人教新课标A版必修1数学2.2.1 对数与对数运算同步测试
一、单选题
1．若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B．（2，3）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
【答案】B
【知识点】对数的概念与表示
【解析】【解答】解：要使对数式log（t﹣2）3有意义，
须 ；
解得t＞2且t≠3，
∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．
故选：B．
【分析】根据对数式log（t﹣2）3的定义，底数大于0且不等于1，列出不等式组，求出解集即可．
2．若lga=﹣3.1476，则关于lga的首数与尾数的叙述中正确的是（ ）
A．首数为﹣3，尾数为0.1476 B．首数为﹣3，尾数为0.8524
C．首数为﹣4，尾数为0.8524 D．首数为﹣4，尾数为0.1476
【答案】C
【知识点】对数的概念与表示
【解析】【解答】解：lga=lg（10﹣4×100.8524）=lg100.8524+lg10﹣4=﹣4+lg100.8524
，n=﹣4叫做首数，lg100.8524=0.8524叫做尾数，他是一个纯小数
故选C．
【分析】根据对数的运算规则lgN=lg（a×10n）=lga+lg10n=n+lga，n叫做首数，lga叫做尾数，他是一个纯小数或者0，进行求解，即可得到正确选项．
3．已知，则有（ ）
A．a2b=c B．a2c=b C．bc=2a D．c2a=b
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：∵，∴（a2）c=b，∴a2c=b．
故选B．
【分析】利用指数式与对数式的互化即可得出．
4．若lg5=a，lg7=b，则log57=（ ）
A．a+b B．b﹣a C． D．
【答案】D
【知识点】换底公式的应用
【解析】【解答】解：∵lg5=a，lg7=b，
∴log57=
故选D．
【分析】利用对数的换底公式即可求得答案．
5．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．e0=1与ln 1=0 B．log39=2与9 =3
C．8 = 与log8 =﹣ D．log77=1与71=7
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：对于A：e0=1可化为：0=loge1=ln1，∴A正确，
对于B：log39=2可化为：32=9，∴B不正确
对于C：8 = 可化为与log8 =﹣ ，∴C正确
对于D：log77=1可化为：71=7，∴D正确
故选B
【分析】根据指数式与对数式的互化公式，依次验证每个选项即可得解
6．（2016高一上·临沂期中）设lg2=a，lg3=b，则log125=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】换底公式的应用
【解析】【解答】解：∵lg2=a，lg3=b，
则log125= = ．
故选：A．
【分析】利用对数的换底公式、对数的运算性质即可得出．
7．已知x5=﹣243，那么x=（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣3或3 D．不存在
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：∵x5=﹣243，
∴x= = ．
故选：B．
【分析】把指数式化成根式的形式，然后求解得答案．
8．（2016高一上·埇桥期中）设log34 log48 log8m=log416，那么m等于（ ）
A． B．9 C．18 D．27
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：∵log34 log48 log8m= = =2
∴lgm=2lg3=lg9
∴m=9
故选B．
【分析】根据换底公式知，log34 log48 log8m= = =2，即可得答案．
9．（2016高二下·大庆期末）若0＜x＜y＜1，则（ ）
A．3y＜3x B．logx3＜logy3
C．log4x＞log4y D．（ ）x＞（ ）y
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：根据指数函数的单调性，可得3y＞3x，（ ）x＞（ ）y，
根据对数函数的单调性，可得logx3＞logy3，log4x＜log4y，
故选：D．
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，可得结论．
10．（2016高一上·蓟县期中）化简 的值得（ ）
A．8 B．10 C．﹣8 D．﹣10
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式= +
=9﹣1=8．
故选：A．
【分析】利用指数与对数的运算性质即可得出．
11．（2015高一上·雅安期末）2log510+log50.25=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：∵2log510+log50.25
=log5100+log50.25
=log525
=2
故选C．
【分析】根据对数运算法则可直接得到答案．
12．指数式b3=a （b＞0，且b≠1）所对应的对数式是（ ）
A．log3a=b B．log3b=a C．logab=3 D．logba=3
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：指数式b3=a （b＞0，且b≠1）所对应的对数式是：logba=3．
故选D．
【分析】直接利用指数式与对数式的互化求出对数式的形式即可．
13．阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数．如[﹣2]=﹣2，[﹣1.5]=﹣2，[2.5]=2．求[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：=﹣1，log21=0，log22=1，1＜log23＜2，log24=2，
由“取整函数”的定义可得，
[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]
=﹣2﹣2﹣1+0+1+1+2=﹣1．
故选：A．
【分析】根据“取整函数”的定义即可求得答案
14．若ax=N（a＞0，a≠1），则下列一定正确的是（ ）
A．a=logxN B．x=logaN C．x=aN D．a=xN
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：∴ax=N（a＞0，a≠1），
由对数的定义知，x=logaN，
故选B．
【分析】利用对数的定义可知，ax=N（a＞0，a≠1）中，x为以a为底N的对数，从而可得答案．
二、填空题
15．请你写一个比lg3小的实数是 ．
【答案】0
【知识点】对数的概念与表示
【解析】【解答】解：∵lg3∈（0，1），
故请你写一个可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【分析】根据lg3∈（0，1），易举出一个满足条件的实数．
16．（2016高一上·张家港期中）（lg5）2+lg2×lg50= ．
【答案】1
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式=lg25+lg2（1+lg5）
=lg5（lg5+lg2）+lg2
=lg5+lg2=1．
故答案为：1．
【分析】利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．
17．（2016高一下·浦东期中）计算：log3 +log32﹣log3 = ．
【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：log3 +log32﹣log3 =log3（ ×2× ）=log332=2，
故答案为：2．
【分析】根据对数的基本运算性质即可求出．
18．已知4a=9b=k，且 =2，则k的值为 ．
【答案】6
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：4a=9b=k＞0，
∴a=log4k，b=log9k，
∴ =logk4， =logk9，
∴ + =logk4+logk9=logk36=2，
∴k2=36，
∴k=6，
故答案为：6
【分析】由题意知a=log4k，b=log9k，则得到 + =logk4+logk9=logk36=2，解得即可．
19．函数，定义使f（1） f（2） f（3）…f（k）为整数的数k（k∈N*）叫做企盼数，则在区间[1，2013]内这样的企盼数共有 个．
【答案】9
【知识点】换底公式的应用
【解析】【解答】解：令g（k）=f（1） f（2） f（3）…f（k），
∵f（k）=log（k+1）（k+2）=，
∴g（k）==log2（k+2）．
要使g（k）成为企盼数，则k+2=2n，n∈N*．
∵k∈[1，2013]，∴（k+2）∈[3，2015]，即2n∈[3，2015]．
∵22=4，210=1024，211=2048．
可取n=2，3，…，10．
因此在区间[1，2013]内这样的企盼数共有9个．
【分析】令g（k）=f（1） f（2） f（3）…f（k），利用对数的换底公式可得f（k）=log（k+1）（k+2）=，
得到g（k）==log2（k+2）．
要使g（k）成为企盼数，则k+2=2n，n∈N*．由于k∈[1，2013]，即2n∈[3，2015]即可得出．
三、解答题
20．把下列指数形式写成对数形式：
（1）54=625；
（2）2﹣6= ；
（3）3a=27；
（4） =5.73．
【答案】（1）解：∵54=625；
∴log5625=4
（2）解：∵2﹣6= ；
∴
（3）解：∵3a=27；
∴log327=3
（4）解：∵ =5.73．
∴ =m
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【分析】本题要把所给的指数式变化为对数式，只要把指数中的底数做对数的底数，把指数式中的幂做真数，指数式中的指数做对数式中的对数，写出来即可．
21．（2016高一上·埇桥期中）计算
（1）80.25× +（ × ）6+log32×log2（log327）；
（2） ．
【答案】（1）解：80.25× +（ × ）6+log32×log2（log327）
=
=
=2+108+1
=111
（2）解：
=
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）化小数为分数，化根式为分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化简求值；（2）直接利用对数的运算性质化简求值．
22．（2017高一上·珠海期末）求值：log23 log34+（log224﹣log26+6） ．
【答案】解：原式= +
=2+
=2+
=6．
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】利用对数的运算法则、指数幂的运算性质即可得出．
23．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e﹣λt，其中e=2.71828…为自然对数的底数，N0，λ是正的常数
（Ⅰ）当N0=e3，λ=，t=4时，求lnN的值
（Ⅱ）把t表示原子数N的函数；并求当N=，λ=时，t的值（结果保留整数）
【答案】解：（Ⅰ）当N0=e3，λ=，t=4时，
N=N0 e﹣λt=e3 e﹣2=e，
∴lnN=lne=1；
（Ⅱ）∵N=N0 e﹣λt，
∴=e﹣λt，
∴﹣λt=ln，
∴t=﹣ln（或ln），其中0＜N≤N0；
当N=，λ=时，
t=﹣10ln=10ln2=10×=10×≈7．
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（Ⅰ）把N0=e3，λ=，t=4代人公式求出lnN的值；
（Ⅱ）根据公式求出t的解析式，再计算N=，λ=时t的值．
24．运用对数的换底公式证明 （a＞0，且a≠1；M＞0，m≠0）．
【答案】解：等式两边同时取以a为底数的对数得
【知识点】换底公式的应用
【解析】【分析】根据对数的换底公式进行证明即可．
1 / 1人教新课标A版必修1数学2.2.1 对数与对数运算同步测试
一、单选题
1．若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B．（2，3）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
2．若lga=﹣3.1476，则关于lga的首数与尾数的叙述中正确的是（ ）
A．首数为﹣3，尾数为0.1476 B．首数为﹣3，尾数为0.8524
C．首数为﹣4，尾数为0.8524 D．首数为﹣4，尾数为0.1476
3．已知，则有（ ）
A．a2b=c B．a2c=b C．bc=2a D．c2a=b
4．若lg5=a，lg7=b，则log57=（ ）
A．a+b B．b﹣a C． D．
5．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．e0=1与ln 1=0 B．log39=2与9 =3
C．8 = 与log8 =﹣ D．log77=1与71=7
6．（2016高一上·临沂期中）设lg2=a，lg3=b，则log125=（ ）
A． B． C． D．
7．已知x5=﹣243，那么x=（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣3或3 D．不存在
8．（2016高一上·埇桥期中）设log34 log48 log8m=log416，那么m等于（ ）
A． B．9 C．18 D．27
9．（2016高二下·大庆期末）若0＜x＜y＜1，则（ ）
A．3y＜3x B．logx3＜logy3
C．log4x＞log4y D．（ ）x＞（ ）y
10．（2016高一上·蓟县期中）化简 的值得（ ）
A．8 B．10 C．﹣8 D．﹣10
11．（2015高一上·雅安期末）2log510+log50.25=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
12．指数式b3=a （b＞0，且b≠1）所对应的对数式是（ ）
A．log3a=b B．log3b=a C．logab=3 D．logba=3
13．阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数．如[﹣2]=﹣2，[﹣1.5]=﹣2，[2.5]=2．求[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．0 D．1
14．若ax=N（a＞0，a≠1），则下列一定正确的是（ ）
A．a=logxN B．x=logaN C．x=aN D．a=xN
二、填空题
15．请你写一个比lg3小的实数是 ．
16．（2016高一上·张家港期中）（lg5）2+lg2×lg50= ．
17．（2016高一下·浦东期中）计算：log3 +log32﹣log3 = ．
18．已知4a=9b=k，且 =2，则k的值为 ．
19．函数，定义使f（1） f（2） f（3）…f（k）为整数的数k（k∈N*）叫做企盼数，则在区间[1，2013]内这样的企盼数共有 个．
三、解答题
20．把下列指数形式写成对数形式：
（1）54=625；
（2）2﹣6= ；
（3）3a=27；
（4） =5.73．
21．（2016高一上·埇桥期中）计算
（1）80.25× +（ × ）6+log32×log2（log327）；
（2） ．
22．（2017高一上·珠海期末）求值：log23 log34+（log224﹣log26+6） ．
23．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e﹣λt，其中e=2.71828…为自然对数的底数，N0，λ是正的常数
（Ⅰ）当N0=e3，λ=，t=4时，求lnN的值
（Ⅱ）把t表示原子数N的函数；并求当N=，λ=时，t的值（结果保留整数）
24．运用对数的换底公式证明 （a＞0，且a≠1；M＞0，m≠0）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】对数的概念与表示
【解析】【解答】解：要使对数式log（t﹣2）3有意义，
须 ；
解得t＞2且t≠3，
∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．
故选：B．
【分析】根据对数式log（t﹣2）3的定义，底数大于0且不等于1，列出不等式组，求出解集即可．
2．【答案】C
【知识点】对数的概念与表示
【解析】【解答】解：lga=lg（10﹣4×100.8524）=lg100.8524+lg10﹣4=﹣4+lg100.8524
，n=﹣4叫做首数，lg100.8524=0.8524叫做尾数，他是一个纯小数
故选C．
【分析】根据对数的运算规则lgN=lg（a×10n）=lga+lg10n=n+lga，n叫做首数，lga叫做尾数，他是一个纯小数或者0，进行求解，即可得到正确选项．
3．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：∵，∴（a2）c=b，∴a2c=b．
故选B．
【分析】利用指数式与对数式的互化即可得出．
4．【答案】D
【知识点】换底公式的应用
【解析】【解答】解：∵lg5=a，lg7=b，
∴log57=
故选D．
【分析】利用对数的换底公式即可求得答案．
5．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：对于A：e0=1可化为：0=loge1=ln1，∴A正确，
对于B：log39=2可化为：32=9，∴B不正确
对于C：8 = 可化为与log8 =﹣ ，∴C正确
对于D：log77=1可化为：71=7，∴D正确
故选B
【分析】根据指数式与对数式的互化公式，依次验证每个选项即可得解
6．【答案】A
【知识点】换底公式的应用
【解析】【解答】解：∵lg2=a，lg3=b，
则log125= = ．
故选：A．
【分析】利用对数的换底公式、对数的运算性质即可得出．
7．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：∵x5=﹣243，
∴x= = ．
故选：B．
【分析】把指数式化成根式的形式，然后求解得答案．
8．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：∵log34 log48 log8m= = =2
∴lgm=2lg3=lg9
∴m=9
故选B．
【分析】根据换底公式知，log34 log48 log8m= = =2，即可得答案．
9．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：根据指数函数的单调性，可得3y＞3x，（ ）x＞（ ）y，
根据对数函数的单调性，可得logx3＞logy3，log4x＜log4y，
故选：D．
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，可得结论．
10．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式= +
=9﹣1=8．
故选：A．
【分析】利用指数与对数的运算性质即可得出．
11．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：∵2log510+log50.25
=log5100+log50.25
=log525
=2
故选C．
【分析】根据对数运算法则可直接得到答案．
12．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：指数式b3=a （b＞0，且b≠1）所对应的对数式是：logba=3．
故选D．
【分析】直接利用指数式与对数式的互化求出对数式的形式即可．
13．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：=﹣1，log21=0，log22=1，1＜log23＜2，log24=2，
由“取整函数”的定义可得，
[log2]+[log2]+[log2]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]
=﹣2﹣2﹣1+0+1+1+2=﹣1．
故选：A．
【分析】根据“取整函数”的定义即可求得答案
14．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：∴ax=N（a＞0，a≠1），
由对数的定义知，x=logaN，
故选B．
【分析】利用对数的定义可知，ax=N（a＞0，a≠1）中，x为以a为底N的对数，从而可得答案．
15．【答案】0
【知识点】对数的概念与表示
【解析】【解答】解：∵lg3∈（0，1），
故请你写一个可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【分析】根据lg3∈（0，1），易举出一个满足条件的实数．
16．【答案】1
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式=lg25+lg2（1+lg5）
=lg5（lg5+lg2）+lg2
=lg5+lg2=1．
故答案为：1．
【分析】利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．
17．【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：log3 +log32﹣log3 =log3（ ×2× ）=log332=2，
故答案为：2．
【分析】根据对数的基本运算性质即可求出．
18．【答案】6
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：4a=9b=k＞0，
∴a=log4k，b=log9k，
∴ =logk4， =logk9，
∴ + =logk4+logk9=logk36=2，
∴k2=36，
∴k=6，
故答案为：6
【分析】由题意知a=log4k，b=log9k，则得到 + =logk4+logk9=logk36=2，解得即可．
19．【答案】9
【知识点】换底公式的应用
【解析】【解答】解：令g（k）=f（1） f（2） f（3）…f（k），
∵f（k）=log（k+1）（k+2）=，
∴g（k）==log2（k+2）．
要使g（k）成为企盼数，则k+2=2n，n∈N*．
∵k∈[1，2013]，∴（k+2）∈[3，2015]，即2n∈[3，2015]．
∵22=4，210=1024，211=2048．
可取n=2，3，…，10．
因此在区间[1，2013]内这样的企盼数共有9个．
【分析】令g（k）=f（1） f（2） f（3）…f（k），利用对数的换底公式可得f（k）=log（k+1）（k+2）=，
得到g（k）==log2（k+2）．
要使g（k）成为企盼数，则k+2=2n，n∈N*．由于k∈[1，2013]，即2n∈[3，2015]即可得出．
20．【答案】（1）解：∵54=625；
∴log5625=4
（2）解：∵2﹣6= ；
∴
（3）解：∵3a=27；
∴log327=3
（4）解：∵ =5.73．
∴ =m
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【分析】本题要把所给的指数式变化为对数式，只要把指数中的底数做对数的底数，把指数式中的幂做真数，指数式中的指数做对数式中的对数，写出来即可．
21．【答案】（1）解：80.25× +（ × ）6+log32×log2（log327）
=
=
=2+108+1
=111
（2）解：
=
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）化小数为分数，化根式为分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化简求值；（2）直接利用对数的运算性质化简求值．
22．【答案】解：原式= +
=2+
=2+
=6．
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】利用对数的运算法则、指数幂的运算性质即可得出．
23．【答案】解：（Ⅰ）当N0=e3，λ=，t=4时，
N=N0 e﹣λt=e3 e﹣2=e，
∴lnN=lne=1；
（Ⅱ）∵N=N0 e﹣λt，
∴=e﹣λt，
∴﹣λt=ln，
∴t=﹣ln（或ln），其中0＜N≤N0；
当N=，λ=时，
t=﹣10ln=10ln2=10×=10×≈7．
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（Ⅰ）把N0=e3，λ=，t=4代人公式求出lnN的值；
（Ⅱ）根据公式求出t的解析式，再计算N=，λ=时t的值．
24．【答案】解：等式两边同时取以a为底数的对数得
【知识点】换底公式的应用
【解析】【分析】根据对数的换底公式进行证明即可．
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