2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：5.1 认识分式课时2
一、知识点1分式的基本性质
1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个 的整式，分式的值不变，用式子表示为 = （括号里应填 ）， = （括号里应填 ）(其中A，B，C是整式，B≠0，C≠0).
【答案】不等于0；C；C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示为 （括号里应填C)，（括号里应填C)(其中A，B，C是整式，B≠0，C≠0).
故答案为：不等于0；C；C.
【分析】根据分式的性质解答此题即可。
2．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． = B． =
C． = D． =
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、根据分式的基本性质，在M≠0的条件下才能成立，因此A不符合题意；
B、根据分式的基本性质，分式的分子分母不是加上同一个数，因此B不符合题意；
C、根据分式的基本性质，分式的分子分母不是加上同一个式子，因此C不符合题意；
D、根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘以3，分式的值不变，因此D符合题意；
故答案为：D
【分析】分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以和除以同一个非0的数或式子，分式的值不变，如果分式的分子和分母同时加上或减去同一个非0的数或式子，分式的值不变。逐一判断即可。
3．下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、左边不能化简，不符合分式的基本性质，因此A不符合题意；
B、当c≠0时，成立，因此B不符合题意；
C、∵3≠0，∴成立，因此C符合题意；
D、不一定等于，不符合分式的基本性质，因此D不符合题意；
故答案为：C
【分析】分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以和除以同一个非0的数或式子，分式的值不变，如果分式的分子和分母同时加上或减去同一个非0的数或式子，分式的值不变。逐一判断即可。
4．如果把 中的x与y都扩大到原来的20倍，那么这个式子的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的10倍
C．扩大到原来的20倍 D．缩小到原来的
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：原式==，故分式的值不变。
故答案为：A
【分析】根据分式的基本性质解答此题即可。
5．若 = ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = = ．
故选D．
【分析】首先将变为，然后再将代入求值即可.
6．若 - =2，则分式 的值等于（ ）
A．- B． C．- D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴x-y=-2xy
原式====
故答案为：B
【分析】根据已知条件，将转化为x-y=-2xy，再将分式转化为用含x-y和xy的式子表示，再整体代入计算即可得出答案。
二、知识点2分式的符号法则
7．对于分式 的符号，它包含分子A、分母B、分式 (本身)三种符号，根据 ，改变其中任意 符号，分式的值 ，即 =- =- = .
【答案】分式的基本性质；两种；不变
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：对于分式 的符号，它包含分子A、分母B、分式 (本身)三种符号，根据分式的基本性质，改变其中任意两种符号，分式的值不变，即 =- =- = .
【分析】根据分式的基本性质解答此题即可。
8．不改变分式的值，使分式的分子、分母中不含负号：
（1） = ；
（2） = .
【答案】（1）-
（2）
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1）原式=
（2）原式=
【分析】根据分式的基本性质，分式本身的符号、分子的符号、分母的符号中，只要改变其中两个符号，则分式的值不变，即可得出答案。
9．在下列各式中，与分式 的值相等的是（ ）
A． B． C． D．-
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 在改变分母的符号时，分母应为 a+b，A不符合题意；
B、在改变分母的符号时，分母应为 a+b，故B不符合题意；
C、同时改变了分子和分母的符号，与原分式的值相等，故C符合题意；
D、同时改变了三个符号，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据分式的基本性质，知分式本身的符号、分子的符号、分母的符号中，只要改变其中两个符号，则分式的值不变，根据这一性质逐一分析。
10．分式- 可变形为（ ）
A．- B． C．- D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】-==。
故答案为：D
【分析】根据分式的基本性质解答即可。
11．下列运算错误的是（ ）
A． =1
B． =-1
C． =
D． =
【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】A、原式==1，A不符合题意；
B、原式==-1，B不符合题意；
C、原式==，C不符合题意；
D、原式==，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据分式的基本性质及约分的知识进行逐一判断即可得出答案。
三、知识点3约分与最简分式
12．把一个分式的分子和分母的 约去,这种变形称为分式的约分.其依据是 ;其目的是将分式转化成分子和分母没有 ,即将分式转化为最简分式.
【答案】公因式；分式的基本性质；公因式
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；最简分式
【解析】【解答】解：把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.其依据是分式的基本性质;其目的是将分式转化成分子和分母没有公因式,即将分式转化为最简分式。
故答案为：公因式；分式的基本性质；公因式.
【分析】根据约分的定义及最简分式的定义求解即可。
13． 的分子与分母的公因式是（ ）
A．4ab B．2ab C．4a2b2 D．2a2b2
【答案】B
【知识点】公因式；分式的约分
【解析】【解答】解：∵原式=
∴原分式的分子与分母的公因式为2ab
故答案为：B
【分析】观察分式的分子分母都是单项式，分子分母的系数的最大公约数是2，都含有字母a、b，且它们的最低次幂都是1，即可得出公因式为2ab。
14．（2016八上·井陉矿开学考）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；
B、原式= = ，不合题意；
C、原式= = ，不合题意；
D、原式= = ，不合题意，
故选A
【分析】利用最简分式的定义判断即可．
15．化简 的结果是（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】解：原式==
故答案为：D
【分析】先将分子分母分解因式，再根据分式的基本性质约分化成最简分式即可。
16．若a=2b≠0，则 = .
【答案】1.5
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式==
当a=2b≠0时，原式==1.5
【分析】先将原分式的分子分母分解因式，再约分化成最简分式，然后代入化简求值即可。
17．已知四张卡片上面分别写着6，x+1，x2-1，x-1，从中任意选两个整式，能组成 个最简分式.
【答案】5
【知识点】最简分式
【解析】【解答】能组成的最简分式由：、、、、一共由5个。
故答案为：5
【分析】根据最简分式的定义写出所有的最简分式，即可得出答案。
四、培优检测
18．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项系数都化为整数：
（1） = ；
（2） = .
【答案】（1）
（2）
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1）==
（2）==
【分析】（1）根据分式的基本性质分式的分子分母同时乘以6，即可得出答案。
（2）根据分式的基本性质分式的分子分母同时乘以10，即可得出答案。
19．先化简,再求值:
（1） ,其中x+4y=- ;
（2） ,其中a=-2,b=2.
【答案】（1）解: = = .
因为x+4y=- ,所以原式= =-4
（2）解: = = .
因为a=-2,b=2,所以原式=
【知识点】分式的约分；分式的化简求值
【解析】【分析】（1）先将原分式的分子分母分解因式，再约分化简后，再整体代入计算即可得出答案。
（2）先将原分式的分子分母分解因式，再约分化简后，再代入求值即可。
20．对分式 进行变形:
甲同学的解法是: = =a-b;
乙同学的解法是: = =
=a-b.
请判断甲、乙两同学的解法是否正确,并说明理由.
【答案】解:甲同学的解法正确.
乙同学的解法不正确.
理由:乙同学在进行分式的变形时,分子、分母同乘a-b,而a-b可能为0,所以乙同学的解法不正确
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的基本性质；分式的约分
【解析】【分析】根据题意可知题中隐含条件是a+b≠0，甲同学是将原分式的分子分解因式后约分，甲同学解答正确；而乙同学的解答是分子分母同乘以a-b，a-b可能等于0，乙同学的解法不正确。
21．综合题
（1）不改变分式的值,使分式 的分子与分母的各项的系数是整数.
（2）不改变分式的值,使分式 的分子与分母的最高次项的系数是正数.
（3）当x满足什么条件时,分式 的值,①等于0 ②小于0
【答案】（1）解:原式=
（2）解:原式=-
（3）解:①由 =0,得 解得x= .
②由 <0,得2-3x<0,解得x>
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）观察原分式的分子分母的最小公倍数为6，因此将原分式的分子分母同时乘以6，即可得出答案。
（2）观察原分式分子中的最高次项是-y2,因此改变分子、分式本身的符号，分式的值不变。
（3）①根据分式的值为0，则分母≠0，且分子=0 ，建立方程和不等式求解即可；②观察分子分母的特点，分母4x2+1是正数，因此要使分式的值小于0，分子分母异号，则分子小于0，建立不等式求解即可。
22．若x+ =3，求 的值.
【答案】解：∵x+ =3，∴x2+ +2=9，即x2+ =7.∴ = = =
【知识点】有理数的倒数；代数式求值；完全平方式
【解析】【分析】方法一：将x+ =3两边同时平方，求出的值，题中隐含x≠0.因此再将的分子和分母同时除以x2，得到，再整体代入计算即可；
方法二：求的倒数，即，再代入值，然后取倒数即可得出原代数式的值。
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一、知识点1分式的基本性质
1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个 的整式，分式的值不变，用式子表示为 = （括号里应填 ）， = （括号里应填 ）(其中A，B，C是整式，B≠0，C≠0).
2．下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． = B． =
C． = D． =
3．下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
4．如果把 中的x与y都扩大到原来的20倍，那么这个式子的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的10倍
C．扩大到原来的20倍 D．缩小到原来的
5．若 = ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．若 - =2，则分式 的值等于（ ）
A．- B． C．- D．
二、知识点2分式的符号法则
7．对于分式 的符号，它包含分子A、分母B、分式 (本身)三种符号，根据 ，改变其中任意 符号，分式的值 ，即 =- =- = .
8．不改变分式的值，使分式的分子、分母中不含负号：
（1） = ；
（2） = .
9．在下列各式中，与分式 的值相等的是（ ）
A． B． C． D．-
10．分式- 可变形为（ ）
A．- B． C．- D．
11．下列运算错误的是（ ）
A． =1
B． =-1
C． =
D． =
三、知识点3约分与最简分式
12．把一个分式的分子和分母的 约去,这种变形称为分式的约分.其依据是 ;其目的是将分式转化成分子和分母没有 ,即将分式转化为最简分式.
13． 的分子与分母的公因式是（ ）
A．4ab B．2ab C．4a2b2 D．2a2b2
14．（2016八上·井陉矿开学考）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
15．化简 的结果是（ ）
A．-1 B．1 C． D．
16．若a=2b≠0，则 = .
17．已知四张卡片上面分别写着6，x+1，x2-1，x-1，从中任意选两个整式，能组成 个最简分式.
四、培优检测
18．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项系数都化为整数：
（1） = ；
（2） = .
19．先化简,再求值:
（1） ,其中x+4y=- ;
（2） ,其中a=-2,b=2.
20．对分式 进行变形:
甲同学的解法是: = =a-b;
乙同学的解法是: = =
=a-b.
请判断甲、乙两同学的解法是否正确,并说明理由.
21．综合题
（1）不改变分式的值,使分式 的分子与分母的各项的系数是整数.
（2）不改变分式的值,使分式 的分子与分母的最高次项的系数是正数.
（3）当x满足什么条件时,分式 的值,①等于0 ②小于0
22．若x+ =3，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】不等于0；C；C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示为 （括号里应填C)，（括号里应填C)(其中A，B，C是整式，B≠0，C≠0).
故答案为：不等于0；C；C.
【分析】根据分式的性质解答此题即可。
2．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、根据分式的基本性质，在M≠0的条件下才能成立，因此A不符合题意；
B、根据分式的基本性质，分式的分子分母不是加上同一个数，因此B不符合题意；
C、根据分式的基本性质，分式的分子分母不是加上同一个式子，因此C不符合题意；
D、根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘以3，分式的值不变，因此D符合题意；
故答案为：D
【分析】分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以和除以同一个非0的数或式子，分式的值不变，如果分式的分子和分母同时加上或减去同一个非0的数或式子，分式的值不变。逐一判断即可。
3．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、左边不能化简，不符合分式的基本性质，因此A不符合题意；
B、当c≠0时，成立，因此B不符合题意；
C、∵3≠0，∴成立，因此C符合题意；
D、不一定等于，不符合分式的基本性质，因此D不符合题意；
故答案为：C
【分析】分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以和除以同一个非0的数或式子，分式的值不变，如果分式的分子和分母同时加上或减去同一个非0的数或式子，分式的值不变。逐一判断即可。
4．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：原式==，故分式的值不变。
故答案为：A
【分析】根据分式的基本性质解答此题即可。
5．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = = ．
故选D．
【分析】首先将变为，然后再将代入求值即可.
6．【答案】B
【知识点】分式的基本性质；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴x-y=-2xy
原式====
故答案为：B
【分析】根据已知条件，将转化为x-y=-2xy，再将分式转化为用含x-y和xy的式子表示，再整体代入计算即可得出答案。
7．【答案】分式的基本性质；两种；不变
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：对于分式 的符号，它包含分子A、分母B、分式 (本身)三种符号，根据分式的基本性质，改变其中任意两种符号，分式的值不变，即 =- =- = .
【分析】根据分式的基本性质解答此题即可。
8．【答案】（1）-
（2）
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1）原式=
（2）原式=
【分析】根据分式的基本性质，分式本身的符号、分子的符号、分母的符号中，只要改变其中两个符号，则分式的值不变，即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 在改变分母的符号时，分母应为 a+b，A不符合题意；
B、在改变分母的符号时，分母应为 a+b，故B不符合题意；
C、同时改变了分子和分母的符号，与原分式的值相等，故C符合题意；
D、同时改变了三个符号，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据分式的基本性质，知分式本身的符号、分子的符号、分母的符号中，只要改变其中两个符号，则分式的值不变，根据这一性质逐一分析。
10．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】-==。
故答案为：D
【分析】根据分式的基本性质解答即可。
11．【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】A、原式==1，A不符合题意；
B、原式==-1，B不符合题意；
C、原式==，C不符合题意；
D、原式==，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据分式的基本性质及约分的知识进行逐一判断即可得出答案。
12．【答案】公因式；分式的基本性质；公因式
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；最简分式
【解析】【解答】解：把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.其依据是分式的基本性质;其目的是将分式转化成分子和分母没有公因式,即将分式转化为最简分式。
故答案为：公因式；分式的基本性质；公因式.
【分析】根据约分的定义及最简分式的定义求解即可。
13．【答案】B
【知识点】公因式；分式的约分
【解析】【解答】解：∵原式=
∴原分式的分子与分母的公因式为2ab
故答案为：B
【分析】观察分式的分子分母都是单项式，分子分母的系数的最大公约数是2，都含有字母a、b，且它们的最低次幂都是1，即可得出公因式为2ab。
14．【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；
B、原式= = ，不合题意；
C、原式= = ，不合题意；
D、原式= = ，不合题意，
故选A
【分析】利用最简分式的定义判断即可．
15．【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】解：原式==
故答案为：D
【分析】先将分子分母分解因式，再根据分式的基本性质约分化成最简分式即可。
16．【答案】1.5
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式==
当a=2b≠0时，原式==1.5
【分析】先将原分式的分子分母分解因式，再约分化成最简分式，然后代入化简求值即可。
17．【答案】5
【知识点】最简分式
【解析】【解答】能组成的最简分式由：、、、、一共由5个。
故答案为：5
【分析】根据最简分式的定义写出所有的最简分式，即可得出答案。
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1）==
（2）==
【分析】（1）根据分式的基本性质分式的分子分母同时乘以6，即可得出答案。
（2）根据分式的基本性质分式的分子分母同时乘以10，即可得出答案。
19．【答案】（1）解: = = .
因为x+4y=- ,所以原式= =-4
（2）解: = = .
因为a=-2,b=2,所以原式=
【知识点】分式的约分；分式的化简求值
【解析】【分析】（1）先将原分式的分子分母分解因式，再约分化简后，再整体代入计算即可得出答案。
（2）先将原分式的分子分母分解因式，再约分化简后，再代入求值即可。
20．【答案】解:甲同学的解法正确.
乙同学的解法不正确.
理由:乙同学在进行分式的变形时,分子、分母同乘a-b,而a-b可能为0,所以乙同学的解法不正确
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的基本性质；分式的约分
【解析】【分析】根据题意可知题中隐含条件是a+b≠0，甲同学是将原分式的分子分解因式后约分，甲同学解答正确；而乙同学的解答是分子分母同乘以a-b，a-b可能等于0，乙同学的解法不正确。
21．【答案】（1）解:原式=
（2）解:原式=-
（3）解:①由 =0,得 解得x= .
②由 <0,得2-3x<0,解得x>
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）观察原分式的分子分母的最小公倍数为6，因此将原分式的分子分母同时乘以6，即可得出答案。
（2）观察原分式分子中的最高次项是-y2,因此改变分子、分式本身的符号，分式的值不变。
（3）①根据分式的值为0，则分母≠0，且分子=0 ，建立方程和不等式求解即可；②观察分子分母的特点，分母4x2+1是正数，因此要使分式的值小于0，分子分母异号，则分子小于0，建立不等式求解即可。
22．【答案】解：∵x+ =3，∴x2+ +2=9，即x2+ =7.∴ = = =
【知识点】有理数的倒数；代数式求值；完全平方式
【解析】【分析】方法一：将x+ =3两边同时平方，求出的值，题中隐含x≠0.因此再将的分子和分母同时除以x2，得到，再整体代入计算即可；
方法二：求的倒数，即，再代入值，然后取倒数即可得出原代数式的值。
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