数学人教A版（2019）必修第一册1.1.2集合的基本关系 （共40张ppt)

(共40张PPT)
1.1.2集合的基本关系精编课件
课程标准
(1)在具体情境中，了解空集的含义．
(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(3)能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用．
自主学习
教 材 要 点
知识点一　子集
文字语言 符号语言 图形语言
对于两个集合A，B，如果集合A中________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有______关系，称集合A为集合B的子集 对任意元素x∈A，必有x∈B，则____________，读作__________或________
任意一个
包含
A B(或B A)
“A包含于B”
“B包含A”
　“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.
知识点二　真子集
　　　一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A B(或B A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)．
　在真子集的定义中，A B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
知识点三　集合相等
一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．
由集合相等的定义可知：如果A B且B A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A B且B A.
知识点四　子集、真子集的性质
根据子集、真子集的定义可知：
(1)对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C；
(2)对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C.
　基 础 自 测
1．集合{0，1}的子集有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：D
解析：集合{0，1}的子集为 ，{0}，{1}，{0，1}．
2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是(　　)
A．M＝{π}，N＝{3.141 59}
B．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
C．M＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，N＝{1}
D．M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}
答案：D
解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0，1}，只有D是正确的．
3．(多选)已知集合A＝{x|－1－x＜0}，则下列各式不正确的是(　　)
A．0 A　B．{0}∈A C． ∈A　D．{0} A
答案：ABC
解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0} A，ABC不正确．
4．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B A，则实数m＝_____．
1
解析：∵B A，∴2m－1＝m2，∴m＝1.
题型1　集合间关系的判断[经典例题]
例1　(1)下列各式中，正确的个数是(　　)
①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2} {2，1，0}；③ {0，1，2}；④ ＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}．
A.1　　 B．2
C．3 D．4
【答案】　B
【解析】　(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0} {0，1，2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 {0}；对于⑤，{0，1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0，1)}是以有序数组(0，1)为元素的单元素集合，所以{0，1}与{(0，1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
【解析】①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.
③方法一　两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.
方法二　由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，所以N
M.
(3)下列图形中，表示M N的是(　　)
【答案】　C
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；
若既有A B，又有B A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
(3)利用维恩图
跟踪训练1　(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则M与T的关系是(　　)
A．M T B．M T
C．M＝T D. M T
答案：A
解析：因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，又T＝{－1，0，1}，所以M T.
(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．
学习完知识点后，我们可以得到B A，C A，D A，D B，D C.
解析：根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图
题型2　子集、真子集及个数问题[教材P11例1]
例2　写出集合A＝{6，7，8}的所有子集和真子集．
　写出集合的子集时易忘 ，真子集是在子集的基础上去掉自身．
【解析】　如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0，1，2，3.可依下列步骤来完成此题：
(1)写出元素个数为0的子集，即 ；
(2)写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8}；
(3)写出元素个数为2的子集，即{6，7}，{6，8}，{7，8}；
(4)写出元素个数为3的子集，即{6，7，8}．
集合A的所有子集是 ，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，{6，7，8}．
在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集．
方法归纳
(1)求集合子集、真子集个数的三个步骤

(2)若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
跟踪训练2　(1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，则满足条件A C B的集合C的个数为(　　)
A.1　　 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2，3}，{1，2，4}．
(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为(　　)
A．－2 B．4
C．0 D．以上答案都不是
答案：C
解析：由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；
若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.
(1)先用列举法表示集合A，B，然后根据A C B确定集合C.
(2)先确定关于x的方程x2＝a解的个数，然后求a的值．
题型3　根据集合间的关系求参数[经典例题]
例3　(1)有三个元素的集合A，B，已知A＝{2，x，y}，B＝{2x，2，2y}，且A＝B，求x，y的值；
【解析】　∵A＝{2，x，y}，B＝{2x，2，2y}，且A＝B，
∴　①，或　②.
由①得：x＝y＝0，此时A＝{2，0，0}，违背集合中元素的互异性；
由②得：x＝y＝0，此时A＝{2，0，0}，违背集合中元素的互异性．
∴满足A＝B的x，y的值不存在．
(2)设集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|k＋1＜x＜2k－1}，且A B，则实数k的取值范围是
【答案】　(－∞，2]
【解析】因为集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|k＋1＜x＜2k－1}，且A B，
当B≠ 时，k＋1＜2k－1且，无解；
当B＝ 时，k＋1≥2k－1，∴k≤2，
综上，实数k的取值范围是(－∞，2].
(3)(多选)已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{0，1，2}，若A B，则实数a可以为(　　)
A． B．1
C．0 D．以上选项都不对
ABC
【解析】∵集合A＝{x|ax＝1}，B＝{0，1，2}，A B，
∴A＝ 或A＝{1}或A＝{2}，
∴不存在，＝1，＝2，
解得a＝0，或a＝1，或a＝.
(4)已知集合A＝{x∈R|x2＋ax＋1＝0}和B＝{1，2}，且A B，则实数a的取值范围是________．
[－2，2)
【解析】因为A B，所以A＝ 或A＝{1}，A＝{2}或A＝{1，2}．
若A＝ ，则Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2.
若A＝{1}应有Δ＝a2－4＝0且1＋a＋1＝0，解得a＝－2.
若A＝{2}时，应有Δ＝a2－4＝0且4＋2a＋1＝0，此时无解．
若A＝{1，2}，则1，2是方程x2＋ax＋1＝0的两个根，所以由根与系数的关系得1×2＝1，显然不成立．
综上满足条件的实数a的取值范围是－2≤a＜2.
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．
训练3　(1)设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
①若a＝，试判定集合A与B的关系；
②若B A，求实数a的取值集合．
解析：①由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3，5}，当a＝时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.
②当B＝ 时，满足B A，此时a＝0；当B≠ ，a≠0时，集合B＝，由B A得＝3或＝5，所以a＝或a＝.
综上所述，实数a的取值集合为.
(2)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}．若B A，则实数a的取值范围为(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
答案：A
【解析】∵集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，B A，
∴a≥2.
(1)解方程x2－8x＋15＝0，求出A，当a＝时，求出B，由此能判定集合A与B的关系．
(2)分以下两种情况讨论，求实数a的取值集合．
①B＝ ，此时a＝0；②B ≠ ，此时a≠0.
易错点　忽略空集的特殊性致误　
例　设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N M，求所有满足条件的a的取值集合．
【错解】　由N M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，得N＝{－1}或{3}．
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为.
【正解】　由N M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，
得N＝ 或N＝{－1}或N＝{3}．
当N＝ 时，ax－1＝0无解，即a＝0.
当N＝{－1}时，由＝－1，得a＝－1.
当N＝{3}时，由＝3，得a＝.
故满足条件的a的取值集合为.
【易错警示】
错误原因 纠错心得
错解忽略了N＝ 这种情况． 空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则．
精选选择题：
精选选择题参考答案：
1．解析：由题意，①中，元素顺序不同表示同一个集合，所以①不正确；②中，因为{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，所以②是正确的；③中，根据集合的表示方法，得方程(x＋1)(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{－1，2}，所以③不正确；④中，集合是无限集，所以④不正确．
答案：C
2．解析：A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B中集合当k取负数时，多出了若干元素；C中集合当t＝0时多了－3这个元素，只有D正确．
答案：D
3．解析：集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A，6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B.
答案：B
4．解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{　}”与“全体”意思重复．
答案：ABC
应用题练1：已知{1，2} A?{1，2，3，4}，写出所有满足条件的集合A.
解析：∵{1，2} A，∴1∈A，2∈A.
又∵A?{1，2，3，4}，
∴集合A中还可以有3，4中的一个，
即集合A可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}．
应用题2：若集合P＝{x|x2＋2x＋1＝0}，T＝{x|mx＋1＝0}，且T P，求实数m的所有可能取值组成的集合．
解析：∵P＝{x|x2＋2x＋1＝0}，
∴P＝{－1}，
T＝{x|mx＋1＝0}，
又∵T P，
∴当m＝0时，T＝ ，符合题意；
当m≠0时，T＝{x|x＝－}时，有－＝－1
∴m＝1，
综上可得，实数m的所有可能取值组成的集合为{0，1}．
应用题3：已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1解析：∵B A，
①当B＝ 时，m＋1≤2m－1，
解得m≥2.
②当B≠ 时，
有
解得－1≤m<2.
综上得m≥－1.
即实数m的取值范围为[－1，＋∞).