2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，且AE=AB，则∠C=（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
【答案】A
【知识点】一元一次方程的其他应用；三角形内角和定理；等边三角形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD的四边都相等，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠DAB+∠B=180°，
∵△AEF是等边三角形，AE=AB，
∴∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，
∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，
由三角形的内角和定理得：∠BAE=∠FAD，
设∠BAE=∠FAD=x，
则∠D=∠AFD=180°﹣60°﹣2x，
∵∠FAD+∠D+∠AFD=180°，
∴x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，
解得：x=20°，
∴∠C=∠BAD=2×20°+60°=100°，
故答案为：A．
【分析】根据四条边相等得出四边形ABCD是菱形得出对角相等和邻角互补得出∠DAB+∠B=180°，根据等边三角形的性质得出∠AEF=∠AFE，AF=AD，根据等边对等角得出∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，设∠BAE=∠FAD=x，根据三角形的内角和得出关于x的方程，求出方程的解即可得出答案.
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=30°．
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行内错角相等可得∠AEB=∠DAE=∠B=80°，根据等角对等边得AE=AB=AD，在△AED中利用等边对等角得出∠ADE=50°，利用平行四边形的对角相等得出∠ADC=80°进而求出∠CDE的度数.
3．（2016八下·江汉期中）如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据菱形的对角相等得∠ADC=∠B=70°．
∵AD=AB=AE，
∴∠AED=∠ADE．
根据折叠得∠AEB=∠B=70°．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=70°，
∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAE）÷2=55°．
∴∠EDC=70°﹣55°=15°．
故选B．
【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出∠ADC=∠B=70°，从而得出∠AED=∠ADE．又因为AD∥BC，故∠DAE=∠AEB，∠ADE=∠AED，易得解．
4．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：因为“平行四边形的两组对角分别相等”，“邻角互补”所以相邻两个角的平分线组成角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形四个角都是直角，是矩形．
故答案为：B．
【分析】画出图形，各角角的平分线的定义和平行线的性质，三角形的内角和矩形的判定定理求答.
5．（2017·渭滨模拟）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH= = ，
∴四边形EFGH的面积是： × =34，
故选B．
【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为8，AE=BF=CG=DH=5，可得AH=3，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．
6．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于（ ）
A．108° B．114° C．126° D．129°
【答案】C
【知识点】几何体的展开图；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：展开如图：
五角星的每个角的度数是： =36°，
∵∠COD=360°÷10=36°，∠ODC=36°÷2=18°，
∴∠OCD=180°﹣36°﹣18°=126°．
故答案为：C．
【分析】按照如图所示的方法折叠，剪开，把相关字母标上，可得∠DOC和∠ODC的度数，利用三角形的内角和是180°可求∠OCD得度数.
7．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC与BD相交于O，E为DC的一点，过点O作OF⊥OE交BC于F．记d=，则关于d的正确的结论是（ ）
A．d=5 B．d＜5 C．d≤5 D．d≥5
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：延长EO交AB于G，连结GF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠OBG=∠OED，
在△DOE与△BOG中，
，
∴△DOE≌△BOG（ASA），
∴BG=DE，
∴d==FG；
过O点作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得△OHG∽△OFI，
设BG=x，则HG=3﹣x，
则IF：HG=4：3，
IF=4﹣x，
BF=4+4﹣x=8﹣x，
d==，
∵0≤x≤3，
∴当x=3时，d最小为5，即d≥5．
故选：D．
【分析】延长EO交AB于G，根据ASA可证△DOE≌△BOG，可得BG=DE，则d=，即为FG的长；过O点作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得△OHG∽△OFI，设BG=x，用x表示出BF，再根据函数的最值即可求解．
8．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，点A，B在直线l上两点，以AB为边作菱形ABCD，M、N分别是BC和CD的中点，NP⊥AB于点P，连接MP，若∠D=140°，则∠MPB的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；等腰梯形的性质；等腰梯形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O，连接MN、OM，OM交PN于K．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠ADB=∠ABC=140°，
∴∠DBC=∠DBA=70°，∠CBP=40°，
∵DN=CN，CM=MB，
∴OM∥CD，MN∥BD，
∴四边形DNMO是平行四边形，
∴OM∥CD，MN=OD=OB，
∵PN⊥CD，
∴OM⊥PN，
∵PB∥OK∥DN，OD=OB，
∴NK=PK，
∴MN=PM，
∴PM=OB，
∴四边形OMPB的等腰梯形，
∴∠MPB=∠OBP=70°+40°=110°．
故答案为：B．
【分析】连接AC、BD相交于点O，连接MN、OM，OM交PN于K，求出∠OBP=110°，证明四边形OMPB是等腰梯形即可解决问题.
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH= BC，③OD= BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF=90°，
∴∠BHD=∠BHF=90°，
∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，
∴△BHD≌△BHF，
∴DH=HF，∵OD=OB
∴OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF；故①正确；
∴OH=
BF，∠DOH=∠CBD=45°，
∵OH是△BFD的中位线，
∴DG=CG=
BC，GH=
CF，
∵CE=CF，
∴GH=
CF=
CE
∵CE＜CG=
BC，
∴GH＜
BC，故②错误．
∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，
∵CE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分线，
∴DH=CH，
∴∠CDF=∠DCH=22.5°，
∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故④正确；
∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，
∴∠OHD=180°﹣∠ODH﹣∠DOH=67.5°，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH=
BF；故③正确．
故答案为：C．
【分析】 ① 作EJ⊥BD于J，连接EF，由SAS判定△BCE≌△DCF，再由平行线的性质得出OH是△DBF的中位线即可求解；
② 根据OH是△DBF的中位线，得出GH= CF，由GH＜ BC，可得出结论；
③ 易证得△ODH是等腰三角形，进而证得OD= BF；
④ 根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论.
10．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ADB= ∠ADC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60°，
又∵∠ADB=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∴△ADE和△BDF中， ，
∴△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
∵AE=t，CF=2t，
∴BF=BC﹣CF=4﹣2t，
∴t=4﹣2t
∴t=
故答案为：D．
【分析】延长AB至M，使MB=AE，连接FM，根据菱形的四条边相等和等边三角形的性质利用AAS证明△ADE≌△BDF，根据全等三角形的对应边相等得出AE=BF，利用菱形的四条边相等得出方程即可求解.
二、填空题（共6小题）
11．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在BC，CD边上，且CE=DF，BF与DE交于点G，若BG=2，DG=4，则CD长为 ．
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长DE至H，使GH=BG，连接BH、CH，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=DC=AB=BD，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠DBC=∠BCF=60°，
∵CE=DF，
∴BC﹣CE=CD﹣DF，
即BE=CF，
在△DBE和△BCF中，
∵ ，
∴△DBE≌△BCF（SAS），
∴∠BDG=∠FBC，
∴∠BDG+∠DBF=∠FBC+∠DBF=60°，
∴∠BGE=∠BDG+∠DBF=60°，
∴△BGH为等边三角形，
∴BG=BH=2，∠GBH=60°，
∴∠DBF+∠FBC=∠HBC+∠FBC，
∴∠DBF=∠HBC，
在△BGD和△BHC中，
∵ ，
∴△BGD≌△BHC（SAS），
∴DG=CH=4，
∵∠FBC=∠BDG=∠BCH，
∴BF∥CH，
∴△BGE∽△CEH，
∴ ，
∵EG+EH=2，
∴EG= ，
∴BF=DE=4+ = ，
∵∠FBC=∠FBC，∠BGE=∠BCD=60°，
∴△BGE∽△BCF，
∴ ，
∴ = ，
∴CF2= ，
CF= ，
∴BE=CF= ，
∴BC=3BE=3× =2 ，
∴CD=BC=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】作辅助线构造全等三角形，证明△DBE≌△BCF（SAS）和△BGD≌△BHC（SAS），计算DE=BF=，再证明△BGE∽△BCF，列出比例式，求出CF= ，从而得CD的长.
12．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=6cm，E是CD的中点，则OE的长为 cm．
【答案】3
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=6cm，
∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴AC⊥BD，
∵E是CD的中点，
∴EO= DC=3cm．
故答案为：3．
【分析】利用菱形的对边相等以及对角线互相垂直，进而利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案.
13．（初中数学北师大版八年级上册平行线的证明练习题 (5)）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件 ，使其成为正方形（只填一个即可）
【答案】AB=BC
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：添加条件：AB=BC，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB=BC（答案不唯一）．
【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，证出四边形ABCD是菱形，由正方形的判定方法即可得出结论．
14．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是 ．
【答案】14或16或26
【知识点】矩形的性质；数学思想
【解析】【解答】解：本题的不同拼法有：
第一种情况周长是（12+1）×2=26；
第二种是（6+2）×2=16；
第三种是（3+4）×2=14．
故答案为：14或16或26．
【分析】先将所有的拼法画出来，再根据画出的图形进行求解.
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为 cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
∴BO= BD= ×8=4（cm），CO= AC= ×6=3（cm），
在△BCO中，由勾股定理，可得
BC= = =5（cm）
∵AE⊥BC，
∴AE BC=AC BO，
∴AE= = = （cm），
即菱形ABCD的高AE为 cm．
故答案为：
【分析】首先根据菱形的对角线互相垂直平分，在利用勾股定理求出BC的长，然后再结合△ABC的面积的求法，求出菱形ABCD的高AE是多少即可.
16．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=
【答案】128
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8=27=128．
故答案为128．
【分析】根据已知可发现第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍，则面积是第（n﹣1）个的2倍，从而就不难求得第8个正方形面积的面积了．
三、解答题
17．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．
【答案】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE= ∠MAC，
∵∠MAC=∠B+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，
∴AN∥BC，
∵AB=AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AN，
∴AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质和等边对等角得
∠MAE=∠B ，根据内错角相等两直线平行得出
AN∥BC ，根据等腰三角形的三线合一得出
AD⊥BC ，利用
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 证明出
四边形ADCE为平行四边形 ，再根据有一个角是是直角的平行四边形是矩形即可解答.
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，
（1）判断 ABCD是矩形吗？说说你的理由．
（2）求 ABCD的面积．
【答案】（1）解： ABCD是矩形，
理由是：∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，BD=2OB，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形
（2）解：∵由（1）知OA=AB=4cm，AC=2OA=8cm，四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= = =4 ，
∴ ABCD的面积是：AB×BC=4cm×4 cm=16 cm2
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三边相等得 OA=OB=AB ，再根据平行四边形的对角线互相平分得出AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形；
（2）根据矩形的四个角是直角，再根据勾股定理求出BC的长，根据矩形的面积公式即可求解.
19．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8﹣x）2+42，
解得：x=5，
即MD=5．
菱形BMDN的面积=MD AB=5×4=20，
∵BD= =4 ，
∵菱形BMDN的面积= BD MN=20，
∴MN=2× =2
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证明△DMO ≌△BNO ，推出OM=ON，根据对角线互相平分得出四边形BMDN是平行四边形，根据对角线互相垂直推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM=BM，在直角三角形AMB中，利用勾股定理即可求解.
20．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）已知，如图，在三角形ABC中，CD是中线，过点A作平行线BC的平行线，交CD的延长线于点E，连接EB．
（1）求证：四边形AEBC是平行四边形；
（2）延长AC到点F，使CF=AC，连接BF，当三角形ABF满足条件 时，四边形AEBC是菱形？请证明．
【答案】（1）证明：∵在三角形ABC中，CD是中线，
∴AD=BD，
∵AE∥BC，
∴∠AED=∠BCD，
在△ADE和△BCD中，
，
∴△ADE≌△BCD（AAS），
∴AE=BC，
又∵AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形
（2）解：△ABF满足∠ABF=90°时，四边形AEBC是菱形；理由如下： ∵∠ABF=90°，CF=AC， ∴BC= AF=AC， ∴平行四边形时AEBC是菱形． 故答案为：∠ABF=90°
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据线段的中点和平行线的性质得出
AD=BD 和
∠AED=∠BCD， 利用AAS证明
△ADE≌△BCD ，利用全等三角形的对应边相等得出
AE=BC， 根据一组对边平行的四边形是平行四边形即可求解；
（2）当∠ABF=90°时可得结论，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BC=AC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.
21．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．
（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
【答案】（1）解：如图，
四边形ACEF是平行四边形；
∵DE垂直平分BC，
∴D为BC的中点，ED⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴ED∥AC，
∴E为AB中点，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE=AE，FD∥AC．
∴BD=CD，
∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=AF．
∴∠F=∠5=∠1=∠2．
∴∠FAE=∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF=EC，
∴四边形ACEF是平行四边形
（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；
理由：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC= AB，
由（1）知CE= AB，
∴AC=CE
又∵四边形ACEF为平行四边形
∴四边形ACEF为菱形
（3）解：四边形ACEF不可能是正方形，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE＜∠ACB，
即∠ACE＜90°，不能为直角，
所以四边形ACEF不可能是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】
（1）已知AF=EC，只需证明AF∥EC即可．DE垂直平分BC，易知DE是△ABC的中位线，则FE∥AC，BE=EA=CE=AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F=∠5=∠1=∠2，即∠FAE=∠AEC，由此可证得AF∥EC；
（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE，又∵CE=
AB，∴使得AB=2AC即可，根据AB、AC即可求得∠B的值；
（3）通过已知在△ABC中，∠ACB=90°，推出∠ACE<90°，不能为直角，进行说明．
22．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM=CN，AN、CM相交于点E
（1）证明：△BCM≌△CAN．
（2）求∠AED的度数．
（3）证明：AE+CE=DE．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠B=60°，
∴△ACD，△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，
在△BCM和△CAN中，
，
∴△BCM≌△CAN（SAS）
（2）解：∵△BCM≌△CAN，
∴∠BCM=∠CAN，
∴∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．
如图，作DG⊥AN于G，DH⊥MC，交MC的延长线于H．
∵∠AEM=60°，
∴∠AEC=120°，
∵∠DGE=∠H=90°，
∴∠GEH+∠GDH=180°，
∴∠GDH=∠ADC=60°，
∴∠ADG=∠CDH，
在△DGA和△DHC中，
，
∴△DGA≌△DHC（AAS），
∴DG=DH，
∵DG⊥AN，DH⊥MC，
∴∠DEG=∠DEH，
∴DE平分∠AEC，
即∠AED=60°
（3）证明：由（2）可知，∠GED=60°，
在Rt△DEG中，∵∠EDG=30°，
∴DE=2EG，
在△DEG和△DEH中，
，
△DEG≌△DEH（AAS），
∴EG=EH，
∵△DGA≌△DHC，
∴GA=CH，
∴EA+EC=EG+AG+EH﹣CH=2EG=DE，
即EA+EC=ED．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】
（1）根据菱形的四条边相等得出 AB=BC=CD=AD，根据菱形的对角相等得出
∠B=∠ADC=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断出△ABC，△ADC都是等边三角形，根据等边三角形的三边相等，三个内角都是60°得出 BC=AC，∠B=∠ACN=60°，
然后利用SAS即可证明△BCM≌△CAN；
（2）根据全等三角形对应角相等得出∠BCM=∠CAN，根据三角形的外角定理及等量代换得出∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°，作DG⊥AN于G，DH⊥MC交MC的延长线于H，由邻补角的定义得出 ∠AEC=120°， 根据四边形的内角和得出 ∠GEH+∠GDH=180°，从而得出 ∠GDH=∠ADC=60°， 根据角的和差即可得出 ∠ADG=∠CDH， 然后由AAS判断出△DGA≌△DHC，根据全等三角形的对应边相等得出DG=DH，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出∠DEG=∠DEH， DE平分∠AEC， 从而得到∠AED的度数；
（3）由（2）可知，∠GED=60°，根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出DE=2EG，然后利用AAS判断出△DEG≌△DEH，根据全等三角形的对应边相等得出EG=EH， GA=CH， ，进而根据线段的和差及等量代换得出EA+EC=EG+AG+EH-CH，即EA+EC=2EG=DE．
23．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）判断△EFC的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=AD，
又∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∴△AEB≌△AFD
（2）解：△CEF为等腰三角形．
∵△AEB≌△AFD，
∴BE=DF，
又∵BC=CD，
∴CE=CF，
∴△CEF为等腰三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；菱形的性质
【解析】【分析】
（1）由于四边形ABCD是菱形，那么∠B=∠D，AB=AD，而AE⊥BC，AF⊥DC，易知∠AEB=∠AFD=90°，利用AAS可证△AEB≌△AFD；
（2）由（1）得△AEB≌△AFD，那么BE=DF，而BC=CD，利用等式性质易得CE=CF，从而可知△CEF为等腰三角形．
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，且AE=AB，则∠C=（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
3．（2016八下·江汉期中）如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
4．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．（2017·渭滨模拟）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
6．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于（ ）
A．108° B．114° C．126° D．129°
7．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC与BD相交于O，E为DC的一点，过点O作OF⊥OE交BC于F．记d=，则关于d的正确的结论是（ ）
A．d=5 B．d＜5 C．d≤5 D．d≥5
8．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，点A，B在直线l上两点，以AB为边作菱形ABCD，M、N分别是BC和CD的中点，NP⊥AB于点P，连接MP，若∠D=140°，则∠MPB的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH= BC，③OD= BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题（共6小题）
11．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在BC，CD边上，且CE=DF，BF与DE交于点G，若BG=2，DG=4，则CD长为 ．
12．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=6cm，E是CD的中点，则OE的长为 cm．
13．（初中数学北师大版八年级上册平行线的证明练习题 (5)）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件 ，使其成为正方形（只填一个即可）
14．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是 ．
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为 cm．
16．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=
三、解答题
17．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，
（1）判断 ABCD是矩形吗？说说你的理由．
（2）求 ABCD的面积．
19．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．
20．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）已知，如图，在三角形ABC中，CD是中线，过点A作平行线BC的平行线，交CD的延长线于点E，连接EB．
（1）求证：四边形AEBC是平行四边形；
（2）延长AC到点F，使CF=AC，连接BF，当三角形ABF满足条件 时，四边形AEBC是菱形？请证明．
21．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．
（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？
22．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM=CN，AN、CM相交于点E
（1）证明：△BCM≌△CAN．
（2）求∠AED的度数．
（3）证明：AE+CE=DE．
23．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元检测B卷）已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）判断△EFC的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元一次方程的其他应用；三角形内角和定理；等边三角形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD的四边都相等，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠DAB+∠B=180°，
∵△AEF是等边三角形，AE=AB，
∴∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，
∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，
由三角形的内角和定理得：∠BAE=∠FAD，
设∠BAE=∠FAD=x，
则∠D=∠AFD=180°﹣60°﹣2x，
∵∠FAD+∠D+∠AFD=180°，
∴x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，
解得：x=20°，
∴∠C=∠BAD=2×20°+60°=100°，
故答案为：A．
【分析】根据四条边相等得出四边形ABCD是菱形得出对角相等和邻角互补得出∠DAB+∠B=180°，根据等边三角形的性质得出∠AEF=∠AFE，AF=AD，根据等边对等角得出∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，设∠BAE=∠FAD=x，根据三角形的内角和得出关于x的方程，求出方程的解即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=30°．
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行内错角相等可得∠AEB=∠DAE=∠B=80°，根据等角对等边得AE=AB=AD，在△AED中利用等边对等角得出∠ADE=50°，利用平行四边形的对角相等得出∠ADC=80°进而求出∠CDE的度数.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据菱形的对角相等得∠ADC=∠B=70°．
∵AD=AB=AE，
∴∠AED=∠ADE．
根据折叠得∠AEB=∠B=70°．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=70°，
∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAE）÷2=55°．
∴∠EDC=70°﹣55°=15°．
故选B．
【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出∠ADC=∠B=70°，从而得出∠AED=∠ADE．又因为AD∥BC，故∠DAE=∠AEB，∠ADE=∠AED，易得解．
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：因为“平行四边形的两组对角分别相等”，“邻角互补”所以相邻两个角的平分线组成角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形四个角都是直角，是矩形．
故答案为：B．
【分析】画出图形，各角角的平分线的定义和平行线的性质，三角形的内角和矩形的判定定理求答.
5．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH= = ，
∴四边形EFGH的面积是： × =34，
故选B．
【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为8，AE=BF=CG=DH=5，可得AH=3，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．
6．【答案】C
【知识点】几何体的展开图；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：展开如图：
五角星的每个角的度数是： =36°，
∵∠COD=360°÷10=36°，∠ODC=36°÷2=18°，
∴∠OCD=180°﹣36°﹣18°=126°．
故答案为：C．
【分析】按照如图所示的方法折叠，剪开，把相关字母标上，可得∠DOC和∠ODC的度数，利用三角形的内角和是180°可求∠OCD得度数.
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：延长EO交AB于G，连结GF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠OBG=∠OED，
在△DOE与△BOG中，
，
∴△DOE≌△BOG（ASA），
∴BG=DE，
∴d==FG；
过O点作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得△OHG∽△OFI，
设BG=x，则HG=3﹣x，
则IF：HG=4：3，
IF=4﹣x，
BF=4+4﹣x=8﹣x，
d==，
∵0≤x≤3，
∴当x=3时，d最小为5，即d≥5．
故选：D．
【分析】延长EO交AB于G，根据ASA可证△DOE≌△BOG，可得BG=DE，则d=，即为FG的长；过O点作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得△OHG∽△OFI，设BG=x，用x表示出BF，再根据函数的最值即可求解．
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；等腰梯形的性质；等腰梯形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O，连接MN、OM，OM交PN于K．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠ADB=∠ABC=140°，
∴∠DBC=∠DBA=70°，∠CBP=40°，
∵DN=CN，CM=MB，
∴OM∥CD，MN∥BD，
∴四边形DNMO是平行四边形，
∴OM∥CD，MN=OD=OB，
∵PN⊥CD，
∴OM⊥PN，
∵PB∥OK∥DN，OD=OB，
∴NK=PK，
∴MN=PM，
∴PM=OB，
∴四边形OMPB的等腰梯形，
∴∠MPB=∠OBP=70°+40°=110°．
故答案为：B．
【分析】连接AC、BD相交于点O，连接MN、OM，OM交PN于K，求出∠OBP=110°，证明四边形OMPB是等腰梯形即可解决问题.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF=90°，
∴∠BHD=∠BHF=90°，
∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，
∴△BHD≌△BHF，
∴DH=HF，∵OD=OB
∴OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF；故①正确；
∴OH=
BF，∠DOH=∠CBD=45°，
∵OH是△BFD的中位线，
∴DG=CG=
BC，GH=
CF，
∵CE=CF，
∴GH=
CF=
CE
∵CE＜CG=
BC，
∴GH＜
BC，故②错误．
∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，
∵CE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分线，
∴DH=CH，
∴∠CDF=∠DCH=22.5°，
∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故④正确；
∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，
∴∠OHD=180°﹣∠ODH﹣∠DOH=67.5°，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH=
BF；故③正确．
故答案为：C．
【分析】 ① 作EJ⊥BD于J，连接EF，由SAS判定△BCE≌△DCF，再由平行线的性质得出OH是△DBF的中位线即可求解；
② 根据OH是△DBF的中位线，得出GH= CF，由GH＜ BC，可得出结论；
③ 易证得△ODH是等腰三角形，进而证得OD= BF；
④ 根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论.
10．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ADB= ∠ADC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60°，
又∵∠ADB=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∴△ADE和△BDF中， ，
∴△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
∵AE=t，CF=2t，
∴BF=BC﹣CF=4﹣2t，
∴t=4﹣2t
∴t=
故答案为：D．
【分析】延长AB至M，使MB=AE，连接FM，根据菱形的四条边相等和等边三角形的性质利用AAS证明△ADE≌△BDF，根据全等三角形的对应边相等得出AE=BF，利用菱形的四条边相等得出方程即可求解.
11．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长DE至H，使GH=BG，连接BH、CH，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=DC=AB=BD，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠DBC=∠BCF=60°，
∵CE=DF，
∴BC﹣CE=CD﹣DF，
即BE=CF，
在△DBE和△BCF中，
∵ ，
∴△DBE≌△BCF（SAS），
∴∠BDG=∠FBC，
∴∠BDG+∠DBF=∠FBC+∠DBF=60°，
∴∠BGE=∠BDG+∠DBF=60°，
∴△BGH为等边三角形，
∴BG=BH=2，∠GBH=60°，
∴∠DBF+∠FBC=∠HBC+∠FBC，
∴∠DBF=∠HBC，
在△BGD和△BHC中，
∵ ，
∴△BGD≌△BHC（SAS），
∴DG=CH=4，
∵∠FBC=∠BDG=∠BCH，
∴BF∥CH，
∴△BGE∽△CEH，
∴ ，
∵EG+EH=2，
∴EG= ，
∴BF=DE=4+ = ，
∵∠FBC=∠FBC，∠BGE=∠BCD=60°，
∴△BGE∽△BCF，
∴ ，
∴ = ，
∴CF2= ，
CF= ，
∴BE=CF= ，
∴BC=3BE=3× =2 ，
∴CD=BC=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】作辅助线构造全等三角形，证明△DBE≌△BCF（SAS）和△BGD≌△BHC（SAS），计算DE=BF=，再证明△BGE∽△BCF，列出比例式，求出CF= ，从而得CD的长.
12．【答案】3
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=6cm，
∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴AC⊥BD，
∵E是CD的中点，
∴EO= DC=3cm．
故答案为：3．
【分析】利用菱形的对边相等以及对角线互相垂直，进而利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案.
13．【答案】AB=BC
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：添加条件：AB=BC，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB=BC（答案不唯一）．
【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，证出四边形ABCD是菱形，由正方形的判定方法即可得出结论．
14．【答案】14或16或26
【知识点】矩形的性质；数学思想
【解析】【解答】解：本题的不同拼法有：
第一种情况周长是（12+1）×2=26；
第二种是（6+2）×2=16；
第三种是（3+4）×2=14．
故答案为：14或16或26．
【分析】先将所有的拼法画出来，再根据画出的图形进行求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
∴BO= BD= ×8=4（cm），CO= AC= ×6=3（cm），
在△BCO中，由勾股定理，可得
BC= = =5（cm）
∵AE⊥BC，
∴AE BC=AC BO，
∴AE= = = （cm），
即菱形ABCD的高AE为 cm．
故答案为：
【分析】首先根据菱形的对角线互相垂直平分，在利用勾股定理求出BC的长，然后再结合△ABC的面积的求法，求出菱形ABCD的高AE是多少即可.
16．【答案】128
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8=27=128．
故答案为128．
【分析】根据已知可发现第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍，则面积是第（n﹣1）个的2倍，从而就不难求得第8个正方形面积的面积了．
17．【答案】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE= ∠MAC，
∵∠MAC=∠B+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，
∴AN∥BC，
∵AB=AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AN，
∴AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质和等边对等角得
∠MAE=∠B ，根据内错角相等两直线平行得出
AN∥BC ，根据等腰三角形的三线合一得出
AD⊥BC ，利用
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 证明出
四边形ADCE为平行四边形 ，再根据有一个角是是直角的平行四边形是矩形即可解答.
18．【答案】（1）解： ABCD是矩形，
理由是：∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，BD=2OB，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形
（2）解：∵由（1）知OA=AB=4cm，AC=2OA=8cm，四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= = =4 ，
∴ ABCD的面积是：AB×BC=4cm×4 cm=16 cm2
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三边相等得 OA=OB=AB ，再根据平行四边形的对角线互相平分得出AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形；
（2）根据矩形的四个角是直角，再根据勾股定理求出BC的长，根据矩形的面积公式即可求解.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8﹣x）2+42，
解得：x=5，
即MD=5．
菱形BMDN的面积=MD AB=5×4=20，
∵BD= =4 ，
∵菱形BMDN的面积= BD MN=20，
∴MN=2× =2
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证明△DMO ≌△BNO ，推出OM=ON，根据对角线互相平分得出四边形BMDN是平行四边形，根据对角线互相垂直推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM=BM，在直角三角形AMB中，利用勾股定理即可求解.
20．【答案】（1）证明：∵在三角形ABC中，CD是中线，
∴AD=BD，
∵AE∥BC，
∴∠AED=∠BCD，
在△ADE和△BCD中，
，
∴△ADE≌△BCD（AAS），
∴AE=BC，
又∵AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形
（2）解：△ABF满足∠ABF=90°时，四边形AEBC是菱形；理由如下： ∵∠ABF=90°，CF=AC， ∴BC= AF=AC， ∴平行四边形时AEBC是菱形． 故答案为：∠ABF=90°
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据线段的中点和平行线的性质得出
AD=BD 和
∠AED=∠BCD， 利用AAS证明
△ADE≌△BCD ，利用全等三角形的对应边相等得出
AE=BC， 根据一组对边平行的四边形是平行四边形即可求解；
（2）当∠ABF=90°时可得结论，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BC=AC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.
21．【答案】（1）解：如图，
四边形ACEF是平行四边形；
∵DE垂直平分BC，
∴D为BC的中点，ED⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴ED∥AC，
∴E为AB中点，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE=AE，FD∥AC．
∴BD=CD，
∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=AF．
∴∠F=∠5=∠1=∠2．
∴∠FAE=∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF=EC，
∴四边形ACEF是平行四边形
（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；
理由：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC= AB，
由（1）知CE= AB，
∴AC=CE
又∵四边形ACEF为平行四边形
∴四边形ACEF为菱形
（3）解：四边形ACEF不可能是正方形，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE＜∠ACB，
即∠ACE＜90°，不能为直角，
所以四边形ACEF不可能是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】
（1）已知AF=EC，只需证明AF∥EC即可．DE垂直平分BC，易知DE是△ABC的中位线，则FE∥AC，BE=EA=CE=AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F=∠5=∠1=∠2，即∠FAE=∠AEC，由此可证得AF∥EC；
（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE，又∵CE=
AB，∴使得AB=2AC即可，根据AB、AC即可求得∠B的值；
（3）通过已知在△ABC中，∠ACB=90°，推出∠ACE<90°，不能为直角，进行说明．
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠B=60°，
∴△ACD，△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，
在△BCM和△CAN中，
，
∴△BCM≌△CAN（SAS）
（2）解：∵△BCM≌△CAN，
∴∠BCM=∠CAN，
∴∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．
如图，作DG⊥AN于G，DH⊥MC，交MC的延长线于H．
∵∠AEM=60°，
∴∠AEC=120°，
∵∠DGE=∠H=90°，
∴∠GEH+∠GDH=180°，
∴∠GDH=∠ADC=60°，
∴∠ADG=∠CDH，
在△DGA和△DHC中，
，
∴△DGA≌△DHC（AAS），
∴DG=DH，
∵DG⊥AN，DH⊥MC，
∴∠DEG=∠DEH，
∴DE平分∠AEC，
即∠AED=60°
（3）证明：由（2）可知，∠GED=60°，
在Rt△DEG中，∵∠EDG=30°，
∴DE=2EG，
在△DEG和△DEH中，
，
△DEG≌△DEH（AAS），
∴EG=EH，
∵△DGA≌△DHC，
∴GA=CH，
∴EA+EC=EG+AG+EH﹣CH=2EG=DE，
即EA+EC=ED．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】
（1）根据菱形的四条边相等得出 AB=BC=CD=AD，根据菱形的对角相等得出
∠B=∠ADC=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断出△ABC，△ADC都是等边三角形，根据等边三角形的三边相等，三个内角都是60°得出 BC=AC，∠B=∠ACN=60°，
然后利用SAS即可证明△BCM≌△CAN；
（2）根据全等三角形对应角相等得出∠BCM=∠CAN，根据三角形的外角定理及等量代换得出∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°，作DG⊥AN于G，DH⊥MC交MC的延长线于H，由邻补角的定义得出 ∠AEC=120°， 根据四边形的内角和得出 ∠GEH+∠GDH=180°，从而得出 ∠GDH=∠ADC=60°， 根据角的和差即可得出 ∠ADG=∠CDH， 然后由AAS判断出△DGA≌△DHC，根据全等三角形的对应边相等得出DG=DH，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出∠DEG=∠DEH， DE平分∠AEC， 从而得到∠AED的度数；
（3）由（2）可知，∠GED=60°，根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出DE=2EG，然后利用AAS判断出△DEG≌△DEH，根据全等三角形的对应边相等得出EG=EH， GA=CH， ，进而根据线段的和差及等量代换得出EA+EC=EG+AG+EH-CH，即EA+EC=2EG=DE．
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=AD，
又∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∴△AEB≌△AFD
（2）解：△CEF为等腰三角形．
∵△AEB≌△AFD，
∴BE=DF，
又∵BC=CD，
∴CE=CF，
∴△CEF为等腰三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；菱形的性质
【解析】【分析】
（1）由于四边形ABCD是菱形，那么∠B=∠D，AB=AD，而AE⊥BC，AF⊥DC，易知∠AEB=∠AFD=90°，利用AAS可证△AEB≌△AFD；
（2）由（1）得△AEB≌△AFD，那么BE=DF，而BC=CD，利用等式性质易得CE=CF，从而可知△CEF为等腰三角形．
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