高中数学人教新课标A版必修1第二章2.2.1对数与对数运算同步练习
一、选择题
1．方程 ＝ 的解是（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝8
2．下面四个等式中，一定成立的是（ ）
A．log2(16－8)＝log216－log28 B．log216log28＝log216＋log28
C． D．log216＝4log22
3．在n＝log(m－3)(6－m)中，实数m的取值范围是（ ）
A．m>6或m <3 B．3< m <6
C．3< m <4或4< m <6 D．4< m <5
4．已知lg3＝a，lg4＝b，则log312等于（ ）
A． B． C． D．
5． 的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．已知log169＝a，log25＝b，则lg 3等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知log23＝a，2b＝5，用a，b表示 为（ ）
A． B． C． D．
8．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 和燃料的质量 、火箭（除燃料外）的质量 的函数关系是 .当燃料质量是火箭质量的_______倍时，火箭的最大速度可达 .（ ）
A．440 B．441 C．442 D．452
9．当 时，下列说法正确的是（ ）
①若M=N，则logaM=logaN；
②若logaM=logaN，则M=N；
③若logaM2=logaN2，则M=N；
④若M=N，则logaM2=logaN2.
A．①与② B．②与④ C．② D．①②③④
10．若loga=c， (a＞0，且a≠1，b＞0)，则有（ ）
A．b=a7c B．b7=ac C．b=7ac D．b=c7a
11．在 中，实数a的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
12．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
13．设 ，则f[f(2)]的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．（2016高一上·重庆期中）设2a=5b=m，且 ，则m=（ ）
A． B．10 C．20 D．100
15．若logax=2，logbx=3，logcx=6，则log(abc)x=（ ）
A． B．0 C． D．1
16．已知方程x2＋xlog26＋log23=0的两个实数根为α、β，则 等于（ ）
A． B．36 C． 6 D．6
17．已知 ， ， ， ，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
18．化简： .
19．已知log3[log2(log5x)]＝0，那么 ＝ .
20．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 ，单位是 ，其中 表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为 时，这条鲑鱼的耗氧量是 个单位.
21．（2016高三上·邯郸期中）已知4a=2，lgx=a，则x= ．
22．若lgx lgy=a，则 .
23．方程 的解是 .
24．已知lg 9=a，10b=5，则用a，b表示log3645为 ．
三、解答题
25．求下列各式的值：(1)(2)
（1）log540＋ －log5 －log516；
（2）(lg 5)2＋lg 2·lg 50.
26． 设log23·log36·log6m＝log416，求m；
（1）设log23·log36·log6m＝log416，求m；
（2）已知log153＝a，用a表示 .
27．若a、b是方程2(lg x)2－lg x6＋3＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
28．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
29．计算：
（1） ；
（2）设lg2=a，lg3=b，求log512.
30．已知x，y，z为正数，3x=4y=6z，且2x=py.
（1）求p的值；
（2）求证： .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】∵ ＝ ＝ ，∴log2x＝－3，∴x＝ ＝ . 故答案为：A
【分析】利用指数值与对数式的互化关系式logaN=b ab=N计算出结果即可。
2．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】log216＝log224＝4log22. 故答案为：D
【分析】利用对数的运算性质计算出结果即可。
3．【答案】C
【知识点】对数函数的概念与表示
【解析】【解答】由题意得
∴3故答案为：C。
【分析】根据题意利用底数大于0且不等于1以及真数大于0得到关于m的不等式组，解出m的取值范围即可。
4．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】log312＝ ＝ .
故答案为：A
【分析】利用对数的运算公式计算出结果即可。
5．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】原式＝ ＝3×4＝12. 故答案为：C
【分析】利用对数的运算性质计算出结果即可。
6．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】∵log169＝a，∴ ＝a，∴log23＝ .
lg 3＝ ＝ ＝ . 故答案为：C
【分析】根据题意结合对数的运算性质整理化简即可得出结果。
7．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由2b＝5，得log25＝b.
∴
＝ log25＋ log26＝ b＋ log22＋ log23
＝ . 故答案为：B
【分析】根据题意利用对数的运算性质，以及指对互化的计算公式计算出结果即可。
8．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】若火箭的最大速度为 ，那么 ，
，即 ，得 . 故答案为：A.
【分析】根据题意结合已知条件可得出(1+)= ln 441，再利用指对互化的运算性质计算出结果即可。
9．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由对数的运算性质可知②正确. 故答案为：C
【分析】根据题意利用对数的运算性质逐一判断即可得出结论。
10．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】∵loga=c，
∴ac=
即（ac）7=b
∴a7c=b.
故答案为：A
【分析】根据题意利用指对互化的公式计算出结果即可。
11．【答案】B
【知识点】对数函数的概念与表示
【解析】【解答】要使式子 有意义，则 ，即 或 ， 故答案为：B.
【分析】根据题意利用对数函数的性质即可得到关于a的不等式组解出a的取值范围即可。
12．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】 ，
从而 ， 故答案为：D．
【分析】根据题意结合对数的运算性质计算出结果即可。
13．【答案】C
【知识点】对数的概念与表示
【解析】【解答】f(2)=log3(22 1)=log33=1，则f[f(2)]=2. 故答案为：C
【分析】根据题意代入合适的解析式利用对数的定义计算出结果即可。
14．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解： ，∴m2=10，又∵m＞0，∴ ．
故选A
【分析】直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．
15．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】∵ ，∴ .同理 .
∴ . 故答案为：D
【分析】根据题意借助对数的运算性质计算出结果即可。
16．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意知：α＋β= log26， ， 故答案为：B.
【分析】根据题意结合指数与对数的运算性质，计算出结果即可。
17．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ， .又 ，所以 ，则 . 故答案为：B
【分析】根据题意利用指对互化的运算公式以及指数的运算性质计算出结果即可。
18．【答案】－4
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】原式= .
【分析】根据题意利用对数的运算性质计算出结果即可。
19．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】由题意得log2(log5x)＝1，即log5x＝2，
转化为指数式则有x＝ ＝25，
∴ ＝ ＝ ＝ .
【分析】根据题意利用对数的运算性质以及指对互化的公式计算出结果即可。
20．【答案】2700
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】当 时， ，即 ， ， .
【分析】根据题意利用已知条件结合指对互化公式代入数值求出结果即可。
21．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由4a=2，得 ，
再由lgx=a= ，
得x= ．
故答案为： ．
【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．
22．【答案】3a
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】∵lgx lgy=a，∴ .
【分析】根据题意利用对数的运算性质计算出结果即可。
23．【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ，即 ，则 ，解得 .
【分析】根据题意利用对数的运算性质整理已知的方程进而得到关于x的不等式组解出即得到x的值。
24．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由已知得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
即 .
【分析】根据题意利用对数的运算性质整理已知的代数式代入数值求出结果即可。
25．【答案】（1）解：原式＝log5(5×8)－2 ＋log5(52×2)－log5(2×8)
＝1＋log58－1＋2＋log52－log52－log58＝2
（2）解：原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)
＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2
＝(lg 5＋lg 2)2＝1
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)利用对数的运算性质，计算出结果即可。(2)利用对数的运算性质计算出结果即可。
26．【答案】（1）解：利用换底公式，得 ＝2，
∴lg m＝2lg 2，于是m＝4
（2）解：由对数换底公式，得
＝ ＝2log35＝2(log315－log33)
＝2( －1)＝
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)根据题意利用对数的运算性质计算出结果即可。(2)根据题意利用对数的运算性质，计算出结果即可。
27．【答案】解：原方程可化为2(lg x)2－6lg x＋3＝0.设t＝lg x，则方程化为2t2－6t＋3＝0，设t1，t2为此方程的两个实根，则t1＋t2＝3，t1·t2＝ .又∵a、b是方程2(lg x)2－lg x6＋3＝0的两个实根，∴可令t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝3，lg a·lg b＝ .∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝ ，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】根据题意由整体思想令t＝lg x，把原方程转化成关于t的的一元二次方程再结合韦达定理求出两根之和与两根之积的值，同理可求出关于ab的代数式再利用对数的运算性质，化简整理代数式即可求出结果。
28．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
（3）解：原式
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)根据已知条件利用对数的运算性质，计算出结果即可。(2)根据题意利用对数的运算性质计算出结果即可。(3)根据题意利用对数的原式性质整理化简代数式计算出结果即可。
29．【答案】（1）解：原式=
（2）解： .
因为lg2=a，lg3=b，原式=
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)根据题意利用对数的运算性质,计算出结果即可。(2)根据题意利用对数的运算性质整理代数式代入数值求出结果即可.
30．【答案】（1）解：设3x=4y=6z=k(显然k＞0，且k≠1)，则x=log3k，y=log4k，z=log6k.
由2x=py，得 .
∵log3k≠0，
∴p=2log34
（2）证明： ，
又∵ ，
∴
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)根据题意利用指对互化的公式结合已知的代数式整理可得p的值。(2)根据题意整理已知的代数式即可求出结果。
1 / 1高中数学人教新课标A版必修1第二章2.2.1对数与对数运算同步练习
一、选择题
1．方程 ＝ 的解是（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝8
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】∵ ＝ ＝ ，∴log2x＝－3，∴x＝ ＝ . 故答案为：A
【分析】利用指数值与对数式的互化关系式logaN=b ab=N计算出结果即可。
2．下面四个等式中，一定成立的是（ ）
A．log2(16－8)＝log216－log28 B．log216log28＝log216＋log28
C． D．log216＝4log22
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】log216＝log224＝4log22. 故答案为：D
【分析】利用对数的运算性质计算出结果即可。
3．在n＝log(m－3)(6－m)中，实数m的取值范围是（ ）
A．m>6或m <3 B．3< m <6
C．3< m <4或4< m <6 D．4< m <5
【答案】C
【知识点】对数函数的概念与表示
【解析】【解答】由题意得
∴3故答案为：C。
【分析】根据题意利用底数大于0且不等于1以及真数大于0得到关于m的不等式组，解出m的取值范围即可。
4．已知lg3＝a，lg4＝b，则log312等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】log312＝ ＝ .
故答案为：A
【分析】利用对数的运算公式计算出结果即可。
5． 的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】原式＝ ＝3×4＝12. 故答案为：C
【分析】利用对数的运算性质计算出结果即可。
6．已知log169＝a，log25＝b，则lg 3等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】∵log169＝a，∴ ＝a，∴log23＝ .
lg 3＝ ＝ ＝ . 故答案为：C
【分析】根据题意结合对数的运算性质整理化简即可得出结果。
7．已知log23＝a，2b＝5，用a，b表示 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由2b＝5，得log25＝b.
∴
＝ log25＋ log26＝ b＋ log22＋ log23
＝ . 故答案为：B
【分析】根据题意利用对数的运算性质，以及指对互化的计算公式计算出结果即可。
8．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 和燃料的质量 、火箭（除燃料外）的质量 的函数关系是 .当燃料质量是火箭质量的_______倍时，火箭的最大速度可达 .（ ）
A．440 B．441 C．442 D．452
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】若火箭的最大速度为 ，那么 ，
，即 ，得 . 故答案为：A.
【分析】根据题意结合已知条件可得出(1+)= ln 441，再利用指对互化的运算性质计算出结果即可。
9．当 时，下列说法正确的是（ ）
①若M=N，则logaM=logaN；
②若logaM=logaN，则M=N；
③若logaM2=logaN2，则M=N；
④若M=N，则logaM2=logaN2.
A．①与② B．②与④ C．② D．①②③④
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由对数的运算性质可知②正确. 故答案为：C
【分析】根据题意利用对数的运算性质逐一判断即可得出结论。
10．若loga=c， (a＞0，且a≠1，b＞0)，则有（ ）
A．b=a7c B．b7=ac C．b=7ac D．b=c7a
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】∵loga=c，
∴ac=
即（ac）7=b
∴a7c=b.
故答案为：A
【分析】根据题意利用指对互化的公式计算出结果即可。
11．在 中，实数a的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的概念与表示
【解析】【解答】要使式子 有意义，则 ，即 或 ， 故答案为：B.
【分析】根据题意利用对数函数的性质即可得到关于a的不等式组解出a的取值范围即可。
12．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】 ，
从而 ， 故答案为：D．
【分析】根据题意结合对数的运算性质计算出结果即可。
13．设 ，则f[f(2)]的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】对数的概念与表示
【解析】【解答】f(2)=log3(22 1)=log33=1，则f[f(2)]=2. 故答案为：C
【分析】根据题意代入合适的解析式利用对数的定义计算出结果即可。
14．（2016高一上·重庆期中）设2a=5b=m，且 ，则m=（ ）
A． B．10 C．20 D．100
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解： ，∴m2=10，又∵m＞0，∴ ．
故选A
【分析】直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．
15．若logax=2，logbx=3，logcx=6，则log(abc)x=（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】∵ ，∴ .同理 .
∴ . 故答案为：D
【分析】根据题意借助对数的运算性质计算出结果即可。
16．已知方程x2＋xlog26＋log23=0的两个实数根为α、β，则 等于（ ）
A． B．36 C． 6 D．6
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意知：α＋β= log26， ， 故答案为：B.
【分析】根据题意结合指数与对数的运算性质，计算出结果即可。
17．已知 ， ， ， ，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ， .又 ，所以 ，则 . 故答案为：B
【分析】根据题意利用指对互化的运算公式以及指数的运算性质计算出结果即可。
二、填空题
18．化简： .
【答案】－4
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】原式= .
【分析】根据题意利用对数的运算性质计算出结果即可。
19．已知log3[log2(log5x)]＝0，那么 ＝ .
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】由题意得log2(log5x)＝1，即log5x＝2，
转化为指数式则有x＝ ＝25，
∴ ＝ ＝ ＝ .
【分析】根据题意利用对数的运算性质以及指对互化的公式计算出结果即可。
20．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 ，单位是 ，其中 表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为 时，这条鲑鱼的耗氧量是 个单位.
【答案】2700
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】当 时， ，即 ， ， .
【分析】根据题意利用已知条件结合指对互化公式代入数值求出结果即可。
21．（2016高三上·邯郸期中）已知4a=2，lgx=a，则x= ．
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由4a=2，得 ，
再由lgx=a= ，
得x= ．
故答案为： ．
【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．
22．若lgx lgy=a，则 .
【答案】3a
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】∵lgx lgy=a，∴ .
【分析】根据题意利用对数的运算性质计算出结果即可。
23．方程 的解是 .
【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ，即 ，则 ，解得 .
【分析】根据题意利用对数的运算性质整理已知的方程进而得到关于x的不等式组解出即得到x的值。
24．已知lg 9=a，10b=5，则用a，b表示log3645为 ．
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由已知得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
即 .
【分析】根据题意利用对数的运算性质整理已知的代数式代入数值求出结果即可。
三、解答题
25．求下列各式的值：(1)(2)
（1）log540＋ －log5 －log516；
（2）(lg 5)2＋lg 2·lg 50.
【答案】（1）解：原式＝log5(5×8)－2 ＋log5(52×2)－log5(2×8)
＝1＋log58－1＋2＋log52－log52－log58＝2
（2）解：原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)
＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2
＝(lg 5＋lg 2)2＝1
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)利用对数的运算性质，计算出结果即可。(2)利用对数的运算性质计算出结果即可。
26． 设log23·log36·log6m＝log416，求m；
（1）设log23·log36·log6m＝log416，求m；
（2）已知log153＝a，用a表示 .
【答案】（1）解：利用换底公式，得 ＝2，
∴lg m＝2lg 2，于是m＝4
（2）解：由对数换底公式，得
＝ ＝2log35＝2(log315－log33)
＝2( －1)＝
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)根据题意利用对数的运算性质计算出结果即可。(2)根据题意利用对数的运算性质，计算出结果即可。
27．若a、b是方程2(lg x)2－lg x6＋3＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
【答案】解：原方程可化为2(lg x)2－6lg x＋3＝0.设t＝lg x，则方程化为2t2－6t＋3＝0，设t1，t2为此方程的两个实根，则t1＋t2＝3，t1·t2＝ .又∵a、b是方程2(lg x)2－lg x6＋3＝0的两个实根，∴可令t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝3，lg a·lg b＝ .∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝ ，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】根据题意由整体思想令t＝lg x，把原方程转化成关于t的的一元二次方程再结合韦达定理求出两根之和与两根之积的值，同理可求出关于ab的代数式再利用对数的运算性质，化简整理代数式即可求出结果。
28．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
（3）解：原式
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)根据已知条件利用对数的运算性质，计算出结果即可。(2)根据题意利用对数的运算性质计算出结果即可。(3)根据题意利用对数的原式性质整理化简代数式计算出结果即可。
29．计算：
（1） ；
（2）设lg2=a，lg3=b，求log512.
【答案】（1）解：原式=
（2）解： .
因为lg2=a，lg3=b，原式=
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)根据题意利用对数的运算性质,计算出结果即可。(2)根据题意利用对数的运算性质整理代数式代入数值求出结果即可.
30．已知x，y，z为正数，3x=4y=6z，且2x=py.
（1）求p的值；
（2）求证： .
【答案】（1）解：设3x=4y=6z=k(显然k＞0，且k≠1)，则x=log3k，y=log4k，z=log6k.
由2x=py，得 .
∵log3k≠0，
∴p=2log34
（2）证明： ，
又∵ ，
∴
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】(1)根据题意利用指对互化的公式结合已知的代数式整理可得p的值。(2)根据题意整理已知的代数式即可求出结果。
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