2017-2018学年数学沪科版八年级下册第18章 勾股定理 单元检测
一、选择题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．已知 是三角形的三边，则
B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C．在Rt△ 中，∠ °，所以
D．在Rt△ 中，∠ °，所以
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.不确定三角形是否为直角三角形及 是否为斜边，故A选项不符合题意；
B.不确定第三边是否为斜边，故B选项不符合题意；
C.∠ ，所以其对边为斜边，故C选项符合题意；
D.∠ ，所以 ，故D选项不符合题意.故答案为：C
【分析】根据勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；判断即可.
2．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，
根据勾股定理得，62+（x﹣2）2=x2，
解得x=10，
故选C．
【分析】设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，再根据勾股定理求出x的值即可．
3．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．30cm2 C．40cm2 D．48cm2
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形．
∴△ABC的面积为： ×6×8=24．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形；求出△ABC的面积.
4．在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，
∴三角形为直角三角形，
故选D．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
5．（2016八下·番禺期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：AB= =15，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S△ABC= AC BC= AB CD，
∴CD= = = ，
则点C到AB的距离是 ．
故选A
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离．
6．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．1， ， D．2， ，4
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、22+32=13≠42=16，故A选项不符合题意；
B、42+52=41≠62=36，故B选项不符合题意；
C、12+（ ）2=3=（ ）2，此三角形是直角三角形，故C选项符合题意；
D、22+（ ）2=6≠42=16，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理a2+b2=c2，此三角形是直角三角形.
7．若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（ ）
A．10 B．2 C．10或2 D．14
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设第三边为x，
①当8是斜边，则62+82=x2解得x=10，
②当8是直角边，则62+x2=82，
解得x=2 ．
∴第三边长为10或2．
故选C．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
8．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意得出最短路程如图所示，
最短路程长为 +1=2 +1，
则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，
故答案为：C．
【分析】根据图形运用勾股定理求出最短路程.
9．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ）
A．12m B．13m C．16m D．17m
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设旗杆高度为x，
如图，
则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理a2+b2=c2，求出旗杆的高度.
10．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB= ．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点A关于直线a的对称点A′，并延长AA′，过点B作BE⊥AA′于点E，连接A′B交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，
∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，
∴AA′=MN=4，
∴四边形AA′NM是平行四边形，
∴AM+NB=A′N+NB=A′B，
过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，
易得AE=2+4+3=9，AB=2 ，A′E=2+3=5，
在Rt△AEB中，BE= = ，
在Rt△A′EB中，A′B= =8．
故答案为：B．
【分析】根据题意画出图形，由对称的性质和垂线段最短，得到AM+NB=A′B，再根据勾股定理求出BE的值，再由勾股定理求出A′B的值；得到AM+NB的值.
二、填空题
11．一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是 三角形．
【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（a+b）2﹣c2=2ab，即a2+b2+2ab﹣c2=2ab，所以a2+b2=c2，
则这个三角形为直角三角形．
故答案为：直角．
【分析】整理代数式得到a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到这个三角形为直角三角形．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD= ．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴DB=DC= CB=3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
∵AD2+BD2=AB2，
∴AD= =4，
故答案为：4．
【分析】根据等腰三角形的三线合一，得到DB的值和Rt△ABD，根据勾股定理求出AD的值.
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=40，b=9，则c= ；若c=25，b=15，则a= ．
【答案】41；20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=40，b=9，
则c= =41；
若c=25，b=15，
则a= =20．
故答案为：41；20．
【分析】根据勾股定理在Rt△ABC中，求出c、a的值.
14．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米．
【答案】10
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，设大树高为AB=12m，
小树高为CD=6m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），
在Rt△AEC中，
AC= =10（m）．
故小鸟至少飞行10m．
故答案为：10．
【分析】根据题意画出图形，得到Rt△AEC；根据勾股定理求出AC的值，就是小鸟至少飞行的距离.
15．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是 km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的 方向．
【答案】5；正北
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，
∴AB= = =5（km）．
又∵A地在C地的正东方向，则B地在C地的 正北方向．
故答案是：5；正北．
【分析】根据勾股定理求出A，B两地的距离，由∠C=90°，A地在C地的正东方向，得到B地在C地的正北方向．
16．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1米，参考数据： =1.41， =1.73）．
【答案】2.9
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：∵AM=4米，∠MAD=45°，
∴DM=4m，
∵AM=4米，AB=8米，
∴MB=12米，
∵∠MBC=30°，
∴BC=2MC，
∴MC2+MB2=（2MC）2，
MC2+122=（2MC）2，
∴MC=4 ，
则DC=4 ﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
【分析】在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；得到BC=2MC，根据勾股定理MC的值，得到DC的值.
17．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ．
【答案】10
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：有两种情况，如图所示：
连接AB，求出AB的长就可以，
①由题意知AC=4，BC=6+4=10，
由勾股定理得：AB= = ；
②由题意知：AC=4+4=8，BC=6，
由勾股定理得：AB= = =10，
③如图3，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：AB= =10；
∵ ＞ ，
∴最短是10．故答案为：10．
【分析】把立体图形展开，连接AB，根据勾股定理分别求出AB的长的所有值，再比较即可.
三、计算题
18．（2016七下·沂源开学考）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？
【答案】解：由勾股定理，AC= = =12（m）．
则地毯总长为12+5=17（m），
则地毯的总面积为17×2=34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×18=612元
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积．
19．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？
【答案】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°；根据勾股定理，得BC= = =12，∴BD=12+2=14（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面14米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据实际问题画出图形，根据勾股定理求出BC的值，得到发生火灾的住户窗口距离地面的值.
20．如图，在长方体 中， ，AD＝3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到 点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是多少？
【答案】解：蚂蚁沿如图（1）所示的路线爬行时，长方形 长为 ，宽为 ，连接 ，则构成直角三角形.
由勾股定理，得 .
蚂蚁沿如图（2）所示的路线爬行时，长方形 长为 ，宽为 ，连接 ，则构成直角三角形.
由勾股定理，得 ， .
蚂蚁沿如图（3）所示的路线爬行时，长方形 长为 宽为AB=2，连接 ，则构成直角三角形.
由勾股定理，得 ∴ 蚂蚁从A点出发穿过 到达 点时路程最短，最短路程是5．
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】把立体图形展开，连接AC′，则构成直角三角形，根据勾股定理求出AC′的所有值，再进行比较，得到最短路程.
21．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？
【答案】解：BM=8×2=16海里，BP=15×2=30海里，在△BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，BM2+BP2=PM2，∴∠MBP=90°，180°﹣90°﹣60°=30°，故乙船沿南偏东30°方向航行．
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意得到BM、BP的值，由两岛相距34海里，得到BM2+BP2=PM2，根据勾股定理的逆定理，得到∠MBP=90°，根据方向角求出乙船沿南偏东30°方向航行．
22．如图，△ABC是等腰直角三角形，延长BC至E使BE=BA，过点B作BD⊥AE于点D，BD与AC交于点F，连接EF．
（1）求证：BF=2AD；
（2）若CE= ，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∴∠FCB=∠ECA=90°，∵AC⊥BE，BD⊥AE，∴∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，∵∠CFB=∠AFD，
∴∠CBF=∠CAE，
在△BCF与△ACE中， ，
∴△BCF≌△ACE，
∴AE=BF，∵BE=BA，BD⊥AE，
∴AD=ED，即AE=2AD，
∴BF=2AD
（2）解：由（1）知△BCF≌△ACE，∴CF=CE= ，
∴在Rt△CEF中，EF= =2，
∵BD⊥AE，AD=ED，
∴AF=FE=2，
∴AC=AF+CF=2+ ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，得到AC=BC、∠FCB=∠ECA=90°，再由已知得到∠CBF=∠CAE，根据ASA得到△BCF≌△ACE，得到对应边相等；再根据等腰三角形的三线合一，得到AE=2AD，得到BF=2AD；（2）由（1）知△BCF≌△ACE，得到对应边相等，在Rt△CEF中，根据勾股定理求出EF的值，根据线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等；得到AF=FE，得到AC=AF+CF的值.
23．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据： =1.41， =1.73）
【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠CDB=75°，∴∠CBD=15°，∠EBD=15°，在Rt△CBD和Rt△EBD中，∵ ，∴△CBD≌△EBD，∴CD=DE，在Rt△ADE中，∠A=60°，∴∠ADE=30°，AD=40米，则AE= AD=20米，∴DE= =20 米，∴AC=AD+CD=AD+DE=（40+20 ）米，在Rt△ABC中，∵∠A=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=80+40 ，∴BC= =（40 +60）米，则速度= =4 +6≈12.92米/秒，∵12.92米/秒=46.512千米/小时，∴该车没有超速．
【知识点】全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意由AAS得到△CBD≌△EBD，得到对应边CD=DE，根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AE的值，再根据勾股定理求出DE的值，得到AC=AD+CD=AD+DE的值，求出该车速度，得到该车没有超速．
1 / 12017-2018学年数学沪科版八年级下册第18章 勾股定理 单元检测
一、选择题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．已知 是三角形的三边，则
B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C．在Rt△ 中，∠ °，所以
D．在Rt△ 中，∠ °，所以
2．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
3．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．30cm2 C．40cm2 D．48cm2
4．在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
5．（2016八下·番禺期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．1， ， D．2， ，4
7．若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（ ）
A．10 B．2 C．10或2 D．14
8．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
9．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ）
A．12m B．13m C．16m D．17m
10．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB= ．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
11．一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是 三角形．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD= ．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=40，b=9，则c= ；若c=25，b=15，则a= ．
14．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米．
15．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是 km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的 方向．
16．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1米，参考数据： =1.41， =1.73）．
17．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ．
三、计算题
18．（2016七下·沂源开学考）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？
19．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？
20．如图，在长方体 中， ，AD＝3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到 点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是多少？
21．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？
22．如图，△ABC是等腰直角三角形，延长BC至E使BE=BA，过点B作BD⊥AE于点D，BD与AC交于点F，连接EF．
（1）求证：BF=2AD；
（2）若CE= ，求AC的长．
23．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据： =1.41， =1.73）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.不确定三角形是否为直角三角形及 是否为斜边，故A选项不符合题意；
B.不确定第三边是否为斜边，故B选项不符合题意；
C.∠ ，所以其对边为斜边，故C选项符合题意；
D.∠ ，所以 ，故D选项不符合题意.故答案为：C
【分析】根据勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；判断即可.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，
根据勾股定理得，62+（x﹣2）2=x2，
解得x=10，
故选C．
【分析】设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，再根据勾股定理求出x的值即可．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形．
∴△ABC的面积为： ×6×8=24．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形；求出△ABC的面积.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，
∴三角形为直角三角形，
故选D．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
5．【答案】A
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：AB= =15，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S△ABC= AC BC= AB CD，
∴CD= = = ，
则点C到AB的距离是 ．
故选A
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、22+32=13≠42=16，故A选项不符合题意；
B、42+52=41≠62=36，故B选项不符合题意；
C、12+（ ）2=3=（ ）2，此三角形是直角三角形，故C选项符合题意；
D、22+（ ）2=6≠42=16，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理a2+b2=c2，此三角形是直角三角形.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设第三边为x，
①当8是斜边，则62+82=x2解得x=10，
②当8是直角边，则62+x2=82，
解得x=2 ．
∴第三边长为10或2．
故选C．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意得出最短路程如图所示，
最短路程长为 +1=2 +1，
则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，
故答案为：C．
【分析】根据图形运用勾股定理求出最短路程.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设旗杆高度为x，
如图，
则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理a2+b2=c2，求出旗杆的高度.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点A关于直线a的对称点A′，并延长AA′，过点B作BE⊥AA′于点E，连接A′B交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，
∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，
∴AA′=MN=4，
∴四边形AA′NM是平行四边形，
∴AM+NB=A′N+NB=A′B，
过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，
易得AE=2+4+3=9，AB=2 ，A′E=2+3=5，
在Rt△AEB中，BE= = ，
在Rt△A′EB中，A′B= =8．
故答案为：B．
【分析】根据题意画出图形，由对称的性质和垂线段最短，得到AM+NB=A′B，再根据勾股定理求出BE的值，再由勾股定理求出A′B的值；得到AM+NB的值.
11．【答案】直角
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（a+b）2﹣c2=2ab，即a2+b2+2ab﹣c2=2ab，所以a2+b2=c2，
则这个三角形为直角三角形．
故答案为：直角．
【分析】整理代数式得到a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到这个三角形为直角三角形．
12．【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴DB=DC= CB=3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
∵AD2+BD2=AB2，
∴AD= =4，
故答案为：4．
【分析】根据等腰三角形的三线合一，得到DB的值和Rt△ABD，根据勾股定理求出AD的值.
13．【答案】41；20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=40，b=9，
则c= =41；
若c=25，b=15，
则a= =20．
故答案为：41；20．
【分析】根据勾股定理在Rt△ABC中，求出c、a的值.
14．【答案】10
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，设大树高为AB=12m，
小树高为CD=6m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），
在Rt△AEC中，
AC= =10（m）．
故小鸟至少飞行10m．
故答案为：10．
【分析】根据题意画出图形，得到Rt△AEC；根据勾股定理求出AC的值，就是小鸟至少飞行的距离.
15．【答案】5；正北
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，
∴AB= = =5（km）．
又∵A地在C地的正东方向，则B地在C地的 正北方向．
故答案是：5；正北．
【分析】根据勾股定理求出A，B两地的距离，由∠C=90°，A地在C地的正东方向，得到B地在C地的正北方向．
16．【答案】2.9
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：∵AM=4米，∠MAD=45°，
∴DM=4m，
∵AM=4米，AB=8米，
∴MB=12米，
∵∠MBC=30°，
∴BC=2MC，
∴MC2+MB2=（2MC）2，
MC2+122=（2MC）2，
∴MC=4 ，
则DC=4 ﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
【分析】在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；得到BC=2MC，根据勾股定理MC的值，得到DC的值.
17．【答案】10
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：有两种情况，如图所示：
连接AB，求出AB的长就可以，
①由题意知AC=4，BC=6+4=10，
由勾股定理得：AB= = ；
②由题意知：AC=4+4=8，BC=6，
由勾股定理得：AB= = =10，
③如图3，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：AB= =10；
∵ ＞ ，
∴最短是10．故答案为：10．
【分析】把立体图形展开，连接AB，根据勾股定理分别求出AB的长的所有值，再比较即可.
18．【答案】解：由勾股定理，AC= = =12（m）．
则地毯总长为12+5=17（m），
则地毯的总面积为17×2=34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×18=612元
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积．
19．【答案】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°；根据勾股定理，得BC= = =12，∴BD=12+2=14（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面14米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据实际问题画出图形，根据勾股定理求出BC的值，得到发生火灾的住户窗口距离地面的值.
20．【答案】解：蚂蚁沿如图（1）所示的路线爬行时，长方形 长为 ，宽为 ，连接 ，则构成直角三角形.
由勾股定理，得 .
蚂蚁沿如图（2）所示的路线爬行时，长方形 长为 ，宽为 ，连接 ，则构成直角三角形.
由勾股定理，得 ， .
蚂蚁沿如图（3）所示的路线爬行时，长方形 长为 宽为AB=2，连接 ，则构成直角三角形.
由勾股定理，得 ∴ 蚂蚁从A点出发穿过 到达 点时路程最短，最短路程是5．
【知识点】勾股定理的应用；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】把立体图形展开，连接AC′，则构成直角三角形，根据勾股定理求出AC′的所有值，再进行比较，得到最短路程.
21．【答案】解：BM=8×2=16海里，BP=15×2=30海里，在△BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，BM2+BP2=PM2，∴∠MBP=90°，180°﹣90°﹣60°=30°，故乙船沿南偏东30°方向航行．
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意得到BM、BP的值，由两岛相距34海里，得到BM2+BP2=PM2，根据勾股定理的逆定理，得到∠MBP=90°，根据方向角求出乙船沿南偏东30°方向航行．
22．【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∴∠FCB=∠ECA=90°，∵AC⊥BE，BD⊥AE，∴∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，∵∠CFB=∠AFD，
∴∠CBF=∠CAE，
在△BCF与△ACE中， ，
∴△BCF≌△ACE，
∴AE=BF，∵BE=BA，BD⊥AE，
∴AD=ED，即AE=2AD，
∴BF=2AD
（2）解：由（1）知△BCF≌△ACE，∴CF=CE= ，
∴在Rt△CEF中，EF= =2，
∵BD⊥AE，AD=ED，
∴AF=FE=2，
∴AC=AF+CF=2+ ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，得到AC=BC、∠FCB=∠ECA=90°，再由已知得到∠CBF=∠CAE，根据ASA得到△BCF≌△ACE，得到对应边相等；再根据等腰三角形的三线合一，得到AE=2AD，得到BF=2AD；（2）由（1）知△BCF≌△ACE，得到对应边相等，在Rt△CEF中，根据勾股定理求出EF的值，根据线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等；得到AF=FE，得到AC=AF+CF的值.
23．【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠CDB=75°，∴∠CBD=15°，∠EBD=15°，在Rt△CBD和Rt△EBD中，∵ ，∴△CBD≌△EBD，∴CD=DE，在Rt△ADE中，∠A=60°，∴∠ADE=30°，AD=40米，则AE= AD=20米，∴DE= =20 米，∴AC=AD+CD=AD+DE=（40+20 ）米，在Rt△ABC中，∵∠A=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=80+40 ，∴BC= =（40 +60）米，则速度= =4 +6≈12.92米/秒，∵12.92米/秒=46.512千米/小时，∴该车没有超速．
【知识点】全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意由AAS得到△CBD≌△EBD，得到对应边CD=DE，根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AE的值，再根据勾股定理求出DE的值，得到AC=AD+CD=AD+DE的值，求出该车速度，得到该车没有超速．
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