2018-2019学年数学湘教版八年级上册第二章 三角形 单元过关检测
一、选择题
1．（2015九下·嘉峪关期中）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
2．下列命题不正确的是（ ）
A．等腰三角形的底角不能是钝角
B．等腰三角形不能是直角三角形
C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形
D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形
3．（2017八下·平顶山期末）如图，等腰△ABC的周长为19，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且BC=BD，可说明三角形全等的方法是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSA D．HL
5．（2017·淳安模拟）如图，AB∥CD，∠D=30°，∠E=35°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
6．如图，已知△ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE
7．（2016·南京模拟）如图，给出下列四个条件，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．（2016八上·杭州期中）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB、下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P为∠A、∠B两角平分线的交点
B．P为AC、AB两边上的高的交点
C．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
D．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
9．如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．40° C．45° D．25°
10．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
11．（2017八上·梁子湖期末）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，则BM，CN之间的关系是（ ）
A．BM+CN=MN B．BM﹣CN=MN C．CN﹣BM=MN D．BM﹣CN=2MN
12．（2017七下·东营期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是 ．
14．如图，已知AD⊥BC，若用HL判定△ABD≌△ACD，只需添加的一个条件是 ．
15．如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=42°，则∠AEB= ．
16．（2017八上·孝义期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 ．
17．（2016八上·卢龙期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为 ．
18．如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F，为圆心，大于 长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H。若∠D=116°，则∠DHB的大小为 °。
三、解答题
19．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．
20．如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系，并给出证明.
21．如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA．
22．已知：如图，在△ABC中，
（1）尺规作图：作△ABC的角平分线BD；
（2）在（1）的基础上，取BC的中点E，连接DE，若DE⊥BC，∠C=32°，求∠A的度数．
23．现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．
24．如图，小明家有一个玻璃容器，他想测量一下它的内径是多少？但是他无法将刻度尺伸进去直接测量，于是他把两根长度相等的小木条AB，CD的中点连在一起，木条可以绕中点O自由转动，这样只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃容器的内径，你知道其中的道理吗？请说明理由．
25．如图，是一个4×4的方格，
（1）求图中∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠16的和．
（2）求∠1﹣∠2+∠3﹣∠4+…+∠15﹣∠16．
26．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN．求△AMN的周长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：D．
【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：本题可采用排除法；
A、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说法错误，故不选A；
B、举反例：等腰直角三角形，故B不正确．
即答案选B．
【分析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，BC=5，AB+AC+BC=19，
∴AC=7，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴BE+CE+BC=12，
即△BEC的周长为12；
故选D.
【分析】本题主要考查等腰形的性质、线段垂直平分线的性质，能正确地识图是解题的关键.
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AB是△ABC、△ABD的公共斜边，BC、BD是对应的直角边，
∴利用（HL）可说明三角形全等．
故答案为：D
【分析】根据有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等即可求解。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠D=30°，∠E=35°，
∴∠1=∠D+∠E=30°+35°=65°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠1=65°．
故选：B．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠1，再根据两直线平行，同位角相等解答即可．
6．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又∵BE=BC，
∴∠BEC=∠C，
∴∠ABC=∠BEC，
又∵∠BEC=∠A+∠ABE，∠ABC=∠ABE+∠EBC，
∴∠A=∠EBC，
故答案为：C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解。
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：第①组AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，满足AAS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组AB=DE，∠B=∠E，BC=EF满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故选C．
【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵点P到∠A的两边的距离相等，
∴点P在∠A的角平分线上；
又∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴P为∠BAC的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点．
故选D．
【分析】根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答．
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在△DEF中，∠1=∠F=50°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°﹣∠DEF﹣∠1=40°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求解。
10．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15，
故选B
【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．
11．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵ON∥BC，
∴∠MOC=∠OCD
∵CO平分∠ACD，
∴∠ACO=∠DCO，
∴∠NOC=∠OCN，
∴CN=ON，
∵ON∥BC，
∴∠MOB=∠OBD
∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO=∠CBO，
∴∠MBO=∠MOB，
∴OM=BM
∵OM=ON+MN，OM=BM，ON=CN，
∴BM=CN+MN，
∴MN=BM﹣CN．
故选B．
【分析】只要证明BM=OM，ON=CN，即可解决问题．
12．【答案】A
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
∠PDF＝∠QDC，∠PFD＝∠QCD，PF＝CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE= AC，
∵AC=1，
∴DE= ．
故答案为：A.
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
13．【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【分析】根据三角形的稳定性即可求解。
14．【答案】AB=AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：还需添加条件AB=AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB=AC．
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB=AC．
15．【答案】132°
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
∴∠DBC=∠EAC，
∵∠EBD=∠DBC+∠EBC=42°，
∴∠EAC+∠EBC=42°，
∴∠ABE+∠EAB=90°﹣42°=48°，
∴∠AEB=180°﹣（∠ABE+∠EAB）=180°﹣48°=132°
【分析】由题意用边角边易证△BDC≌△AEC，结合三角形的内角和定理即可求解。
16．【答案】50°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为：50°．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
17．【答案】9
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故答案为：9．
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．
18．【答案】32
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠ABD=180°，
又∵∠D=116°，
∴∠ABD=64°，
由作法知，BH是∠ABD的平分线，
∴∠DHB= ∠ABD=32° .
故答案为：32.
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解。
19．【答案】解：证明：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
∵在△ADF和△CBE中 ，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AD=BC
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由题意用角角边易证△ADF≌△CBE求解。
20．【答案】证明：在△BAC和△ABD中， ，∴△BAC≌△ABD（SAS）．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．又∵点E是AB的中点，∴OE垂直且平分AB
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由题意用边角边易证△BAC≌△ABD，可得∠OBA=∠OAB，用等腰三角形的性质即可求解。
21．【答案】证明：∵MD⊥BC，且∠B=90°，
∴AB∥MD，
∴∠BAD=∠D
又∵AD为∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠MAD，
∴∠D=∠MAD，
∴MA=MD
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解。
22．【答案】（1）解：如图1，BD为所作；
（2）解：如图2，
∵DE⊥BC，BE=CE，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠C=32°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC=64°，
∴∠A=180°﹣64°﹣32°=84°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）由题意，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别于BA、BC有一个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点的距离的一半为半径画弧，过两弧的交点和点B作射线即可求解；
（2）由线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质即可求解。
23．【答案】解：
作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，
则P为这个中心医院的位置．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据线段的垂直评分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等，可作AB的垂直平分线，作∠BAC的角平分线，两线的交点即为所求。
24．【答案】解：如图所示：连接AC，BD，
在△ODB和△OCA中，
∴△ODB≌△OCA（SAS），
∴BD=AC．
故只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃容器的内径．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由题意连接AC，BD，通过证△ODB≌△OCA可求解。
25．【答案】（1）解：观察图形可知：∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，∠1与∠7的余角相等，也就是∠1与∠7互余，同理：∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，∠8与∠12互余，∠9与∠11互余，∠13与∠15互余，又∠4=∠10=∠14=∠16=45°，
∴∠1+∠7=90°、∠2+∠6=90°、∠3+∠5=90°、∠8+∠12=90°、∠9+∠11=90°、∠13+∠15=90°、∠4=∠10=∠14=∠16=45°，
∴∠1+∠2+∠3+…+∠9=90°×6+45°×4=720°
（2）解：∠1﹣∠2+∠3﹣∠4+…+∠15﹣∠16
=（∠1+∠3+…+∠15）﹣（∠2+∠4+…+∠16）
=（∠1+∠7）+（∠3+∠5）+（∠9+∠11）+（∠13+∠15）﹣（∠2+∠6）﹣（∠8+∠12）﹣∠4﹣∠10﹣∠14﹣∠16
=90°×4﹣90°×2﹣45°×4
=0
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）观察图形，找出互余的角，即可求解；
（2）由图和（1）中的规律可求解。
26．【答案】解：如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE， ∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∵在△DMN和△DEN中， ，∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周长为2
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】由题意可作辅助线，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，根据等边三角形和等腰三角形的性质易证得△CDE≌△BDM和△DMN≌△DEN，于是可得MN=NE=CE+CN=BM+CN，则可将三角形ANM的周长转化为AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC求解。
1 / 12018-2019学年数学湘教版八年级上册第二章 三角形 单元过关检测
一、选择题
1．（2015九下·嘉峪关期中）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：D．
【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
2．下列命题不正确的是（ ）
A．等腰三角形的底角不能是钝角
B．等腰三角形不能是直角三角形
C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形
D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：本题可采用排除法；
A、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说法错误，故不选A；
B、举反例：等腰直角三角形，故B不正确．
即答案选B．
【分析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．
3．（2017八下·平顶山期末）如图，等腰△ABC的周长为19，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，BC=5，AB+AC+BC=19，
∴AC=7，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴BE+CE+BC=12，
即△BEC的周长为12；
故选D.
【分析】本题主要考查等腰形的性质、线段垂直平分线的性质，能正确地识图是解题的关键.
4．如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且BC=BD，可说明三角形全等的方法是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSA D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AB是△ABC、△ABD的公共斜边，BC、BD是对应的直角边，
∴利用（HL）可说明三角形全等．
故答案为：D
【分析】根据有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等即可求解。
5．（2017·淳安模拟）如图，AB∥CD，∠D=30°，∠E=35°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠D=30°，∠E=35°，
∴∠1=∠D+∠E=30°+35°=65°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠1=65°．
故选：B．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠1，再根据两直线平行，同位角相等解答即可．
6．如图，已知△ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又∵BE=BC，
∴∠BEC=∠C，
∴∠ABC=∠BEC，
又∵∠BEC=∠A+∠ABE，∠ABC=∠ABE+∠EBC，
∴∠A=∠EBC，
故答案为：C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解。
7．（2016·南京模拟）如图，给出下列四个条件，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：第①组AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，满足AAS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组AB=DE，∠B=∠E，BC=EF满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故选C．
【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
8．（2016八上·杭州期中）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB、下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P为∠A、∠B两角平分线的交点
B．P为AC、AB两边上的高的交点
C．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
D．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵点P到∠A的两边的距离相等，
∴点P在∠A的角平分线上；
又∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴P为∠BAC的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点．
故选D．
【分析】根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答．
9．如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．40° C．45° D．25°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：在△DEF中，∠1=∠F=50°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°﹣∠DEF﹣∠1=40°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求解。
10．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15，
故选B
【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．
11．（2017八上·梁子湖期末）如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC，则BM，CN之间的关系是（ ）
A．BM+CN=MN B．BM﹣CN=MN C．CN﹣BM=MN D．BM﹣CN=2MN
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵ON∥BC，
∴∠MOC=∠OCD
∵CO平分∠ACD，
∴∠ACO=∠DCO，
∴∠NOC=∠OCN，
∴CN=ON，
∵ON∥BC，
∴∠MOB=∠OBD
∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO=∠CBO，
∴∠MBO=∠MOB，
∴OM=BM
∵OM=ON+MN，OM=BM，ON=CN，
∴BM=CN+MN，
∴MN=BM﹣CN．
故选B．
【分析】只要证明BM=OM，ON=CN，即可解决问题．
12．（2017七下·东营期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
∠PDF＝∠QDC，∠PFD＝∠QCD，PF＝CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE= AC，
∵AC=1，
∴DE= ．
故答案为：A.
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
二、填空题
13．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是 ．
【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【分析】根据三角形的稳定性即可求解。
14．如图，已知AD⊥BC，若用HL判定△ABD≌△ACD，只需添加的一个条件是 ．
【答案】AB=AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：还需添加条件AB=AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB=AC．
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB=AC．
15．如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=42°，则∠AEB= ．
【答案】132°
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
∴∠DBC=∠EAC，
∵∠EBD=∠DBC+∠EBC=42°，
∴∠EAC+∠EBC=42°，
∴∠ABE+∠EAB=90°﹣42°=48°，
∴∠AEB=180°﹣（∠ABE+∠EAB）=180°﹣48°=132°
【分析】由题意用边角边易证△BDC≌△AEC，结合三角形的内角和定理即可求解。
16．（2017八上·孝义期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 ．
【答案】50°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为：50°．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
17．（2016八上·卢龙期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为 ．
【答案】9
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故答案为：9．
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．
18．如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F，为圆心，大于 长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H。若∠D=116°，则∠DHB的大小为 °。
【答案】32
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠ABD=180°，
又∵∠D=116°，
∴∠ABD=64°，
由作法知，BH是∠ABD的平分线，
∴∠DHB= ∠ABD=32° .
故答案为：32.
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解。
三、解答题
19．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．
【答案】解：证明：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
∵在△ADF和△CBE中 ，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AD=BC
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由题意用角角边易证△ADF≌△CBE求解。
20．如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系，并给出证明.
【答案】证明：在△BAC和△ABD中， ，∴△BAC≌△ABD（SAS）．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．又∵点E是AB的中点，∴OE垂直且平分AB
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由题意用边角边易证△BAC≌△ABD，可得∠OBA=∠OAB，用等腰三角形的性质即可求解。
21．如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA．
【答案】证明：∵MD⊥BC，且∠B=90°，
∴AB∥MD，
∴∠BAD=∠D
又∵AD为∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠MAD，
∴∠D=∠MAD，
∴MA=MD
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解。
22．已知：如图，在△ABC中，
（1）尺规作图：作△ABC的角平分线BD；
（2）在（1）的基础上，取BC的中点E，连接DE，若DE⊥BC，∠C=32°，求∠A的度数．
【答案】（1）解：如图1，BD为所作；
（2）解：如图2，
∵DE⊥BC，BE=CE，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠C=32°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC=64°，
∴∠A=180°﹣64°﹣32°=84°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）由题意，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别于BA、BC有一个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点的距离的一半为半径画弧，过两弧的交点和点B作射线即可求解；
（2）由线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质即可求解。
23．现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．
【答案】解：
作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，
则P为这个中心医院的位置．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据线段的垂直评分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等，可作AB的垂直平分线，作∠BAC的角平分线，两线的交点即为所求。
24．如图，小明家有一个玻璃容器，他想测量一下它的内径是多少？但是他无法将刻度尺伸进去直接测量，于是他把两根长度相等的小木条AB，CD的中点连在一起，木条可以绕中点O自由转动，这样只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃容器的内径，你知道其中的道理吗？请说明理由．
【答案】解：如图所示：连接AC，BD，
在△ODB和△OCA中，
∴△ODB≌△OCA（SAS），
∴BD=AC．
故只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃容器的内径．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由题意连接AC，BD，通过证△ODB≌△OCA可求解。
25．如图，是一个4×4的方格，
（1）求图中∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠16的和．
（2）求∠1﹣∠2+∠3﹣∠4+…+∠15﹣∠16．
【答案】（1）解：观察图形可知：∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，∠1与∠7的余角相等，也就是∠1与∠7互余，同理：∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，∠8与∠12互余，∠9与∠11互余，∠13与∠15互余，又∠4=∠10=∠14=∠16=45°，
∴∠1+∠7=90°、∠2+∠6=90°、∠3+∠5=90°、∠8+∠12=90°、∠9+∠11=90°、∠13+∠15=90°、∠4=∠10=∠14=∠16=45°，
∴∠1+∠2+∠3+…+∠9=90°×6+45°×4=720°
（2）解：∠1﹣∠2+∠3﹣∠4+…+∠15﹣∠16
=（∠1+∠3+…+∠15）﹣（∠2+∠4+…+∠16）
=（∠1+∠7）+（∠3+∠5）+（∠9+∠11）+（∠13+∠15）﹣（∠2+∠6）﹣（∠8+∠12）﹣∠4﹣∠10﹣∠14﹣∠16
=90°×4﹣90°×2﹣45°×4
=0
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）观察图形，找出互余的角，即可求解；
（2）由图和（1）中的规律可求解。
26．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC于M，N，连接MN．求△AMN的周长．
【答案】解：如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE， ∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∵在△DMN和△DEN中， ，∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周长为2
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】由题意可作辅助线，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，根据等边三角形和等腰三角形的性质易证得△CDE≌△BDM和△DMN≌△DEN，于是可得MN=NE=CE+CN=BM+CN，则可将三角形ANM的周长转化为AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC求解。
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