2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测
一、选择题
1．（数与式—+二次根式+—+二次根式的定义（容易））下列各式中 ， ， ， ， ， ，二次根式的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）对任意实数a，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）若二次根式 有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2
4．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）下列各式：① ，② ，③ ，④ 中，最简二次根式有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）计算|2﹣ |+|4﹣ |的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．2 ﹣6 D．6﹣2
6．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）计算 之值为何（ ）
A．5 B．33 C．3 D．9
7．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）计算：3 ÷3 ﹣2 的结果为（ ）
A．﹣2 B． C．6﹣2 D．36﹣2
8．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）已知 ，则代数式 的值是（ ）
A．0 B． C． D．
9．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）如果 ，则（ ）
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
10．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）已知x= ，y= ，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
二、填空题
11．（2016八下·市北期中）计算：（ +1）（ ﹣1）= ．
12．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）已知 为有理数， 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，则 .
13．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）计算：6 ﹣（ +1）2= ．
14．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）设a，b为实数，且满足（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，则 的值是 ．
15．（2017八下·黔东南期末）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简 +|a﹣2|的结果为 ．
16．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册16.2.2二次根式的加减运算 同步练习）已知x1= + ，x2= ﹣ ，则x12+x22= ．
17．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）计算（ +1）2016（ ﹣1）2017= ．
18．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）观察下列等式：
第1个等式：a1= = ﹣1，
第2个等式：a2= = ﹣ ，
第3个等式：a3= =2﹣ ，
第4个等式：a4= = ﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an= ；
（2）a1+a2+a3+…+an= ．
三、计算题
19．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）计算下列各题：
9 ÷( )× ；
20．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）化简下列式子：2ab ·3 ÷(－ )．
21．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）已知x，y为实数，且满足 －(y－1) ＝0，求x2 017－y2 016的值．
22．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）借助于计算器可以求得
＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ，
……
仔细观察上面几道题的结果，试猜想 ＝ .
23．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： = = =2 ；
=3 ，验证： = = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解： ， ， ， 是二次根式，
故选：A．
【分析】根据形如 （a≥0）是二次根式，可得答案．
2．【答案】D
【知识点】二次根式的定义；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、a为负数时，没有意义，故本选项不符合题意；
B、a为正数时不成立，故本选项不符合题意；
C、∵ =|a|≠±a，故本选项不符合题意．
D、本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的定义可知=|a|（a≥0时，原式=a；a＜0时，原式=-a）.
3．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴a﹣2≥0，即a≥2，
则a的范围是a≥2，故答案为：A
【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数a﹣2≥0，求出a的取值范围.
4．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：① ，② = ，③ =2 ，④ = ，
故其中的最简二次根式为①，共一个．故答案为：A．
【分析】被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，这样的二次根式就是最简二次根式.
5．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式= ﹣2+4﹣
=2．故答案为：B．
【分析】由2-＜0，4-＞0，根据绝对值的性质化简，再合并同类二次根式即可.
6．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式＝7 －5 ＋3 ＝5 ．故答案为：A．
【分析】先把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式.
7．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：3 ÷3 ﹣2
=
=6﹣2 ，故答案为：C．
【分析】先把二次根式化简为最简二次根式，再算乘除，最后合并同类二次根式.
8．【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解： = = = ．故答案为：C．
【分析】直接把x的值代入，根据完全平方公式和平方差公式计算即可.
9．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ ，∴2a﹣1≤0，解得a≤ ．故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件和化简得到2a﹣1≤0，求出a的取值范围.
10．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：原式=
= -
= -1=5-1=4．故答案为：B．
【分析】把原式化简完全平方公式和xy的差的形式，由x、y的值，得到xy的值，再计算即可.
11．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（ +1）（ ﹣1）= =1．
故答案为：1．
【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
12．【答案】2.5
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值；二次根式的应用
【解析】【解答】解：因为2＜ ＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ．
把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b） ＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5．
所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．
【分析】根据4＜7＜9，得到5-的整数部分m的值和小数部分n的值，把m、n的值代入等式化简，求出a、b的值，得到2a＋b的值.
13．【答案】﹣4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=6× ﹣（3+2 +1）
=2 ﹣4﹣2
=﹣4．
故答案为：﹣4．
【分析】先化简二次根式，再算平方，后算加减也就是合并同类二次根式.
14．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，
∴a﹣3=0，b﹣1=0，
解得：a=3，b=1，
∴ = = ．
【分析】根据平方的非负性得到a、b的值，代入二次根式化简二次根式即可.
15．【答案】3
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，
则 +|a﹣2|
=5﹣a+a﹣2
=3．
故答案为：3．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
16．【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵x1= + ，x2= ﹣ ，
∴x12+x22
=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（ + + ﹣ ）2﹣2（ + ）×（ ﹣ ）
=12﹣2
=10．
故答案为：10．
【分析】把x12+x22变形为（x1+x2）2-2x1x2，把x1、x2的值代入，然后利用完全平方公式和平方差公式计算.
17．【答案】 +1
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=[（ +1） （ ﹣1）]2016 （ +1）
=（2﹣1）2016 （ +1）
= +1．故答案为 +1．
【分析】根据积的乘方的逆运算，求出二次根式的值.
18．【答案】（1）
（2） ﹣1
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵第1个等式：a1= = ﹣1，
第2个等式：a2= = ﹣ ，
第3个等式：a3= =2﹣ ，
第4个等式：a4= = ﹣2，
∴第n个等式：an= = ﹣ ；
（ 2 ）a1+a2+a3+…+an
=（ ﹣1）+（ ﹣ ）+（2﹣ ）+（ ﹣2）+…+（ ﹣ ）
= ﹣1．
故答案为 = ； ﹣1．
【分析】根据分母有理化的意义求出有规律的根式；再根据结果求出a1+a2+a3+···的值.
19．【答案】解： 9 ÷( )×
＝(9÷ × )
＝(9× × )
＝3 ＝3 ＝3× ＝
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据二次根式的乘除运算法则系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，化为最简二次根式即可.
20．【答案】解： 2ab ·3 ÷(－ )＝[2ab·3÷(－ )] ＝－12ab ＝－12ab ＝－12ab·a2＝－12a3b.
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据二次根式的乘除运算法则系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后化为最简二次根式即可.
21．【答案】解：∵ －(y－1) ＝0，
∴ ＋(1－y) ＝0，
∴x＋1＝0，y－1＝0，
解得x＝－1，y＝1，
∴x2 017－y2 016
＝(－1)2 017－12 016
＝－1－1
＝－2
【知识点】二次根式有意义的条件；非负数之和为0
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，得到x＋1≥0和1-y≥0，再由和为0，得到x＋1=0，1-y=0，求出x、y的值，求出代数式的值.
22．【答案】5；55；555；5 555；
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】略
【分析】根据式子规律得到第一个空是5，第二个空是55，第三个空是555，第四个空是5555，第五个空是2011个5.
23．【答案】（1）解：∵ =2 ， =3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： = = ，正确
（2）解：由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ = ，
验证： = = ；正确。
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；分母有理化；探索数与式的规律
【解析】【分析】根据二次根式的性质和化简，由分母有理化得出结论.
1 / 12017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测
一、选择题
1．（数与式—+二次根式+—+二次根式的定义（容易））下列各式中 ， ， ， ， ， ，二次根式的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解： ， ， ， 是二次根式，
故选：A．
【分析】根据形如 （a≥0）是二次根式，可得答案．
2．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）对任意实数a，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的定义；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、a为负数时，没有意义，故本选项不符合题意；
B、a为正数时不成立，故本选项不符合题意；
C、∵ =|a|≠±a，故本选项不符合题意．
D、本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的定义可知=|a|（a≥0时，原式=a；a＜0时，原式=-a）.
3．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）若二次根式 有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴a﹣2≥0，即a≥2，
则a的范围是a≥2，故答案为：A
【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数a﹣2≥0，求出a的取值范围.
4．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）下列各式：① ，② ，③ ，④ 中，最简二次根式有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：① ，② = ，③ =2 ，④ = ，
故其中的最简二次根式为①，共一个．故答案为：A．
【分析】被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，这样的二次根式就是最简二次根式.
5．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）计算|2﹣ |+|4﹣ |的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．2 ﹣6 D．6﹣2
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式= ﹣2+4﹣
=2．故答案为：B．
【分析】由2-＜0，4-＞0，根据绝对值的性质化简，再合并同类二次根式即可.
6．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）计算 之值为何（ ）
A．5 B．33 C．3 D．9
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式＝7 －5 ＋3 ＝5 ．故答案为：A．
【分析】先把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式.
7．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）计算：3 ÷3 ﹣2 的结果为（ ）
A．﹣2 B． C．6﹣2 D．36﹣2
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：3 ÷3 ﹣2
=
=6﹣2 ，故答案为：C．
【分析】先把二次根式化简为最简二次根式，再算乘除，最后合并同类二次根式.
8．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）已知 ，则代数式 的值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解： = = = ．故答案为：C．
【分析】直接把x的值代入，根据完全平方公式和平方差公式计算即可.
9．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）如果 ，则（ ）
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ ，∴2a﹣1≤0，解得a≤ ．故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件和化简得到2a﹣1≤0，求出a的取值范围.
10．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）已知x= ，y= ，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：原式=
= -
= -1=5-1=4．故答案为：B．
【分析】把原式化简完全平方公式和xy的差的形式，由x、y的值，得到xy的值，再计算即可.
二、填空题
11．（2016八下·市北期中）计算：（ +1）（ ﹣1）= ．
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（ +1）（ ﹣1）= =1．
故答案为：1．
【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
12．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）已知 为有理数， 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，则 .
【答案】2.5
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值；二次根式的应用
【解析】【解答】解：因为2＜ ＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ．
把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b） ＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5．
所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．
【分析】根据4＜7＜9，得到5-的整数部分m的值和小数部分n的值，把m、n的值代入等式化简，求出a、b的值，得到2a＋b的值.
13．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）计算：6 ﹣（ +1）2= ．
【答案】﹣4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=6× ﹣（3+2 +1）
=2 ﹣4﹣2
=﹣4．
故答案为：﹣4．
【分析】先化简二次根式，再算平方，后算加减也就是合并同类二次根式.
14．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）设a，b为实数，且满足（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，
∴a﹣3=0，b﹣1=0，
解得：a=3，b=1，
∴ = = ．
【分析】根据平方的非负性得到a、b的值，代入二次根式化简二次根式即可.
15．（2017八下·黔东南期末）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简 +|a﹣2|的结果为 ．
【答案】3
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，
则 +|a﹣2|
=5﹣a+a﹣2
=3．
故答案为：3．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
16．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册16.2.2二次根式的加减运算 同步练习）已知x1= + ，x2= ﹣ ，则x12+x22= ．
【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵x1= + ，x2= ﹣ ，
∴x12+x22
=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（ + + ﹣ ）2﹣2（ + ）×（ ﹣ ）
=12﹣2
=10．
故答案为：10．
【分析】把x12+x22变形为（x1+x2）2-2x1x2，把x1、x2的值代入，然后利用完全平方公式和平方差公式计算.
17．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）计算（ +1）2016（ ﹣1）2017= ．
【答案】 +1
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=[（ +1） （ ﹣1）]2016 （ +1）
=（2﹣1）2016 （ +1）
= +1．故答案为 +1．
【分析】根据积的乘方的逆运算，求出二次根式的值.
18．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）观察下列等式：
第1个等式：a1= = ﹣1，
第2个等式：a2= = ﹣ ，
第3个等式：a3= =2﹣ ，
第4个等式：a4= = ﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an= ；
（2）a1+a2+a3+…+an= ．
【答案】（1）
（2） ﹣1
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵第1个等式：a1= = ﹣1，
第2个等式：a2= = ﹣ ，
第3个等式：a3= =2﹣ ，
第4个等式：a4= = ﹣2，
∴第n个等式：an= = ﹣ ；
（ 2 ）a1+a2+a3+…+an
=（ ﹣1）+（ ﹣ ）+（2﹣ ）+（ ﹣2）+…+（ ﹣ ）
= ﹣1．
故答案为 = ； ﹣1．
【分析】根据分母有理化的意义求出有规律的根式；再根据结果求出a1+a2+a3+···的值.
三、计算题
19．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）计算下列各题：
9 ÷( )× ；
【答案】解： 9 ÷( )×
＝(9÷ × )
＝(9× × )
＝3 ＝3 ＝3× ＝
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据二次根式的乘除运算法则系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，化为最简二次根式即可.
20．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）化简下列式子：2ab ·3 ÷(－ )．
【答案】解： 2ab ·3 ÷(－ )＝[2ab·3÷(－ )] ＝－12ab ＝－12ab ＝－12ab·a2＝－12a3b.
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据二次根式的乘除运算法则系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后化为最简二次根式即可.
21．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）已知x，y为实数，且满足 －(y－1) ＝0，求x2 017－y2 016的值．
【答案】解：∵ －(y－1) ＝0，
∴ ＋(1－y) ＝0，
∴x＋1＝0，y－1＝0，
解得x＝－1，y＝1，
∴x2 017－y2 016
＝(－1)2 017－12 016
＝－1－1
＝－2
【知识点】二次根式有意义的条件；非负数之和为0
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，得到x＋1≥0和1-y≥0，再由和为0，得到x＋1=0，1-y=0，求出x、y的值，求出代数式的值.
22．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）借助于计算器可以求得
＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ，
……
仔细观察上面几道题的结果，试猜想 ＝ .
【答案】5；55；555；5 555；
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】略
【分析】根据式子规律得到第一个空是5，第二个空是55，第三个空是555，第四个空是5555，第五个空是2011个5.
23．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： = = =2 ；
=3 ，验证： = = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【答案】（1）解：∵ =2 ， =3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： = = ，正确
（2）解：由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ = ，
验证： = = ；正确。
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；分母有理化；探索数与式的规律
【解析】【分析】根据二次根式的性质和化简，由分母有理化得出结论.
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