【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 第三章自我测评卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分．
1．下列几组数中，是勾股数的是（ ）
A． ， ， B．5，12，13
C．3，-4，5 D．6，8，9
2．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
3．直角三角形有一条直角边长为3，另外两条边长是连续自然数，则周长为（ ）
A．12 B．18 C．10 D．9
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为24，斜边与一直角边之比为5：4，则这个直角三角形的面积是（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
5．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
6．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，若AB=6，那么AE2+BE2+AB2的值为（ ）
A．69 B．70 C．71 D．72
7．如图所示，在正方形ABCD中，DE⊥CE，垂足为E，且DE=3，CE=4，则阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．18 C．19 D．21
8．如图所示，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
9．如图所示，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m．五只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ）
A．8m B．10m C．12m D．14m
10．如图所示，分别以Rt△ABC(三条边分别为a，b，c)的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．若这三个圆的面积分别为S1，S2，S3(S1>S2>S3)，则这三个圆的面积之间的关系为（ ）
A．S1=S2+S3 B．S1>S2+S3 C．S1≥S2+S3 D．不能确定
11．如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
12．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m时，这段葛藤的长是（ ）m．
A．3 B．2.6 C．2.8 D．2.5
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
13．阴影部分(阴影部分是半圆)的面积是
14．如图所示，以△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，如果S1+S2=S3，那么△ABC是 三角形．
15．如图所示，有一块边长为12米的正方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民去健身时践踏绿地，于是小明在A处立一个标牌“少走 步，踏之何忍！”请你在标牌上填上数字(假设2步为1米)．
16．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D点到直线AB的距离是
17．如图所示是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)计算两圆孔中心A和B的距离为
18．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图①所示)．图②是由弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=
三、解答题(本大题共6个小题，共66分。)
19．已知△ABC三边a，b，c满足|a-6|+(b-8)2+c2-20c+ 100=0，求△ABC面积．
20．如图所示，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，判断∠BCD是不是直角，并说明理由．
21．如图所示，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑杆顶端A下滑多少米？
22．有一根70cm长的木棒，要放在如图所示长、宽、高分别是50cm，40cm，30cm的木箱中，能放进去吗？为什么？
23．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=13cm，D是腰AB上一点，且CD=12cm，BD=5cm．
（1）试说明：△BDC是直角三角形．
（2）求△ABC的周长．
24．某中学有两个课外小组的同学到校外去采集植物标本，第一个小组行走的速度为30米/分，第二个小组行走的速度为40米/分，半小时后，两组同学同时停下，这时两组同学相距1500米．
（1）试判断一下两组同学行走的方向是否成直角？
（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、、、不是正整数，故不是勾股数；
B、52+122=132，故是勾股数；
C、-4<0，故不是勾股数；
D、62+82≠92，故不是勾股数.
故答案为：B.
【分析】凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此判断.
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，
∴BD=CD=BC=3，AD同时是BC上的高线，
∴AB==5，
故选C．
【分析】根据等腰三角形的性质可知BC上的中线AD同时是BC上的高线，根据勾股定理求出AB的长即可．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设另一条直角边长为x，则斜边长为x+1，由勾股定理可得x2+32=(x+1)2，
解得x=4，则斜边长为5，
∴周长为3+4+5=12.
故答案为：A.
【分析】设另一条直角边长为x，根据题意表示出斜边长，然后由勾股定理求出x的值，得到斜边的长，据此可得周长.
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设斜边是5k，直角边是4k，
根据勾股定理，得另一条直角边是3k．
∵周长为24，
∴4k+5k+3k＝24，
解得：k＝2．
∴三边分别是8，6，10．
所以三角形的面积公式＝ ，
故答案为：B
【分析】由勾股定理和已知条件可以得到斜边与两条直角边三边的比为5：4：3，设三边的长为5k，4k，3k，再由周长为24可以求得k的值，即可求得三角形的面积。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，∴a+b+2.5=6，即a+b=3.5，
∵a、b是直角三角形的两条直角边，∴a2+b2=2.52，
∴，则ab=3.
故选D.
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；勾股定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA=∠DAB+∠ABC=(∠DAB+∠ABC)=90°，
∴∠E=90°，
∴AE2+BE2=AB2.
∵AB=6，
∴AE2+BE2=62=36，
∴AE2+BE2+AB2=36+36=72.
故答案为：D.
【分析】由平行线的性质可得∠DAB+∠ABC=180°，由角平分线的概念可得∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，则∠EAB+∠EBA=90°，得到∠E=90°，由勾股定理可得AE2+BE2=AB2，据此求解.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴DE2+CE2=CD2.
∵DE=3，CE=4，
∴CD=5.
∵S阴影=S正方形-S△CED=5×5-×3×4=25-6=19.
故答案为： C.
【分析】由DE⊥CE可得∠DEC=90°，根据勾股定理求出CD的值，然后根据S阴影=S正方形-S△CED结合正方形、三角形的面积公式计算即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AC=，BC=，AB=，
∴AC2+BC2=AB2，且AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°.
故答案为：C.
【分析】连接AC，由勾股定理可得AC、BC、AB的值，推出△ABC为等腰直角三角形，据此解答.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，设AB=10m，CD=4m，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，则四边形BDCE为矩形，BE=CD=4m，EC=BD=8m，
∵AB=10m，BE=4m，
∴AE=10-4=6m，
∴AC===10m.
故答案为： B.
【分析】画出平面图，设AB=10m，CD=4m，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，则四边形BDCE为矩形，BE=CD=4m，EC=BD=8m，然后在Rt△ACE中，应用勾股定理求解即可.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆的面积
【解析】【解答】解：∵ S1=π = c2，S2=π =b2，S3=π =a2，a2 +b2=c2，
∴S1=S2+S3.
故答案为： A.
【分析】首先根据圆的面积公式表示出S1、S2、S3，由勾股定理可得a2 +b2=c2，据此解答.
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：对图形进行点标注，如下所示，
∵∠ACB+∠CAB=90°，∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠CAB=∠ECD.
∵∠CAB=∠ECD，∠ABC=∠CDE=90°，AC=DE，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴BC=DE.
∵AB2+BC2=AC2，
∴AB2+DE2=AC2.
∵正方形a的面积=AB2，正方形c的面积=DE2，正方形b的面积=AC2，
∴正方形a的面积+正方形c的面积=正方形b的面积，
∴正方形b的面积=5+11=16.
故答案为：C.
【分析】对图形进行点标注，由同角的余角相等可得∠CAB=∠ECD，由正方形的性质可得∠ABC=∠CDE=90°，AC=DE，然后证明△ABC≌△CDE，得到BC=DE，接下来根据正方形的面积公式以及勾股定理进行解答.
12．【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，
∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m，
如图所示：
AC= =1.3m，
∴这段葛藤的长=2×1.3=2.6m．
故选B．
【分析】先把树干当作圆柱体从侧面展开，求出葛藤绕树干盘旋1圈时上升的高度，进而可得出结论．
13．【答案】8π cm2
【知识点】勾股定理；圆的面积
【解析】【解答】解：由勾股定理可得半圆的直径==8cm，
∴半圆的半径=4cm，
∴半圆的面积=π×42=8πcm2.
故答案为：8πcm2.
【分析】首先由勾股定理求出半圆的直径，得到其半径，然后结合圆的面积公式求解即可.
14．【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2， S1+S2=S3，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】由正方形的面积公式可得S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，然后结合已知条件 S1+S2=S3可得AB2+BC2=AC2，接下来根据勾股定理逆定理进行判断.
15．【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=12m，BC=5m，
∴AB==13m.
∵AC+BC=12m+5m=17m，AB=13m，
∴少走了17m-13m=4m.
∵2步为1m，
∴少走了8步.
故答案为：8.
【分析】首先由勾股定理求出AB的值，得到少走的米数，然后结合2步为1m可得少走的步数.
16．【答案】6 cm
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD=10cm，AC=8cm，
∴CD==6cm.
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，
∴点D到直线AB的距离=CD=6cm.
故答案为：6cm.
【分析】首先由勾股定理可得CD的值，然后结合角平分线的性质解答即可.
17．【答案】100 mm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由图形可得AC=120-60=60mm，BC=140-60=80mm，∠ACB=90°，
∴AB==100mm.
故答案为：100mm.
【分析】由图形可得AC=120-60=60mm，BC=140-60=80mm，∠ACB=90°，然后利用勾股定理求解即可.
18．【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT为正方形，
∴CG=KG=NF，CF=DG=KF，
∴S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG·DG=GF2+2CG·DG，S2=GF2，S3=(KF-NF)2=KF2+NF2-2KF·NF，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG·DG+GF2+KF2+NF2-2KF·NF=3GF2=12.
故答案为：12.
【分析】由全等三角形的性质可得CG=KG=NF，CF=DG=KF，然后表示出S1、S2、S3，结合勾股定理进行求解即可.
19．【答案】解：∵|a-6|+(b-8)2+c2- 20c+ 100=0，
∴|a-6|+(b-8)2+ (c-10)2=0，
∴a=6，b=8，c= 10，
∴a2+b2=62+82= 102 =c2，
∴以△ABC是直角三角形，
∴S△ABC= ·ab= 24，
∴△ABC的面积是24．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；非负数之和为0
【解析】【分析】原式可变形为|a-6|+(b-8)2+ (c-10)2=0， 由非负数之和为0可得a-6=0，b-8=0，c-10=0，求解可得a、b、c的值，推出△ABC是直角三角形，然后根据三角形的面积公式进行计算.
20．【答案】解：∠BCD是直角．
理由：连接BD．
∵BC2=22 +42= 20，CD2=12+22=5，BD2=32+42=25，
∴BD2= BC2 +CD2．
∴△BCD是直角三角形，∠BCD是直角．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接BD，由勾股定理可得BC2=20，CD2=5，BD2=25，然后根据勾股定理逆定理进行判断.
21．【答案】解：设AE的长为x米，由题意，得CE=AC-x
∵AB=DE=2.5米，BC=1.5米，∠C= 90°，
∴AC2=AB2- BC2=2.52-1.52=22，即AC=2米．
∵BD=0.5米，所以CD= BC+ BD=1.5+0.5=2(米)．
∴在Rt△ECD中，CE2= DE2-CD2=2.52-22=1.52，
即CE=1.5米．
∴2-x=1.5，x=0.5，即AE=0.5米．
∴梯子顶端A下滑0.5米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设AE=x米，则CE=AC-x，根据AB=DE=2.5米，BC=1.5米，∠C= 90°结合勾股定理可得AC的值，由CD= BC+ BD可得CD的值，然后在Rt△ECD中，应用勾股定理可得CE的值，进而求得AE的值.
22．【答案】解：能放进去．理由如下：
连接AC，AC' ，
在Rt△ABC中，
AC=AB2+ BC2=502+402=4100．
在Rt△ACC'中，AC'2=AC2+CC2=4100+302=5 000．
因为5000>702 ，所以AC'> 70，
所以70cm长的木棒，能放进这只木箱中．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，AC′，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC，然后在Rt△ACC'中，应用勾股定理可得AC′，据此判断.
23．【答案】（1）解：∵BC=13 cm，CD= 12 cm，BD=5 cm，
∴BC2= BD2+CD2．
∴△BDC为直角三角形．
（2）解：设AB=x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC= x．
∵AC2=AD2 +CD2 ，
∴x2=(x-5)2+122 ，解得x= ．
∴△ABC的周长为2AB+ BC= ×2 +13= 46.8(cm)．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）由已知条件可得BC2= BD2+CD2，然后根据勾股定理逆定理进行判断；
（2）设AB=x，由等腰三角形的性质可得AB=AC= x，由勾股定理可得x2=(x-5)2+122 ，求解可得x的值，接下来根据周长的概念求解即可.
24．【答案】（1）解：两组同学行走的方向成直角．理由如下：
因为半小时后，第一小组行走的路程为30×30= 900(米)，
第二小组行走的路程为40×30=1200(米)，
而9002+12002=15002 ，所以这时行走的路线所形成的角为直角，即两组同学行走的方向成直角．
（2）解：设经过x分钟两组同学相遇，根据题意，得
30x+40x=1500，解得x= ，所以 分钟后相遇．
【知识点】勾股定理的逆定理；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）分别求出半小时后，第一小组、第二小组行走的路程，然后根据勾股定理逆定理进行判断；
（2）设经过x分钟两组同学相遇，根据题意得30x+40x=1500，求解即可.
1 / 1【优加学】初中数学鲁教版七年级上册 第三章自我测评卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分．
1．下列几组数中，是勾股数的是（ ）
A． ， ， B．5，12，13
C．3，-4，5 D．6，8，9
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、、、不是正整数，故不是勾股数；
B、52+122=132，故是勾股数；
C、-4<0，故不是勾股数；
D、62+82≠92，故不是勾股数.
故答案为：B.
【分析】凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此判断.
2．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，
∴BD=CD=BC=3，AD同时是BC上的高线，
∴AB==5，
故选C．
【分析】根据等腰三角形的性质可知BC上的中线AD同时是BC上的高线，根据勾股定理求出AB的长即可．
3．直角三角形有一条直角边长为3，另外两条边长是连续自然数，则周长为（ ）
A．12 B．18 C．10 D．9
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设另一条直角边长为x，则斜边长为x+1，由勾股定理可得x2+32=(x+1)2，
解得x=4，则斜边长为5，
∴周长为3+4+5=12.
故答案为：A.
【分析】设另一条直角边长为x，根据题意表示出斜边长，然后由勾股定理求出x的值，得到斜边的长，据此可得周长.
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为24，斜边与一直角边之比为5：4，则这个直角三角形的面积是（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设斜边是5k，直角边是4k，
根据勾股定理，得另一条直角边是3k．
∵周长为24，
∴4k+5k+3k＝24，
解得：k＝2．
∴三边分别是8，6，10．
所以三角形的面积公式＝ ，
故答案为：B
【分析】由勾股定理和已知条件可以得到斜边与两条直角边三边的比为5：4：3，设三边的长为5k，4k，3k，再由周长为24可以求得k的值，即可求得三角形的面积。
5．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，∴a+b+2.5=6，即a+b=3.5，
∵a、b是直角三角形的两条直角边，∴a2+b2=2.52，
∴，则ab=3.
故选D.
6．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，若AB=6，那么AE2+BE2+AB2的值为（ ）
A．69 B．70 C．71 D．72
【答案】D
【知识点】平行线的性质；勾股定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA=∠DAB+∠ABC=(∠DAB+∠ABC)=90°，
∴∠E=90°，
∴AE2+BE2=AB2.
∵AB=6，
∴AE2+BE2=62=36，
∴AE2+BE2+AB2=36+36=72.
故答案为：D.
【分析】由平行线的性质可得∠DAB+∠ABC=180°，由角平分线的概念可得∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，则∠EAB+∠EBA=90°，得到∠E=90°，由勾股定理可得AE2+BE2=AB2，据此求解.
7．如图所示，在正方形ABCD中，DE⊥CE，垂足为E，且DE=3，CE=4，则阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．18 C．19 D．21
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴DE2+CE2=CD2.
∵DE=3，CE=4，
∴CD=5.
∵S阴影=S正方形-S△CED=5×5-×3×4=25-6=19.
故答案为： C.
【分析】由DE⊥CE可得∠DEC=90°，根据勾股定理求出CD的值，然后根据S阴影=S正方形-S△CED结合正方形、三角形的面积公式计算即可.
8．如图所示，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AC=，BC=，AB=，
∴AC2+BC2=AB2，且AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°.
故答案为：C.
【分析】连接AC，由勾股定理可得AC、BC、AB的值，推出△ABC为等腰直角三角形，据此解答.
9．如图所示，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m．五只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ）
A．8m B．10m C．12m D．14m
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，设AB=10m，CD=4m，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，则四边形BDCE为矩形，BE=CD=4m，EC=BD=8m，
∵AB=10m，BE=4m，
∴AE=10-4=6m，
∴AC===10m.
故答案为： B.
【分析】画出平面图，设AB=10m，CD=4m，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，则四边形BDCE为矩形，BE=CD=4m，EC=BD=8m，然后在Rt△ACE中，应用勾股定理求解即可.
10．如图所示，分别以Rt△ABC(三条边分别为a，b，c)的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．若这三个圆的面积分别为S1，S2，S3(S1>S2>S3)，则这三个圆的面积之间的关系为（ ）
A．S1=S2+S3 B．S1>S2+S3 C．S1≥S2+S3 D．不能确定
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆的面积
【解析】【解答】解：∵ S1=π = c2，S2=π =b2，S3=π =a2，a2 +b2=c2，
∴S1=S2+S3.
故答案为： A.
【分析】首先根据圆的面积公式表示出S1、S2、S3，由勾股定理可得a2 +b2=c2，据此解答.
11．如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：对图形进行点标注，如下所示，
∵∠ACB+∠CAB=90°，∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠CAB=∠ECD.
∵∠CAB=∠ECD，∠ABC=∠CDE=90°，AC=DE，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴BC=DE.
∵AB2+BC2=AC2，
∴AB2+DE2=AC2.
∵正方形a的面积=AB2，正方形c的面积=DE2，正方形b的面积=AC2，
∴正方形a的面积+正方形c的面积=正方形b的面积，
∴正方形b的面积=5+11=16.
故答案为：C.
【分析】对图形进行点标注，由同角的余角相等可得∠CAB=∠ECD，由正方形的性质可得∠ABC=∠CDE=90°，AC=DE，然后证明△ABC≌△CDE，得到BC=DE，接下来根据正方形的面积公式以及勾股定理进行解答.
12．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m时，这段葛藤的长是（ ）m．
A．3 B．2.6 C．2.8 D．2.5
【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，
∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m，
如图所示：
AC= =1.3m，
∴这段葛藤的长=2×1.3=2.6m．
故选B．
【分析】先把树干当作圆柱体从侧面展开，求出葛藤绕树干盘旋1圈时上升的高度，进而可得出结论．
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
13．阴影部分(阴影部分是半圆)的面积是
【答案】8π cm2
【知识点】勾股定理；圆的面积
【解析】【解答】解：由勾股定理可得半圆的直径==8cm，
∴半圆的半径=4cm，
∴半圆的面积=π×42=8πcm2.
故答案为：8πcm2.
【分析】首先由勾股定理求出半圆的直径，得到其半径，然后结合圆的面积公式求解即可.
14．如图所示，以△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，如果S1+S2=S3，那么△ABC是 三角形．
【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2， S1+S2=S3，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】由正方形的面积公式可得S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，然后结合已知条件 S1+S2=S3可得AB2+BC2=AC2，接下来根据勾股定理逆定理进行判断.
15．如图所示，有一块边长为12米的正方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民去健身时践踏绿地，于是小明在A处立一个标牌“少走 步，踏之何忍！”请你在标牌上填上数字(假设2步为1米)．
【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=12m，BC=5m，
∴AB==13m.
∵AC+BC=12m+5m=17m，AB=13m，
∴少走了17m-13m=4m.
∵2步为1m，
∴少走了8步.
故答案为：8.
【分析】首先由勾股定理求出AB的值，得到少走的米数，然后结合2步为1m可得少走的步数.
16．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D点到直线AB的距离是
【答案】6 cm
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD=10cm，AC=8cm，
∴CD==6cm.
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，
∴点D到直线AB的距离=CD=6cm.
故答案为：6cm.
【分析】首先由勾股定理可得CD的值，然后结合角平分线的性质解答即可.
17．如图所示是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)计算两圆孔中心A和B的距离为
【答案】100 mm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由图形可得AC=120-60=60mm，BC=140-60=80mm，∠ACB=90°，
∴AB==100mm.
故答案为：100mm.
【分析】由图形可得AC=120-60=60mm，BC=140-60=80mm，∠ACB=90°，然后利用勾股定理求解即可.
18．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图①所示)．图②是由弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=
【答案】12
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT为正方形，
∴CG=KG=NF，CF=DG=KF，
∴S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG·DG=GF2+2CG·DG，S2=GF2，S3=(KF-NF)2=KF2+NF2-2KF·NF，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG·DG+GF2+KF2+NF2-2KF·NF=3GF2=12.
故答案为：12.
【分析】由全等三角形的性质可得CG=KG=NF，CF=DG=KF，然后表示出S1、S2、S3，结合勾股定理进行求解即可.
三、解答题(本大题共6个小题，共66分。)
19．已知△ABC三边a，b，c满足|a-6|+(b-8)2+c2-20c+ 100=0，求△ABC面积．
【答案】解：∵|a-6|+(b-8)2+c2- 20c+ 100=0，
∴|a-6|+(b-8)2+ (c-10)2=0，
∴a=6，b=8，c= 10，
∴a2+b2=62+82= 102 =c2，
∴以△ABC是直角三角形，
∴S△ABC= ·ab= 24，
∴△ABC的面积是24．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；非负数之和为0
【解析】【分析】原式可变形为|a-6|+(b-8)2+ (c-10)2=0， 由非负数之和为0可得a-6=0，b-8=0，c-10=0，求解可得a、b、c的值，推出△ABC是直角三角形，然后根据三角形的面积公式进行计算.
20．如图所示，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，判断∠BCD是不是直角，并说明理由．
【答案】解：∠BCD是直角．
理由：连接BD．
∵BC2=22 +42= 20，CD2=12+22=5，BD2=32+42=25，
∴BD2= BC2 +CD2．
∴△BCD是直角三角形，∠BCD是直角．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接BD，由勾股定理可得BC2=20，CD2=5，BD2=25，然后根据勾股定理逆定理进行判断.
21．如图所示，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑杆顶端A下滑多少米？
【答案】解：设AE的长为x米，由题意，得CE=AC-x
∵AB=DE=2.5米，BC=1.5米，∠C= 90°，
∴AC2=AB2- BC2=2.52-1.52=22，即AC=2米．
∵BD=0.5米，所以CD= BC+ BD=1.5+0.5=2(米)．
∴在Rt△ECD中，CE2= DE2-CD2=2.52-22=1.52，
即CE=1.5米．
∴2-x=1.5，x=0.5，即AE=0.5米．
∴梯子顶端A下滑0.5米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设AE=x米，则CE=AC-x，根据AB=DE=2.5米，BC=1.5米，∠C= 90°结合勾股定理可得AC的值，由CD= BC+ BD可得CD的值，然后在Rt△ECD中，应用勾股定理可得CE的值，进而求得AE的值.
22．有一根70cm长的木棒，要放在如图所示长、宽、高分别是50cm，40cm，30cm的木箱中，能放进去吗？为什么？
【答案】解：能放进去．理由如下：
连接AC，AC' ，
在Rt△ABC中，
AC=AB2+ BC2=502+402=4100．
在Rt△ACC'中，AC'2=AC2+CC2=4100+302=5 000．
因为5000>702 ，所以AC'> 70，
所以70cm长的木棒，能放进这只木箱中．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，AC′，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC，然后在Rt△ACC'中，应用勾股定理可得AC′，据此判断.
23．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=13cm，D是腰AB上一点，且CD=12cm，BD=5cm．
（1）试说明：△BDC是直角三角形．
（2）求△ABC的周长．
【答案】（1）解：∵BC=13 cm，CD= 12 cm，BD=5 cm，
∴BC2= BD2+CD2．
∴△BDC为直角三角形．
（2）解：设AB=x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC= x．
∵AC2=AD2 +CD2 ，
∴x2=(x-5)2+122 ，解得x= ．
∴△ABC的周长为2AB+ BC= ×2 +13= 46.8(cm)．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）由已知条件可得BC2= BD2+CD2，然后根据勾股定理逆定理进行判断；
（2）设AB=x，由等腰三角形的性质可得AB=AC= x，由勾股定理可得x2=(x-5)2+122 ，求解可得x的值，接下来根据周长的概念求解即可.
24．某中学有两个课外小组的同学到校外去采集植物标本，第一个小组行走的速度为30米/分，第二个小组行走的速度为40米/分，半小时后，两组同学同时停下，这时两组同学相距1500米．
（1）试判断一下两组同学行走的方向是否成直角？
（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？
【答案】（1）解：两组同学行走的方向成直角．理由如下：
因为半小时后，第一小组行走的路程为30×30= 900(米)，
第二小组行走的路程为40×30=1200(米)，
而9002+12002=15002 ，所以这时行走的路线所形成的角为直角，即两组同学行走的方向成直角．
（2）解：设经过x分钟两组同学相遇，根据题意，得
30x+40x=1500，解得x= ，所以 分钟后相遇．
【知识点】勾股定理的逆定理；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）分别求出半小时后，第一小组、第二小组行走的路程，然后根据勾股定理逆定理进行判断；
（2）设经过x分钟两组同学相遇，根据题意得30x+40x=1500，求解即可.
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