个内角都相等，它就不是正四边形。再如：菱形各边都相等，它却不是正四边形。
（三）练习
一起学习课本86页的练习
（四）小结
引导学生总结本节的知识点。
第九课时
（一）思考
三角形的内角和等于180°。正方形、长方形的内角和都等于360°，其他四边形的内角和等于多少？
（二）探究
任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和。 再画几个四边形，量一量，算一算。你能得出什么结论?能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论?
如图7.3—8，画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形。这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360°。
从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗?观察图7.3—9，请填空：
从五边形的一个顶点出发，可以引_______条对角线，它们将五边形分为_______个三角形，五边形的内角和等于180°×_________。
从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于180°×__________。
通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗?
一般地，怎样求n边形的内角和呢?请填空：
从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将n边形分为________个三角形，n边形的内角和等于180°×______。
总结：过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形内角和180°。
所以n边形内角和（n－2）×180°。
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗?由新的分法，能得出多边形内角和公式吗?
方法2：如图：7－3－3过n边形内任意一点与n边形各顶点连接，可得n个三角形，其内角和n×180°。再减去以O为顶点的周角。
即得n边形内角和n·180°－360°。
得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于（n－2）·180°。
（三）例题
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系?
解：如图7.3—10，四边形ABCD中，
∠A＋∠C＝180°。
因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4—2）×180°＝360°，
所以∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C）
=360°－180°=180°。
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。
例2如图7.3—11，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少?
分析：考虑以下问题：
（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系?
（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少?
（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系?
联系这些问题，考虑外角和的求法。
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于180°。6个外角连同它们各自相邻的内角，共有12个角。这些角的总和等于6×180°。
这个总和就是六边形的外角和加上内角和。所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于6×180°－（6－2）×180°＝2×180°＝360°。
（四）探究
如果将例2中六边形换为n边形（n的值是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗?
思路：（用计算的方法）
设n边形的每一个内角为∠1，∠2，∠3，……，∠n，其相邻的外角分别为180°－∠1，180°－∠2，180°－∠3，…180°－∠n。外角和为（180°－∠1）＋（180°－∠2）＋…＋（180°－∠n）=n×180°－（∠1＋∠2＋∠3＋……＋∠n）=n×180°－（n－2）×180°=360°
注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想。
由上面的探究可以得到：
多边形的外角和等于360°。
你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°。
如图7.3—12，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°。
（五）练习
一起学习课本的练习
（六）小结
引导学生总结本节所学的知识点
第十、十一课时
三角形复习小结
[一] 认识三角形
1．三角形有关定义：在图9.1.3（1）中画着一个三角形ABC.三角形的顶点采用大写字母A、B、C或K、L、M等表示，整个三角形表示为△ABC或△KLM（参照顶点的字母）.
如图9.1.3（2）所示，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠ACB；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角.图9.1.3（2）指明了△ABC的主要成分.
2．三角形可以按角来分类：
所有内角都是锐角――锐角三角形；有一个内角是直角――直角三角形；
有一个内角是钝角――钝角三角形；
3三角形可以按角边分类：．把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）；两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；.
练习A：
1、图中共有（ ）个三角形。
A：5 B：6 C：7 D：8
第1题图 第2题图
2、如图，AE⊥BC，BF⊥AC，CD⊥AB，则△ABC中AC边上的高是（ ）
A：AE B：CD C：BF D：AF
3、三角形一边上的高（ ）。
A：必在三角形内部 B：必在三角形的边上C：必在三角形外部 D：以上三种情况都有可能
4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。
A：三角形的角平分线 B：三角形的中线 C：三角形的高线 D：以上都不对
6、具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）。
A：∠A+∠B=∠C B：∠A=∠B=∠C C：∠A=90°-∠B D：∠A-∠B=90
7、一个三角形最多有 个直角，有 个钝角，有 个锐角。
8、△ABC的周长是12 cm ，边长分别为a ，b , c , 且 a=b+1 , b=c+1 ， 则a= cm , b= cm , c= cm。
9、如图，AB∥CD，∠ABD、∠BDC的平分线交于E，试判断△BED的形状？
10 、如图，在4×4的方格中，以AB为一边，以小正方形的顶点为顶点，画出符合下列条件的三角形，并把相应的三角形用字母表示出来。
（1）钝角三角形是 。
（2）等腰直角三角形是 。
（3）等腰锐角三角形是 。
[二] 三角形的内、外角和定理及其推论的应用
1.三角形的一个外角等于 两个内角的和；
2.三角形三角形的一个外角 任何一个与它不相邻的内角
3. 三角形的内角和 三角形的外角和等于
练习B：
1、三角形的三个外角中，钝角最多有（ ）。
A：1个 B： 2个 C：3 个 D： 4 个
2、下列说法错误的是（ ）。
A：一个三角形中至少有两个锐角 B：一个三角形中，一定有一个外角大于其中的一个内角
C：在一个三角形中至少有一个角大于60° D：锐角三角形，任何两个内角的和均大于90°
3、一个三角形的外角恰好等于和它相邻的内角，则这个三角形是（ ）。
A：锐角三角形 B：直角三角形 C：钝角三角形 D：不能确定
4、直角三角形两锐角的平分线相交所成的钝角是（ ）。
A：120° B： 135° C：150° D： 165°
5、△中，，则
6、在△ABC中，∠A=100°，∠B-∠C=40°，则∠B= ，∠C= 。
7、如图1，∠B=50°，∠C=60°，AD为△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
图1
8、已知：如图2，AE∥BD，∠B=28°，∠A=95°，求∠C的度数。
图2
[三]三角形三边关系的应用
三角形的任何两边的和 第三边. 三角形的任何两边的差 第三边.
练习C：
1、以下列线段为边不能组成等腰三角形的是（ ）。
A：、、 B：、、 C：、、 D：、、
2、现有两根木棒，它们的长度分别为40 cm和50 cm，若要钉成一个三角架，则在下列四根棒中应选取（ ）。
A：10 cm 的木棒 B：40 cm 的木棒 C：90 cm 的木棒 D：100 cm 的木棒
3、三条线段a=5,b=3,c为整数，从a、b、c为边组成的三角形共有（ ）.
A：3个 B：5个 C：无数多个 D： 无法确定
4、在△ABC中，a=3x ，b=4x ，c=14 ，则 x 的取值范围是（ ）。
A：22 C: x<14 D: 75、如果三角形的三边长分别为 m-1, m , m+1 (m为正数)，则m 的取值范围是（ ）。
A：m>0 B: m>-2 C: m >2 D: m < 2
6、等腰三角形的两边长为25cm和12cm ，那么它的第三边长为 cm 。
7、工人师傅在做完门框后．为防变形常常像图4中所示的那样上两条斜拉的木条
这样做根据的数学道理是 。
8、已知一个三角形的周长为15 cm，且其中的两边都等于第三边的2倍，求这个三角形的最短边。
9、如果a ,b ,c为三角形的三边，且，试判断这个三角形的形状。
10、如右图,△ABC的周长为24，BC=10，AD是△ABC的中线，且被分得的两个三角形的周长差为2，求AB和AC的长。
[四]多边形的内、外角和定理的综合应用
n边形的内角和为_________________；正n边形的单个内角为
任意多边形的外角和都为________；正n边形的单个外角为
1、若四边形的四个内角大小之比为1：2：3：4，则这四个内角的大小为 。
2、如果六边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是 。
3、在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，则这个多边形的每个内角为 度。
4、（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（ ）。
A： 180° B： 360° C：n×180° D: n×360°
5、n边形的内角中，最多有（ ）个锐角。
A：1个 B： 2 个 C： 3个 D： 4个
7、若多边形内角和分别为下列度数时，试分别求出多边形的边数。
1260°
② 2160°
8、已知n边形的内角和与外角和之比为9:2，求n。
9、考古学家厄莎·迪格斯发掘出一块瓷盘的碎片。原来的瓷盘的形状是一个正多边形。如果原来的瓷盘是正十六边形，那么它大概是三世纪和平王朝礼仪用的盘子；如果原来的瓷盘是正十八边形，那么它大概是十二世纪哇丁王朝宴会用的盘子，厄莎度量这块碎片的每一条边的长度，发现它们的大小都相同。她猜想原来的完好的盘子所有的边的大小都相同的。她再度量每块碎片上的角，发现它们的大小也相同。她猜想，原来的完好的盘子所有角的大小也相同。如果每一个角的度数是160°，那么这个盘子出自哪一个朝代呢？
[五]用正多边形拼地板
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个平面图形
1、用正三角形和正方形组合铺满地面，每个顶点周围有 个正三角形和 个正方形。
2、任意的三角形、 也能铺满平面。
4、下列正多边形地砖中不能铺满地面的正多边形是（ ）。
A：正三角形 B：正四边形 C：正五边形 D：正六边形
5、若铺满地面的瓷砖每一个顶点处由6块相同的正多边形组成，正多边形只能是（ ）。
A：正三角形 B：正四边形 C：正六边形 D：正八边形
6、现有一批边长相等的正多边形瓷砖，请你设计能铺满地面的瓷砖图形。
（1能用相同的正多边形铺满地面的有 。
（2）从中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合是 。
（3）从中任取三种来组合，能铺满地面的正多边形组合是 。
（4）你能说出其中的数学道理吗？ 。
7、下列图形中，哪些图形能接成一个平面图形而不留一点空隙？www.12999.com
第11章 三角形全章学案
第一课时 11.1.1 三角形的边
一、新课导入
1、三角形是我们早已熟悉的图形，你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗？
2、对于三角形，你了解了哪些方面的知识？你能画一个三角形吗？
二、学习目标
1、三角形的三边关系。
2、用三边关系判断三条线段能否组成三角形。
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
研读一、认真阅读课本（时间：5分钟）
要求：知道三角形的定义；会用符号表示三角形，了解按边角关系对三角形进行分类。一边阅读一边完成检测一。
检测练习一、
1、 的图形叫三角形。
2、如图线段AB，BC，CA是三角形的 ，
点A，B，C是三角形的 ，∠ A、∠ B、 ∠ C是 ，叫做 ，简称 。
3、用符号语言表示上图的三角形。
顶点是 的三角形，记作 ，读作： 。
4、按照三个内角的大小，可以将三角形分为
5、三角形按边可分为
研读二、认真阅读课本（ 时间：3分钟）
要求：思考“探究”中的问题，理解三角形两边的和大于第三边；
游戏：用棍子摆三角形。
检测练习二、6、在三角形ABC中，
AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC
7、假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C，
有 路线。路线 最近，根据是： ，于是有：（得出的结论） 。
8、下列下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？
(1)3、4、8 (2)5、6、11 (3)5、6、10
研读三、认真阅读课本认真看课本（ 时间：5分钟）
要求：（1）、注意例题的格式和步骤，思考（2）中为什么要分情况讨论。
（2）、对这例题的解法你还有哪些不理解的？
（3）、一边阅读例题一边完成检测练习三。
检测练习三、
9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；
②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.（要有完整的过程啊！）
解：
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、下列说法正确的是
等边三角形是等腰三角形
三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
三角形的两边之差大于第三边
三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
其中正确的是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、一个不等边三角形有两边分别是3、5另一边可能是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
3、下列长度的各边能组成三角形的是（ ）
A、3cm、12cm、8cm B、6cm、8cm、15cm 、3cm、5cm D、6.3cm、6.3cm、12cm
【B】组
4、已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，求这个三角形的周长。
5、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是多少？
【C】组（共小1-2题）
6、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是 。
小方有两根长度分别为5cm、8cm的游戏棒，他想再找一根，使这三根游戏棒首尾相连能搭成一个三角形.
（1）你能帮小方想出第三根游戏棒的长度吗？（长度为正整数）
（2）想一想：如果已知两边，则构成三角形的第三边的条件是什么？
（3）如果第三边的长为偶数，那么第三条又有几种情况？
第二课时 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（1）
一、新课导入
你还记得 “过直线外一点画已知直线的垂线”怎么画吗?
二、学习目标
1、了解三角形的高的概念；
2、会用工具准确画出三角形的高。
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
1、 定义：从三角形的一个 向它的 所在的直线作 ， 和
之间的线段，叫做三角形的高。
2、几何语言（图1）
AD是△ABC的高
ADBC于点D（或 = =90o）
逆向：
ADBC于点D（或 = =90o）
AD是△ABC中BC边上的高
3、请画出下列三角形的高
A A A
B C B C B C
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？
（二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、三角形的高是（ ）
A．直线 B．射线 C．线段 D．垂线
2、如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
3、对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（ ）
A．锐角三角形有三条高 B．直角三角形只有一条高
C．任意三角形都有三条高 D．钝角三角形有两条高在三角形的外部
【B】组
4、如图1，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC的三条高分别为线段____ ____．
5、如图2，在△ABC中，∠ACB=900，CD是边AB上的高。与∠A相等的角是（ ）
A.∠A B.∠ACD C.∠BCD D.∠BDC
C
A B
D
图1 图2
【C】组
6、如右图，在锐角△ABC中，CD、BE分别
是AB、AC上的高，且CD、BE交于一
点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是
（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
7、如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，AD⊥BC于D，AD=5， BE⊥AC于E，求BE
的长．
第三课时 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（2）
一、新课导入
请画出线段AB的中点。
二、学习目标
1、了解三角形的中线的概念；
2、会用工具准确画出三角形的中线。
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
（1）定义：连结三角形一个 和它对边 的线段，叫做三角形的中线。
（2）几何语言（右图）
AD是△ABC的中线
=
逆向：
=
AD是△ABC的中线
（3）画出下列三角形的中线
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？
（二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、三角形的三条三条中线交于 。
2、三角形的中线是（ ）
A．直线 B．射线 C．线段 D．垂线
3、如右图，
则BD的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【B】组
4、如右图，D、E是AC的三等分点，BD是
△ 中的 边上的中线，BE是
△ 中的 边上的中线 B D E C
5、如右图，BD=BC，则BC边上的中线为______，
△ 的面积=△____ _的面积
【C】组
6、如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD与△ACD的周长之差．
第四课时 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（3）
一、新课导入
请画出∠AOB的角平分线。
二、学习目标
1、了解三角形的角平分线的概念；
2、会用工具准确画出三角形的角平分线。
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
（1）定义：三角形一个内角的 与它的 相交,这个角 与
之间的线段，叫做三角形的角平分线。
（2）几何语言（右图）：
AD是△ABC的角平分线
=
逆向：
=
AD是△ABC的角平分线
（3）画出下列三角形的角平分线
思考：三角形的角平分线与一个角的角平分线有何异同？
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？
（二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、三角形的角平分线是（ ）
A．直线 B．射线 C．线段 D．垂线
2、如图。在 △ABC中， AD是角平分线，AE是中线，AF是高，则
（1）BE = = . A
（2）∠BAD = =
（3）∠AFB = = 90° B E D F C
（4）△ABC的面积 = .
3、如右图，在ΔABC中，AD平分∠BAC且与BC
相交于点D，∠B=400，∠BAD=300，则∠C的
度数是 ；
【B】组
4．以下说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高可能相交于外部一点
5．如图，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．
【C】组
6．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度.
7、如图，在ΔABC中，AD是ΔABC的高，AE是ΔABC的角平分线，已知∠BAC=820，∠C=400，求∠DAE的大小。
分析:你能先求出∠AED的度数吗?
第五课时 11.1.3 三角形的稳定性
一、新课导入
盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅
常常先在窗框上斜钉一根木条（如右图），为什么
这样做呢？
二、学习目标
1、了解三角形的稳定性，四边形没有稳定性，
2、理解稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
活动1、自主探究
1、如图（1），用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
2、如图（2），用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
3、如图（3），在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然
后扭动它，它的形状会改变吗？
（2）
活动2、议一议
从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。
三角形木架形状 改变，四边形木架形状 改变，这就是说，三角形具有 性，四边形不具有 性。
斜钉一根木条的四边形木架的形状 改变，原因是四边形变成了两个三角形，这样就利用了三角形的 。
活动3、看一看，想一想
三角形的稳定性和四角形的不稳定性在生活中都有广泛应用。
你知道课本图7.1-8和图7.1-9中的例子哪些是利用三角形的稳定性？哪些是利用四角形的不稳定性？你能再举一些例子吗？
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？
（二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、下列图形中具有稳定性的有
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2、在建筑工地我们常可看见如右图所示，用木条EF
固定矩形门框ABCD的情形.这种做法根据( )
A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线
C.三角形的稳定性 D.垂线段最短
3、下列图形具有稳定性的有（ ）
A.梯形 B. 长方形 C. 直角三角形 D. 正方形
【B】组
4、如右图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，
这里所运用的几何原理是_____ ____。
5、我们学校的大门是电动推拉门，这种门工作的原理
是根据四边形的 。
【C】组
6、（开放题）三角形具有稳定性，而其它多边形不具有稳定性，要使多边形也具有稳定性必须额外加一些线段，将其转化为几个三角形。试探究要使四边形不变形，至少需要加 条线段，五边形至少需要加 条线段，六边形至少需要加 条线段，n边形（n﹥3）最少需要 条线段才具有稳定性。
第六课时 11.2.1 三角形的内角
一、新课导入
1、平行线有哪些性质？ 2、1平角= °；3、三角形的内角和等于 °
二、学习目标
1、了解三角形的稳定性，四边形没有稳定性，2、理解稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
活动1、自主探究
在事先准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码（如图1），并将它的内角剪下拼合在一起，看看得到什么结果。
（图1） （图2）
活动2、议一议
从上面的操作过程你能得出什么结论？与同伴交流。
把一个三角形其中的两个角剪下拼在第三个角的顶点处（如图2、图3），形成了一个 角。说明在中， 。 从中得出：
三角形内角和定理 。
活动3、想一想
如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理的正确性呢？
已知： . 求证： .
证明：如右图，过点A作直线DE，
使DE//BC
因为DE//BC，
所以∠B=∠ （ ）
同理∠C=∠
因为∠BAC、∠DAB、∠EAC组成 角，
所以∠BAC+∠DAB+∠EAC= （ ）
所以∠BAC + ∠B + ∠C= （ ）
说明：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常用虚线表示。
3、思考：在图2中，CM与的边AB有什么关系？你能从中想出其他证明三角形内角和定理的方法吗？
活动4、例题
如右下图，C岛在A岛的北偏东方向， B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从C岛看A、B两岛的视角是多少度？
(先独立解决，再小组合作，教师点评)
解：∠CBA= - = 80°- 50°=30°
由AD//BE,可得： + =180°
所以∠ABE=180°- =180°-80°=100°
∠ABC= - =100°-40°=60°
在⊿ABC中，∠ABC=180°- - =180°- 60°- 30°=90°
答： 。
想一想：你还有其他解法吗？
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、在△ABC中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=_ ___；
2、在△ABC中,若∠A=80°,则∠B＋∠C=__ __；
3、在△ABC中,若∠A=400，∠A=2∠B，则∠C = 。
【B】组
4、判断对错：
（1）三角形中最大的角是，那么这个三角形是锐角三角形（ ）
（2）一个等腰三角形一定是锐角三角形（ ）
（3）一个三角形最少有一个角不大于（ ）
5、如右图，在△ABC中∠C=60°，∠B=50°，
AD是∠BAC的平分线，则∠BAD= ，
∠DAC=__ _ ,∠ADB=__ __。
6、如图,在△ABC中,∠ABC=700,∠C=650,BD⊥AC于D，
求∠ABD,∠CBD的度数
【C】组
7、如图：在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC=132°，
则∠A等于多少度？若∠BOC=a°时，∠A又等于多少度呢？
第七课时 11.2.2 三角形的外角
一、新课导入
1、三角形的内角和定理：
2、填空:
(1) 在△ABC中，∠A=300，∠B=500， 则∠C＝ 。
(2) 在直角△ABC中，其中一个锐角是500， 则另一个锐角等于 。
二、学习目标
1、探索并了解三角形的外角的两条性质
2、利用学过的定理论证这些性质
3、能利用三角形的外角性质解决实际问题
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
活动1、做一做，把的一边AB延长到D，得，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？ 。
定义：三角形的一边与 组成的角，叫做三角形的外角。
想一想：三角形的外角有几个？ .每个顶点处有 个外角，但它们是 。
活动2、议一议
在图1中，与的内角有什么关系？
（1）∠ACD = + ；
（2）∠ACD ∠A， ∠ACD ∠B （填“<”、“=”“>”）。
再画的其他的外角试一试，还会得到这些结论吗？
同学用几何语言叙述这个结论：
三角形的一个外角等于 两个内角的 ；
三角形的一个外角大于 任何一个内角。
你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？
已知：是的外角
求证：（1）（2），
证明：（1）因为∠A+∠B+∠ACB=180°（ ）.
所以∠A+∠B= .
又因为∠ACB+∠ACD=180°，所以∠ACD= .
所以∠ACD=∠ （ ）.
（2）由（1）的证明结果可以得出：
，
想一想：你还可以结合右图形给予说明吗？
活动3、例题
如右图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的不同三个外角，则它们的和是多少？
解：因为∠1=∠ABC+∠ACB，
∠2= ，∠3= （ ）
所以 ∠1 + ∠2 + ∠3
= 2（ + + ）
因为 + + = 180o，
所以 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 2180o = 360o
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？
四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？
五、强化训练
【A】组
1、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2、△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
3、如图2，△ABC中，点D在BC的延长线
上，点F是AB边上一点，延长CA到E，
连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是
______ ___．
【B】组
4、 三角形的三个外角中最多有 锐角，最多有 个钝角，最多有 个直角。
5、 如图所示，则α= °．
6、 如图，∠A=55°，∠B=30°，∠C=35°，求∠D的度数．
【C】组
7、（1）如图（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
11.3多边形及其内角和
第八课时
（一）引入
你能从图以下中找出几个由一些线段围成的图形吗?
（二）知识点
我们学过三角形。类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（po1ygon）。
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图7.3－4中的∠l是五边形ABCDE的一个外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal）。图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线。
特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线条。
例如：十边形有________条对角线。在这里n=10，就可套用对角线条数公式（条）。
如图7.3—6（1），画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。而图7.3—6（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。本节只讨论凸多边形。
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等。像正方形那样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。图7.3－7是正多边形的一些例子。
特别提醒：（1）正多边形必须两个条件同时具备，①各内角都相等；②各边都相等。例如：矩形各个内角都相等，它就不是正四边形。再如：菱形各边都相等，它却不是正四边形。
（三）练习
一起学习课本86页的练习
（四）小结
引导学生总结本节的知识点。
第九课时
（一）思考
三角形的内角和等于180°。正方形、长方形的内角和都等于360°，其他四边形的内角和等于多少？
（二）探究
任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和。 再画几个四边形，量一量，算一算。你能得出什么结论?能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论?
如图7.3—8，画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形。这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360°。
从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗?观察图7.3—9，请填空：
从五边形的一个顶点出发，可以引_______条对角线，它们将五边形分为_______个三角形，五边形的内角和等于180°×_________。
从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于180°×__________。
通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗?
一般地，怎样求n边形的内角和呢?请填空：
从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将n边形分为________个三角形，n边形的内角和等于180°×______。
总结：过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形内角和180°。
所以n边形内角和（n－2）×180°。
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗?由新的分法，能得出多边形内角和公式吗?
方法2：如图：7－3－3过n边形内任意一点与n边形各顶点连接，可得n个三角形，其内角和n×180°。再减去以O为顶点的周角。
即得n边形内角和n·180°－360°。
得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于（n－2）·180°。
（三）例题
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系?
解：如图7.3—10，四边形ABCD中，
∠A＋∠C＝180°。
因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4—2）×180°＝360°，
所以∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C）
=360°－180°=180°。
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。
例2如图7.3—11，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少?
分析：考虑以下问题：
（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系?
（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少?
（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系?
联系这些问题，考虑外角和的求法。
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于180°。6个外角连同它们各自相邻的内角，共有12个角。这些角的总和等于6×180°。
这个总和就是六边形的外角和加上内角和。所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于6×180°－（6－2）×180°＝2×180°＝360°。
（四）探究
如果将例2中六边形换为n边形（n的值是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗?
思路：（用计算的方法）
设n边形的每一个内角为∠1，∠2，∠3，……，∠n，其相邻的外角分别为180°－∠1，180°－∠2，180°－∠3，…180°－∠n。外角和为（180°－∠1）＋（180°－∠2）＋…＋（180°－∠n）=n×180°－（∠1＋∠2＋∠3＋……＋∠n）=n×180°－（n－2）×180°=360°
注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想。
由上面的探究可以得到：
多边形的外角和等于360°。
你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°。
如图7.3—12，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°。
（五）练习
一起学习课本的练习
（六）小结
引导学生总结本节所学的知识点
第十、十一课时
三角形复习小结
[一] 认识三角形
1．三角形有关定义：在图9.1.3（1）中画着一个三角形ABC.三角形的顶点采用大写字母A、B、C或K、L、M等表示，整个三角形表示为△ABC或△KLM（参照顶点的字母）.
如图9.1.3（2）所示，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠ACB；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角.图9.1.3（2）指明了△ABC的主要成分.
2．三角形可以按角来分类：
所有内角都是锐角――锐角三角形；有一个内角是直角――直角三角形；
有一个内角是钝角――钝角三角形；
3三角形可以按角边分类：．把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）；两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；.
练习A：
1、图中共有（ ）个三角形。
A：5 B：6 C：7 D：8
第1题图 第2题图
2、如图，AE⊥BC，BF⊥AC，CD⊥AB，则△ABC中AC边上的高是（ ）
A：AE B：CD C：BF D：AF
3、三角形一边上的高（ ）。
A：必在三角形内部 B：必在三角形的边上C：必在三角形外部 D：以上三种情况都有可能
4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。
A：三角形的角平分线 B：三角形的中线 C：三角形的高线 D：以上都不对
6、具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）。
A：∠A+∠B=∠C B：∠A=∠B=∠C C：∠A=90°-∠B D：∠A-∠B=90
7、一个三角形最多有 个直角，有 个钝角，有 个锐角。
8、△ABC的周长是12 cm ，边长分别为a ，b , c , 且 a=b+1 , b=c+1 ， 则a= cm , b= cm , c= cm。
9、如图，AB∥CD，∠ABD、∠BDC的平分线交于E，试判断△BED的形状？
10 、如图，在4×4的方格中，以AB为一边，以小正方形的顶点为顶点，画出符合下列条件的三角形，并把相应的三角形用字母表示出来。
（1）钝角三角形是 。
（2）等腰直角三角形是 。
（3）等腰锐角三角形是 。
[二] 三角形的内、外角和定理及其推论的应用
1.三角形的一个外角等于 两个内角的和；
2.三角形三角形的一个外角 任何一个与它不相邻的内角
3. 三角形的内角和 三角形的外角和等于
练习B：
1、三角形的三个外角中，钝角最多有（ ）。
A：1个 B： 2个 C：3 个 D： 4 个
2、下列说法错误的是（ ）。
A：一个三角形中至少有两个锐角 B：一个三角形中，一定有一个外角大于其中的一个内角
C：在一个三角形中至少有一个角大于60° D：锐角三角形，任何两个内角的和均大于90°
3、一个三角形的外角恰好等于和它相邻的内角，则这个三角形是（ ）。
A：锐角三角形 B：直角三角形 C：钝角三角形 D：不能确定
4、直角三角形两锐角的平分线相交所成的钝角是（ ）。
A：120° B： 135° C：150° D： 165°
5、△中，，则
6、在△ABC中，∠A=100°，∠B-∠C=40°，则∠B= ，∠C= 。
7、如图1，∠B=50°，∠C=60°，AD为△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。
图1
8、已知：如图2，AE∥BD，∠B=28°，∠A=95°，求∠C的度数。
图2
[三]三角形三边关系的应用
三角形的任何两边的和 第三边. 三角形的任何两边的差 第三边.
练习C：
1、以下列线段为边不能组成等腰三角形的是（ ）。
A：、、 B：、、 C：、、 D：、、
2、现有两根木棒，它们的长度分别为40 cm和50 cm，若要钉成一个三角架，则在下列四根棒中应选取（ ）。
A：10 cm 的木棒 B：40 cm 的木棒 C：90 cm 的木棒 D：100 cm 的木棒
3、三条线段a=5,b=3,c为整数，从a、b、c为边组成的三角形共有（ ）.
A：3个 B：5个 C：无数多个 D： 无法确定
4、在△ABC中，a=3x ，b=4x ，c=14 ，则 x 的取值范围是（ ）。
A：2
A：m>0 B: m>-2 C: m >2 D: m < 2
6、等腰三角形的两边长为25cm和12cm ，那么它的第三边长为 cm 。
7、工人师傅在做完门框后．为防变形常常像图4中所示的那样上两条斜拉的木条
这样做根据的数学道理是 。
8、已知一个三角形的周长为15 cm，且其中的两边都等于第三边的2倍，求这个三角形的最短边。
9、如果a ,b ,c为三角形的三边，且，试判断这个三角形的形状。
10、如右图,△ABC的周长为24，BC=10，AD是△ABC的中线，且被分得的两个三角形的周长差为2，求AB和AC的长。
[四]多边形的内、外角和定理的综合应用
n边形的内角和为_________________；正n边形的单个内角为
任意多边形的外角和都为________；正n边形的单个外角为
1、若四边形的四个内角大小之比为1：2：3：4，则这四个内角的大小为 。
2、如果六边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是 。
3、在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，则这个多边形的每个内角为 度。
4、（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（ ）。
A： 180° B： 360° C：n×180° D: n×360°
5、n边形的内角中，最多有（ ）个锐角。
A：1个 B： 2 个 C： 3个 D： 4个
7、若多边形内角和分别为下列度数时，试分别求出多边形的边数。
1260°
② 2160°
8、已知n边形的内角和与外角和之比为9:2，求n。
9、考古学家厄莎·迪格斯发掘出一块瓷盘的碎片。原来的瓷盘的形状是一个正多边形。如果原来的瓷盘是正十六边形，那么它大概是三世纪和平王朝礼仪用的盘子；如果原来的瓷盘是正十八边形，那么它大概是十二世纪哇丁王朝宴会用的盘子，厄莎度量这块碎片的每一条边的长度，发现它们的大小都相同。她猜想原来的完好的盘子所有的边的大小都相同的。她再度量每块碎片上的角，发现它们的大小也相同。她猜想，原来的完好的盘子所有角的大小也相同。如果每一个角的度数是160°，那么这个盘子出自哪一个朝代呢？
[五]用正多边形拼地板
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个平面图形
1、用正三角形和正方形组合铺满地面，每个顶点周围有 个正三角形和 个正方形。
2、任意的三角形、 也能铺满平面。
4、下列正多边形地砖中不能铺满地面的正多边形是（ ）。
A：正三角形 B：正四边形 C：正五边形 D：正六边形
5、若铺满地面的瓷砖每一个顶点处由6块相同的正多边形组成，正多边形只能是（ ）。
A：正三角形 B：正四边形 C：正六边形 D：正八边形
6、现有一批边长相等的正多边形瓷砖，请你设计能铺满地面的瓷砖图形。
（1能用相同的正多边形铺满地面的有 。
（2）从中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合是 。
（3）从中任取三种来组合，能铺满地面的正多边形组合是 。
（4）你能说出其中的数学道理吗？ 。
7、下列图形中，哪些图形能接成一个平面图形而不留一点空隙？www.12999.com