2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测
一、选择题
1.(数与式—+二次根式+—+二次根式的定义(容易))下列各式中 , , , , , ,二次根式的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)对任意实数a,则下列等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)若二次根式 有意义,则a的取值范围是( )
A.a≥2 B.a≤2 C.a>2 D.a≠2
4.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)下列各式:① ,② ,③ ,④ 中,最简二次根式有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)计算|2﹣ |+|4﹣ |的值是( )
A.﹣2 B.2 C.2 ﹣6 D.6﹣2
6.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)计算 之值为何( )
A.5 B.33 C.3 D.9
7.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)计算:3 ÷3 ﹣2 的结果为( )
A.﹣2 B. C.6﹣2 D.36﹣2
8.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)已知 ,则代数式 的值是( )
A.0 B. C. D.
9.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)如果 ,则( )
A.a< B.a≤ C.a> D.a≥
10.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)已知x= ,y= ,则 的值为( )
A.2 B.4 C.5 D.7
二、填空题
11.(2016八下·市北期中)计算:( +1)( ﹣1)= .
12.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)已知 为有理数, 分别表示 的整数部分和小数部分,且 ,则 .
13.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)计算:6 ﹣( +1)2= .
14.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)设a,b为实数,且满足(a﹣3)2+(b﹣1)2=0,则 的值是 .
15.(2017八下·黔东南期末)在数轴上表示实数a的点如图所示,化简 +|a﹣2|的结果为 .
16.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册16.2.2二次根式的加减运算 同步练习)已知x1= + ,x2= ﹣ ,则x12+x22= .
17.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)计算( +1)2016( ﹣1)2017= .
18.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)观察下列等式:
第1个等式:a1= = ﹣1,
第2个等式:a2= = ﹣ ,
第3个等式:a3= =2﹣ ,
第4个等式:a4= = ﹣2,
按上述规律,回答以下问题:
(1)请写出第n个等式:an= ;
(2)a1+a2+a3+…+an= .
三、计算题
19.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)计算下列各题:
9 ÷( )× ;
20.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)化简下列式子:2ab ·3 ÷(- ).
21.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)已知x,y为实数,且满足 -(y-1) =0,求x2 017-y2 016的值.
22.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)借助于计算器可以求得
= ,
= ,
= ,
= ,
……
仔细观察上面几道题的结果,试猜想 = .
23.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)观察下列各式及其验算过程:
=2 ,验证: = = =2 ;
=3 ,验证: = = =3
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想 的变形结果并进行验证.
(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为大于1的整数)表示的等式并给予验证.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解: , , , 是二次根式,
故选:A.
【分析】根据形如 (a≥0)是二次根式,可得答案.
2.【答案】D
【知识点】二次根式的定义;二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解:A、a为负数时,没有意义,故本选项不符合题意;
B、a为正数时不成立,故本选项不符合题意;
C、∵ =|a|≠±a,故本选项不符合题意.
D、本选项符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据二次根式的定义可知=|a|(a≥0时,原式=a;a<0时,原式=-a).
3.【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:∵二次根式 有意义,
∴a﹣2≥0,即a≥2,
则a的范围是a≥2,故答案为:A
【分析】根据二次根式有意义的条件,得到被开方数a﹣2≥0,求出a的取值范围.
4.【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解:① ,② = ,③ =2 ,④ = ,
故其中的最简二次根式为①,共一个.故答案为:A.
【分析】被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2,且被开方数中不含有分母,这样的二次根式就是最简二次根式.
5.【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解:原式= ﹣2+4﹣
=2.故答案为:B.
【分析】由2-<0,4->0,根据绝对值的性质化简,再合并同类二次根式即可.
6.【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解:原式=7 -5 +3 =5 .故答案为:A.
【分析】先把二次根式化简为最简二次根式,再合并同类二次根式.
7.【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:3 ÷3 ﹣2
=
=6﹣2 ,故答案为:C.
【分析】先把二次根式化简为最简二次根式,再算乘除,最后合并同类二次根式.
8.【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解: = = = .故答案为:C.
【分析】直接把x的值代入,根据完全平方公式和平方差公式计算即可.
9.【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:∵ ,∴2a﹣1≤0,解得a≤ .故答案为:B.
【分析】根据二次根式有意义的条件和化简得到2a﹣1≤0,求出a的取值范围.
10.【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解:原式=
= -
= -1=5-1=4.故答案为:B.
【分析】把原式化简完全平方公式和xy的差的形式,由x、y的值,得到xy的值,再计算即可.
11.【答案】1
【知识点】平方差公式及应用;二次根式的乘除法;二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:( +1)( ﹣1)= =1.
故答案为:1.
【分析】两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数.就可以用平方差公式计算.结果是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方).
12.【答案】2.5
【知识点】无理数的估值;二次根式的化简求值;二次根式的应用
【解析】【解答】解:因为2< <3,所以2<5- <3,故m=2,n=5- -2=3- .
把m=2,n=3- 代入amn+bn2=1,化简得(6a+16b)-(2a+6b) =1,所以6a+16b=1且2a+6b=0,解得a=1.5,b=-0.5.
所以2a+b=3-0.5=2.5.故答案为:2.5.
【分析】根据4<7<9,得到5-的整数部分m的值和小数部分n的值,把m、n的值代入等式化简,求出a、b的值,得到2a+b的值.
13.【答案】﹣4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:原式=6× ﹣(3+2 +1)
=2 ﹣4﹣2
=﹣4.
故答案为:﹣4.
【分析】先化简二次根式,再算平方,后算加减也就是合并同类二次根式.
14.【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解:∵(a﹣3)2+(b﹣1)2=0,
∴a﹣3=0,b﹣1=0,
解得:a=3,b=1,
∴ = = .
【分析】根据平方的非负性得到a、b的值,代入二次根式化简二次根式即可.
15.【答案】3
【知识点】无理数在数轴上表示;二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解:由数轴可得:a﹣5<0,a﹣2>0,
则 +|a﹣2|
=5﹣a+a﹣2
=3.
故答案为:3.
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案.
16.【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用;平方差公式及应用;二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:∵x1= + ,x2= ﹣ ,
∴x12+x22
=(x1+x2)2﹣2x1x2
=( + + ﹣ )2﹣2( + )×( ﹣ )
=12﹣2
=10.
故答案为:10.
【分析】把x12+x22变形为(x1+x2)2-2x1x2,把x1、x2的值代入,然后利用完全平方公式和平方差公式计算.
17.【答案】 +1
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:原式=[( +1) ( ﹣1)]2016 ( +1)
=(2﹣1)2016 ( +1)
= +1.故答案为 +1.
【分析】根据积的乘方的逆运算,求出二次根式的值.
18.【答案】(1)
(2) ﹣1
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解:(1)∵第1个等式:a1= = ﹣1,
第2个等式:a2= = ﹣ ,
第3个等式:a3= =2﹣ ,
第4个等式:a4= = ﹣2,
∴第n个等式:an= = ﹣ ;
( 2 )a1+a2+a3+…+an
=( ﹣1)+( ﹣ )+(2﹣ )+( ﹣2)+…+( ﹣ )
= ﹣1.
故答案为 = ; ﹣1.
【分析】根据分母有理化的意义求出有规律的根式;再根据结果求出a1+a2+a3+···的值.
19.【答案】解: 9 ÷( )×
=(9÷ × )
=(9× × )
=3 =3 =3× =
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据二次根式的乘除运算法则系数与系数相乘,被开方数与被开方数相乘,化为最简二次根式即可.
20.【答案】解: 2ab ·3 ÷(- )=[2ab·3÷(- )] =-12ab =-12ab =-12ab·a2=-12a3b.
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据二次根式的乘除运算法则系数与系数相乘除,被开方数与被开方数相乘除,最后化为最简二次根式即可.
21.【答案】解:∵ -(y-1) =0,
∴ +(1-y) =0,
∴x+1=0,y-1=0,
解得x=-1,y=1,
∴x2 017-y2 016
=(-1)2 017-12 016
=-1-1
=-2
【知识点】二次根式有意义的条件;非负数之和为0
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件,得到x+1≥0和1-y≥0,再由和为0,得到x+1=0,1-y=0,求出x、y的值,求出代数式的值.
22.【答案】5;55;555;5 555;
【知识点】二次根式的性质与化简;探索数与式的规律
【解析】【解答】略
【分析】根据式子规律得到第一个空是5,第二个空是55,第三个空是555,第四个空是5555,第五个空是2011个5.
23.【答案】(1)解:∵ =2 , =3 ,
∴ =4 =4 = ,
验证: = = ,正确
(2)解:由(1)中的规律可知3=22﹣1,8=32﹣1,15=42﹣1,
∴ = ,
验证: = = ;正确。
【知识点】二次根式的性质与化简;最简二次根式;分母有理化;探索数与式的规律
【解析】【分析】根据二次根式的性质和化简,由分母有理化得出结论.
1 / 12017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测
一、选择题
1.(数与式—+二次根式+—+二次根式的定义(容易))下列各式中 , , , , , ,二次根式的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解: , , , 是二次根式,
故选:A.
【分析】根据形如 (a≥0)是二次根式,可得答案.
2.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)对任意实数a,则下列等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二次根式的定义;二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解:A、a为负数时,没有意义,故本选项不符合题意;
B、a为正数时不成立,故本选项不符合题意;
C、∵ =|a|≠±a,故本选项不符合题意.
D、本选项符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据二次根式的定义可知=|a|(a≥0时,原式=a;a<0时,原式=-a).
3.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)若二次根式 有意义,则a的取值范围是( )
A.a≥2 B.a≤2 C.a>2 D.a≠2
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:∵二次根式 有意义,
∴a﹣2≥0,即a≥2,
则a的范围是a≥2,故答案为:A
【分析】根据二次根式有意义的条件,得到被开方数a﹣2≥0,求出a的取值范围.
4.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)下列各式:① ,② ,③ ,④ 中,最简二次根式有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解:① ,② = ,③ =2 ,④ = ,
故其中的最简二次根式为①,共一个.故答案为:A.
【分析】被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2,且被开方数中不含有分母,这样的二次根式就是最简二次根式.
5.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)计算|2﹣ |+|4﹣ |的值是( )
A.﹣2 B.2 C.2 ﹣6 D.6﹣2
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解:原式= ﹣2+4﹣
=2.故答案为:B.
【分析】由2-<0,4->0,根据绝对值的性质化简,再合并同类二次根式即可.
6.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)计算 之值为何( )
A.5 B.33 C.3 D.9
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解:原式=7 -5 +3 =5 .故答案为:A.
【分析】先把二次根式化简为最简二次根式,再合并同类二次根式.
7.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)计算:3 ÷3 ﹣2 的结果为( )
A.﹣2 B. C.6﹣2 D.36﹣2
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:3 ÷3 ﹣2
=
=6﹣2 ,故答案为:C.
【分析】先把二次根式化简为最简二次根式,再算乘除,最后合并同类二次根式.
8.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)已知 ,则代数式 的值是( )
A.0 B. C. D.
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解: = = = .故答案为:C.
【分析】直接把x的值代入,根据完全平方公式和平方差公式计算即可.
9.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)如果 ,则( )
A.a< B.a≤ C.a> D.a≥
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:∵ ,∴2a﹣1≤0,解得a≤ .故答案为:B.
【分析】根据二次根式有意义的条件和化简得到2a﹣1≤0,求出a的取值范围.
10.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)已知x= ,y= ,则 的值为( )
A.2 B.4 C.5 D.7
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解:原式=
= -
= -1=5-1=4.故答案为:B.
【分析】把原式化简完全平方公式和xy的差的形式,由x、y的值,得到xy的值,再计算即可.
二、填空题
11.(2016八下·市北期中)计算:( +1)( ﹣1)= .
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用;二次根式的乘除法;二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:( +1)( ﹣1)= =1.
故答案为:1.
【分析】两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数.就可以用平方差公式计算.结果是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方).
12.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)已知 为有理数, 分别表示 的整数部分和小数部分,且 ,则 .
【答案】2.5
【知识点】无理数的估值;二次根式的化简求值;二次根式的应用
【解析】【解答】解:因为2< <3,所以2<5- <3,故m=2,n=5- -2=3- .
把m=2,n=3- 代入amn+bn2=1,化简得(6a+16b)-(2a+6b) =1,所以6a+16b=1且2a+6b=0,解得a=1.5,b=-0.5.
所以2a+b=3-0.5=2.5.故答案为:2.5.
【分析】根据4<7<9,得到5-的整数部分m的值和小数部分n的值,把m、n的值代入等式化简,求出a、b的值,得到2a+b的值.
13.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)计算:6 ﹣( +1)2= .
【答案】﹣4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:原式=6× ﹣(3+2 +1)
=2 ﹣4﹣2
=﹣4.
故答案为:﹣4.
【分析】先化简二次根式,再算平方,后算加减也就是合并同类二次根式.
14.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)设a,b为实数,且满足(a﹣3)2+(b﹣1)2=0,则 的值是 .
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解:∵(a﹣3)2+(b﹣1)2=0,
∴a﹣3=0,b﹣1=0,
解得:a=3,b=1,
∴ = = .
【分析】根据平方的非负性得到a、b的值,代入二次根式化简二次根式即可.
15.(2017八下·黔东南期末)在数轴上表示实数a的点如图所示,化简 +|a﹣2|的结果为 .
【答案】3
【知识点】无理数在数轴上表示;二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解:由数轴可得:a﹣5<0,a﹣2>0,
则 +|a﹣2|
=5﹣a+a﹣2
=3.
故答案为:3.
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案.
16.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册16.2.2二次根式的加减运算 同步练习)已知x1= + ,x2= ﹣ ,则x12+x22= .
【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用;平方差公式及应用;二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:∵x1= + ,x2= ﹣ ,
∴x12+x22
=(x1+x2)2﹣2x1x2
=( + + ﹣ )2﹣2( + )×( ﹣ )
=12﹣2
=10.
故答案为:10.
【分析】把x12+x22变形为(x1+x2)2-2x1x2,把x1、x2的值代入,然后利用完全平方公式和平方差公式计算.
17.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)计算( +1)2016( ﹣1)2017= .
【答案】 +1
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:原式=[( +1) ( ﹣1)]2016 ( +1)
=(2﹣1)2016 ( +1)
= +1.故答案为 +1.
【分析】根据积的乘方的逆运算,求出二次根式的值.
18.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)观察下列等式:
第1个等式:a1= = ﹣1,
第2个等式:a2= = ﹣ ,
第3个等式:a3= =2﹣ ,
第4个等式:a4= = ﹣2,
按上述规律,回答以下问题:
(1)请写出第n个等式:an= ;
(2)a1+a2+a3+…+an= .
【答案】(1)
(2) ﹣1
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解:(1)∵第1个等式:a1= = ﹣1,
第2个等式:a2= = ﹣ ,
第3个等式:a3= =2﹣ ,
第4个等式:a4= = ﹣2,
∴第n个等式:an= = ﹣ ;
( 2 )a1+a2+a3+…+an
=( ﹣1)+( ﹣ )+(2﹣ )+( ﹣2)+…+( ﹣ )
= ﹣1.
故答案为 = ; ﹣1.
【分析】根据分母有理化的意义求出有规律的根式;再根据结果求出a1+a2+a3+···的值.
三、计算题
19.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)计算下列各题:
9 ÷( )× ;
【答案】解: 9 ÷( )×
=(9÷ × )
=(9× × )
=3 =3 =3× =
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据二次根式的乘除运算法则系数与系数相乘,被开方数与被开方数相乘,化为最简二次根式即可.
20.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)化简下列式子:2ab ·3 ÷(- ).
【答案】解: 2ab ·3 ÷(- )=[2ab·3÷(- )] =-12ab =-12ab =-12ab·a2=-12a3b.
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据二次根式的乘除运算法则系数与系数相乘除,被开方数与被开方数相乘除,最后化为最简二次根式即可.
21.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)已知x,y为实数,且满足 -(y-1) =0,求x2 017-y2 016的值.
【答案】解:∵ -(y-1) =0,
∴ +(1-y) =0,
∴x+1=0,y-1=0,
解得x=-1,y=1,
∴x2 017-y2 016
=(-1)2 017-12 016
=-1-1
=-2
【知识点】二次根式有意义的条件;非负数之和为0
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件,得到x+1≥0和1-y≥0,再由和为0,得到x+1=0,1-y=0,求出x、y的值,求出代数式的值.
22.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)借助于计算器可以求得
= ,
= ,
= ,
= ,
……
仔细观察上面几道题的结果,试猜想 = .
【答案】5;55;555;5 555;
【知识点】二次根式的性质与化简;探索数与式的规律
【解析】【解答】略
【分析】根据式子规律得到第一个空是5,第二个空是55,第三个空是555,第四个空是5555,第五个空是2011个5.
23.(2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测)观察下列各式及其验算过程:
=2 ,验证: = = =2 ;
=3 ,验证: = = =3
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想 的变形结果并进行验证.
(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为大于1的整数)表示的等式并给予验证.
【答案】(1)解:∵ =2 , =3 ,
∴ =4 =4 = ,
验证: = = ,正确
(2)解:由(1)中的规律可知3=22﹣1,8=32﹣1,15=42﹣1,
∴ = ,
验证: = = ;正确。
【知识点】二次根式的性质与化简;最简二次根式;分母有理化;探索数与式的规律
【解析】【分析】根据二次根式的性质和化简,由分母有理化得出结论.
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