2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：2.4.2 二次函数的应用
一、选择题
1．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月
C．1月 D．1月、2月和12月
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意知，
利润y和月份n之间函数关系式为y=﹣n2+14n﹣24，
∴y=﹣（n﹣2）（n﹣12），
当n=1时，y＜0，
当n=2时，y=0，
当n=12时，y=0，
故停产的月份是1月、2月、12月．
故答案为：D．
【分析】先将函数解析式转化为y=﹣（n﹣2）（n﹣12），求出利润y＞0时的x（x为正整数）的值即可。
2．（2017·岱岳模拟）山东全省2016年国庆假期旅游人数增长12.5%，其中尤其是乡村旅游最为火爆．泰山脚下的某旅游村，为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）
A．140元 B．150元 C．160元 D．180元
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．
则有y=（100+20x）（100﹣10x）
=﹣200x2+1000x+10000．
当x=﹣ = =2.5时，可使y有最大值．
又x为整数，则x=2时，y=11200；
x=3时，y=11200；
则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=100+3×20=160元，
故选：C．
【分析】设每张床位提高x个单位，每天收入为y元，根据等量关系“每天收入=每张床的费用×每天出租的床位”可求出y与x之间的函数关系式，运用公式求最值即可．
3．某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价（为偶数）提高（ ）
A．8元或10元 B．12元 C．8元 D．10元
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）依题意，得y=（x﹣8） （100﹣10× ）=﹣x2+190x﹣1200
=﹣5（x﹣19）2+605，﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
即当x=19时，y的最大值为605，
∵售价为偶数，
∴x为18或20，
当x=18时，y=600，
当x=20时，y=600，
∴x为18或20时y的值相同，
∴商品提高了18﹣10=8（元）或20﹣10=10（元）
故答案为：A．
【分析】根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y与售单价x之间的函数解析式，再根据函数解析式，利用二次函数的性质求最大利润。
4．（2017九上·怀柔期末）在1～7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是（ ）
A．1月份 B．2月份 C．5月份 D．7月份
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设x月份出售时，每千克售价为y1元，每千克成本为y2元．
根据图甲设y1=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y1=﹣ x+7．
根据图乙设y2=a（x﹣6）2+1，
∴4=a（3﹣6）2+1，
∴a= ，
∴y2= （x﹣6）2+1．
∵y=y1﹣y2，
∴y=﹣ x+7﹣[ （x﹣6）2+1]，
∴y=﹣ x2+ x﹣6．
∵y=﹣ x2+ x﹣6，
∴y=﹣ （x﹣5）2+ ．
∴当x=5时，y有最大值，即当5月份出售时，每千克收益最大．
故选C．
【分析】先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益=每千克售价﹣每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份．
5．北国超市的小王对该超市苹果的销售进行了统计，某进价为2元/千克的品种的苹果每天的销售量y（千克）和当天的售价x（元/千克）之间满足y=﹣20x+200（3≤x≤5），若要使该品种苹果当天的利润达到最高，则其售价应为[利润=销售量 （售价﹣进价）]（ ）
A．5元 B．4元 C．3.5元 D．3元
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售这种苹果所获得的利润为w，
则w=（x﹣2）（﹣20x+200）
=﹣20x2+240x﹣400
=﹣20（x﹣6）2+320，
∴当x＜6时，w随x的增大而增大，
∵3≤x≤5，
∴当x=5时，w取得最大值，即该品种苹果当天的利润达到最高，
故答案为：A．
【分析】根据利润=销售量 （售价﹣进价），列函数解析式，通过配方化成顶点式，再根据二次函数的性质及3≤x≤5，得出答案即可。
6．如图，2012年伦敦奥运会，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线 （图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为（ ）米．
A．10 B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵ =﹣ （x2﹣ x）=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴抛物线的顶点坐标是（ ， ），
∴运动员在空中运动的最大高度离水面为：10+ =10 （米），
故答案为：D．
【分析】将抛物线通过配方化成顶点式，再求出运动员在空中运动离水面的最大高度=10+顶点的纵坐标，计算即可。
7．某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出，…，为了投资少而获利大，每个每天应提高（ ）
A．4元或6元 B．4元 C．6元 D．8元
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，由此可得，
S=（10+x）（100﹣ ×10），
整理得S=﹣5x2+50x+1000，
=﹣5（x﹣5）2+1125，
因为每天提高2元，则减少10个，所以当提高4元或6元的时候，获利最大，
又因为为了投资少而获利大，因此应提高6元；
故答案为：C．
【分析】根据题意列出y与x的函数解析式，再利用配方法可求得当x取何值时，y最大，由于投资少而获利大且此题中x取整数，根据二次函数的性质即可求得答案。
8．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为560元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为500元时，日销量为（ ）件．
降价（元） 5 10 15 20 25 30 35
日销量（件） 780 810 840 870 900 930 960
A．1200 B．750 C．1110 D．1140
【答案】C
【知识点】函数解析式；函数的表示方法
【解析】【解答】解：由表中数据得，每降5元，销售量增加30件，
即每降1元，销售量增加6件，
降560﹣500=60元时，销售量为780+（60﹣5）×6=1110（件）．
故答案为：C．
【分析】根据表中的数据分析得，每降5元，销售量增加30件，就可求出降60元时的销售量。
9．市场调查表明：某种一周内水果的销售率y（销售率= ）与价格倍数x（价格倍数= ）的关系满足函数关系y=﹣ x+ （1≤x≤5.5）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（ ）
A．120% B．80% C．60% D．40%
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设这种水果的进货价格为a，则售出价格为ax，进货数量为b，则售出数量为by，利润率为p，
则p=
=y（x﹣1）
=（﹣ x+ ）（x﹣1）
=﹣ x2+ x﹣
=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∵商品售价不得超过进货价格的2倍，
∴x≤2，
∵当x＜ 时，利润率p随x的增大而减小，
∴当x=2时，p取得最大值，最大值为0.8=80%，
故答案为：B．
【分析】根据题意列出p与x的函数关系式，利用二次函数的性质求得销售该种水果可获取的最大利润率。
10．一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（ ）
A．3.6 元 B．5 元 C．10 元 D．12 元
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件降价x元，每天获得的利润记为W，
根据题意，W=（135﹣x﹣100）（100+4x）
=﹣4x2+40x+3500
=﹣4（x﹣5）2+3600，
∵﹣4＜0，
∴当x=5时，W取得最大值，最大值为3600，
即每件降价5元时，每天获得的利润最大，最大利润为3600元．
故答案为：B．
【分析】根据降价后 ：利润w=月销售量每件的利润，建立函数解析式，再求出顶点坐标，根据二次函数的性质即可得出答案。
二、填空题
11．某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是 元/件，才能在半月内获得最大利润．
【答案】35
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得：
y=（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]
=（x﹣20）（1000﹣20x）
=﹣20x2+1400x﹣20000
=﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴x=35时，y有最大值，
故答案为35．
【分析】根据提价后 ：利润y=月销售量每件的利润，建立函数解析式，再求出顶点坐标，即可得出答案。
12．某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，若销售价每涨1元，则月销售量减少10千克．要使月销售利润达到最大，销售单价应定为 元．
【答案】70
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售单价定为每千克x元，获得利润为w元，则：
w=（x﹣40）[500﹣（x﹣50）×10]，
=（x﹣40）（1000﹣10x），
=﹣10x2+1400x﹣40000，
=﹣10（x﹣70）2+9000，
故当x=70时，利润最大为9000元．
答：要使月销售利润达到最大，销售单价应定为70元．
故答案为70．
【分析】根据涨价后 ：利润w=月销售量每件的利润，建立函数解析式，再求出顶点坐标，即可得出答案。
13．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为 ．
【答案】0＜a＜6
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设未来30天每天获得的利润为y，
y=（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a
化简，得
y=﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴ ＞29.5
解得，a＜6，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a＜6．
【分析】根据题意列出未来30天每天获得的利润为y与a的函数解析式，根据每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，建立不等式求解即可得出a的取值范围。
14．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ．
【答案】1.6
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：方法一：设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y=a（t﹣1.1）2+h，
由题意a（t﹣1.1）2+h=a（t﹣1﹣1.1）2+h，
解得t=1.6．
故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．
方法二：结合函数图象可知，两个抛物线的对称轴分别为x=1.1，x=2.1，
t在两条对称轴的中间，故t= （1.1+2.1）=1.6
故答案为1.6．
【分析】设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y=a（t﹣1.1）2+h，根据题意建立方程，求解即可。
15．某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：
⑴月销量y（件）与售价x（元）的关系满足：y=﹣2x+400；
⑵工商部门限制销售价x满足：70≤x≤150（计算月利润时不考虑其他成本）．给出下列结论：
①这种文化衫的月销量最小为100件；
②这种文化衫的月销量最大为260件；
③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；
④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．
其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）
【答案】①②③
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意知，当70≤x≤150时，y=﹣2x+400，
∵﹣2＜0，y随x的增大而减小，
∴当x=150时，y取得最小值，最小值为100，故①正确；
当x=70时，y取得最大值，最大值为260，故②正确；
设销售这种文化衫的月利润为W，
则W=（x﹣60）（﹣2x+400）=﹣2（x﹣130）2+9800，
∵70≤x≤150，
∴当x=70时，W取得最小值，最小值为﹣2（70﹣130）2+9800=2600元，故③正确；
当x=130时，W取得最大值，最大值为9800元，故④错误；
故答案为：①②③．
【分析】当70≤x≤150时，根据一次函数的性质可得y的最大值与最小值即可判断①、②；根据：月利润=（售价-成本）×月销量，列出函数关系式并配方，结合x的取值范围可得其最值情况，从而判断③、④，即可得出答案。
16．某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为 元．
【答案】40
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售单价应定为x元，根据题意可得：
利润=（x﹣20）[400﹣10（x﹣30）]
=（x﹣20）（700﹣10x）
=﹣10x2+900x﹣14000
=﹣10（x﹣45）2+6250，
∵超市要完成不少于300件的销售任务，
∴400﹣10（x﹣30）≥300，
解得：x≤40，
即x=40时，销量为300件，此时利润最大为：﹣10（40﹣45）2+6250=6000（元），
故销售单价应定为40元．
故答案为：40．
【分析】根据题意分别表示出每件玩具的利润以及销量，进而结合超市要完成不少于300件的销售任务，进而求出x的值．
三、解答题
17．“友谊商场”某种商品平均每天可销售100件，每件盈利20元．“五一”期间，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件该商品每降价1元，商场平均每天可多售出10件．设每件商品降价x元，请回答：
（1）降价后每件商品盈利 元，商场日销售量 件（用含x的代数式表示）；
（2）求每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到最大？最大日盈利是多少元？
【答案】（1）（20﹣x）；（100+10x）
（2）解：设每件商品降价x元时，商场日盈利为y元，根据题意得：y=（ 20﹣x ）（ 100+10x ）=﹣10x2+100x+2000=﹣10（ x﹣5 ）2+2250 （0≤x≤20），
∴当x=5时，y最大=2250，
答：每件商品降价5元时，商场日盈利可达到最大，最大日盈利是2250元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵未降价前每件盈利20元，
∴降价x元后每件商品盈利（20﹣x）元，
∵每件该商品每降价1元，商场平均每天可多售出10件，
∴降价x元后，商场日销售量为（100+10x）件，
故答案为：（20﹣x）；（100+10x）；
【分析】（1）根据已知条件即可表示出每件商品的盈利及日销售量。
（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利为y元，根据y=降价后每件的利润商场日销售量，列出函数解析式，利用二次函数的性质可求得其最大值。
18．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）解：w=（x﹣30） y=（﹣x+60）（x﹣30）=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800
（2）解：根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
当x=45时，w有最大值，最大值是225
（3）解：当w=200时，﹣x2+90x﹣1800=200，解得x1=40，x2=50，
∵50＞48，x2=50不符合题意，舍，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据每天的销售利润=每天的销售量每件的利润，即可列出w与x之间的函数解析式。
（2）利用配方法求出抛物线的顶点坐标，即可得出答案。
（3）将当w=200代入函数解析式，建立关于x的一元二次方程，求解，再根据双肩包的销售单价不高于48元，得出答案。
1 / 12017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：2.4.2 二次函数的应用
一、选择题
1．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月
C．1月 D．1月、2月和12月
2．（2017·岱岳模拟）山东全省2016年国庆假期旅游人数增长12.5%，其中尤其是乡村旅游最为火爆．泰山脚下的某旅游村，为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）
A．140元 B．150元 C．160元 D．180元
3．某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价（为偶数）提高（ ）
A．8元或10元 B．12元 C．8元 D．10元
4．（2017九上·怀柔期末）在1～7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是（ ）
A．1月份 B．2月份 C．5月份 D．7月份
5．北国超市的小王对该超市苹果的销售进行了统计，某进价为2元/千克的品种的苹果每天的销售量y（千克）和当天的售价x（元/千克）之间满足y=﹣20x+200（3≤x≤5），若要使该品种苹果当天的利润达到最高，则其售价应为[利润=销售量 （售价﹣进价）]（ ）
A．5元 B．4元 C．3.5元 D．3元
6．如图，2012年伦敦奥运会，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线 （图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为（ ）米．
A．10 B． C． D．
7．某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出，…，为了投资少而获利大，每个每天应提高（ ）
A．4元或6元 B．4元 C．6元 D．8元
8．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为560元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为500元时，日销量为（ ）件．
降价（元） 5 10 15 20 25 30 35
日销量（件） 780 810 840 870 900 930 960
A．1200 B．750 C．1110 D．1140
9．市场调查表明：某种一周内水果的销售率y（销售率= ）与价格倍数x（价格倍数= ）的关系满足函数关系y=﹣ x+ （1≤x≤5.5）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（ ）
A．120% B．80% C．60% D．40%
10．一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（ ）
A．3.6 元 B．5 元 C．10 元 D．12 元
二、填空题
11．某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是 元/件，才能在半月内获得最大利润．
12．某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，若销售价每涨1元，则月销售量减少10千克．要使月销售利润达到最大，销售单价应定为 元．
13．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为 ．
14．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ．
15．某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：
⑴月销量y（件）与售价x（元）的关系满足：y=﹣2x+400；
⑵工商部门限制销售价x满足：70≤x≤150（计算月利润时不考虑其他成本）．给出下列结论：
①这种文化衫的月销量最小为100件；
②这种文化衫的月销量最大为260件；
③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；
④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．
其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）
16．某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为 元．
三、解答题
17．“友谊商场”某种商品平均每天可销售100件，每件盈利20元．“五一”期间，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件该商品每降价1元，商场平均每天可多售出10件．设每件商品降价x元，请回答：
（1）降价后每件商品盈利 元，商场日销售量 件（用含x的代数式表示）；
（2）求每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到最大？最大日盈利是多少元？
18．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意知，
利润y和月份n之间函数关系式为y=﹣n2+14n﹣24，
∴y=﹣（n﹣2）（n﹣12），
当n=1时，y＜0，
当n=2时，y=0，
当n=12时，y=0，
故停产的月份是1月、2月、12月．
故答案为：D．
【分析】先将函数解析式转化为y=﹣（n﹣2）（n﹣12），求出利润y＞0时的x（x为正整数）的值即可。
2．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每张床位提高x个20元，每天收入为y元．
则有y=（100+20x）（100﹣10x）
=﹣200x2+1000x+10000．
当x=﹣ = =2.5时，可使y有最大值．
又x为整数，则x=2时，y=11200；
x=3时，y=11200；
则为使租出的床位少且租金高，每张床收费=100+3×20=160元，
故选：C．
【分析】设每张床位提高x个单位，每天收入为y元，根据等量关系“每天收入=每张床的费用×每天出租的床位”可求出y与x之间的函数关系式，运用公式求最值即可．
3．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）依题意，得y=（x﹣8） （100﹣10× ）=﹣x2+190x﹣1200
=﹣5（x﹣19）2+605，﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
即当x=19时，y的最大值为605，
∵售价为偶数，
∴x为18或20，
当x=18时，y=600，
当x=20时，y=600，
∴x为18或20时y的值相同，
∴商品提高了18﹣10=8（元）或20﹣10=10（元）
故答案为：A．
【分析】根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y与售单价x之间的函数解析式，再根据函数解析式，利用二次函数的性质求最大利润。
4．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设x月份出售时，每千克售价为y1元，每千克成本为y2元．
根据图甲设y1=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y1=﹣ x+7．
根据图乙设y2=a（x﹣6）2+1，
∴4=a（3﹣6）2+1，
∴a= ，
∴y2= （x﹣6）2+1．
∵y=y1﹣y2，
∴y=﹣ x+7﹣[ （x﹣6）2+1]，
∴y=﹣ x2+ x﹣6．
∵y=﹣ x2+ x﹣6，
∴y=﹣ （x﹣5）2+ ．
∴当x=5时，y有最大值，即当5月份出售时，每千克收益最大．
故选C．
【分析】先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益=每千克售价﹣每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份．
5．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售这种苹果所获得的利润为w，
则w=（x﹣2）（﹣20x+200）
=﹣20x2+240x﹣400
=﹣20（x﹣6）2+320，
∴当x＜6时，w随x的增大而增大，
∵3≤x≤5，
∴当x=5时，w取得最大值，即该品种苹果当天的利润达到最高，
故答案为：A．
【分析】根据利润=销售量 （售价﹣进价），列函数解析式，通过配方化成顶点式，再根据二次函数的性质及3≤x≤5，得出答案即可。
6．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵ =﹣ （x2﹣ x）=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴抛物线的顶点坐标是（ ， ），
∴运动员在空中运动的最大高度离水面为：10+ =10 （米），
故答案为：D．
【分析】将抛物线通过配方化成顶点式，再求出运动员在空中运动离水面的最大高度=10+顶点的纵坐标，计算即可。
7．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得利润为S，由此可得，
S=（10+x）（100﹣ ×10），
整理得S=﹣5x2+50x+1000，
=﹣5（x﹣5）2+1125，
因为每天提高2元，则减少10个，所以当提高4元或6元的时候，获利最大，
又因为为了投资少而获利大，因此应提高6元；
故答案为：C．
【分析】根据题意列出y与x的函数解析式，再利用配方法可求得当x取何值时，y最大，由于投资少而获利大且此题中x取整数，根据二次函数的性质即可求得答案。
8．【答案】C
【知识点】函数解析式；函数的表示方法
【解析】【解答】解：由表中数据得，每降5元，销售量增加30件，
即每降1元，销售量增加6件，
降560﹣500=60元时，销售量为780+（60﹣5）×6=1110（件）．
故答案为：C．
【分析】根据表中的数据分析得，每降5元，销售量增加30件，就可求出降60元时的销售量。
9．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设这种水果的进货价格为a，则售出价格为ax，进货数量为b，则售出数量为by，利润率为p，
则p=
=y（x﹣1）
=（﹣ x+ ）（x﹣1）
=﹣ x2+ x﹣
=﹣ （x﹣ ）2+ ，
∵商品售价不得超过进货价格的2倍，
∴x≤2，
∵当x＜ 时，利润率p随x的增大而减小，
∴当x=2时，p取得最大值，最大值为0.8=80%，
故答案为：B．
【分析】根据题意列出p与x的函数关系式，利用二次函数的性质求得销售该种水果可获取的最大利润率。
10．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件降价x元，每天获得的利润记为W，
根据题意，W=（135﹣x﹣100）（100+4x）
=﹣4x2+40x+3500
=﹣4（x﹣5）2+3600，
∵﹣4＜0，
∴当x=5时，W取得最大值，最大值为3600，
即每件降价5元时，每天获得的利润最大，最大利润为3600元．
故答案为：B．
【分析】根据降价后 ：利润w=月销售量每件的利润，建立函数解析式，再求出顶点坐标，根据二次函数的性质即可得出答案。
11．【答案】35
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得：
y=（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]
=（x﹣20）（1000﹣20x）
=﹣20x2+1400x﹣20000
=﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴x=35时，y有最大值，
故答案为35．
【分析】根据提价后 ：利润y=月销售量每件的利润，建立函数解析式，再求出顶点坐标，即可得出答案。
12．【答案】70
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售单价定为每千克x元，获得利润为w元，则：
w=（x﹣40）[500﹣（x﹣50）×10]，
=（x﹣40）（1000﹣10x），
=﹣10x2+1400x﹣40000，
=﹣10（x﹣70）2+9000，
故当x=70时，利润最大为9000元．
答：要使月销售利润达到最大，销售单价应定为70元．
故答案为70．
【分析】根据涨价后 ：利润w=月销售量每件的利润，建立函数解析式，再求出顶点坐标，即可得出答案。
13．【答案】0＜a＜6
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设未来30天每天获得的利润为y，
y=（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a
化简，得
y=﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴ ＞29.5
解得，a＜6，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a＜6．
【分析】根据题意列出未来30天每天获得的利润为y与a的函数解析式，根据每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，建立不等式求解即可得出a的取值范围。
14．【答案】1.6
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：方法一：设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y=a（t﹣1.1）2+h，
由题意a（t﹣1.1）2+h=a（t﹣1﹣1.1）2+h，
解得t=1.6．
故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．
方法二：结合函数图象可知，两个抛物线的对称轴分别为x=1.1，x=2.1，
t在两条对称轴的中间，故t= （1.1+2.1）=1.6
故答案为1.6．
【分析】设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y=a（t﹣1.1）2+h，根据题意建立方程，求解即可。
15．【答案】①②③
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意知，当70≤x≤150时，y=﹣2x+400，
∵﹣2＜0，y随x的增大而减小，
∴当x=150时，y取得最小值，最小值为100，故①正确；
当x=70时，y取得最大值，最大值为260，故②正确；
设销售这种文化衫的月利润为W，
则W=（x﹣60）（﹣2x+400）=﹣2（x﹣130）2+9800，
∵70≤x≤150，
∴当x=70时，W取得最小值，最小值为﹣2（70﹣130）2+9800=2600元，故③正确；
当x=130时，W取得最大值，最大值为9800元，故④错误；
故答案为：①②③．
【分析】当70≤x≤150时，根据一次函数的性质可得y的最大值与最小值即可判断①、②；根据：月利润=（售价-成本）×月销量，列出函数关系式并配方，结合x的取值范围可得其最值情况，从而判断③、④，即可得出答案。
16．【答案】40
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设销售单价应定为x元，根据题意可得：
利润=（x﹣20）[400﹣10（x﹣30）]
=（x﹣20）（700﹣10x）
=﹣10x2+900x﹣14000
=﹣10（x﹣45）2+6250，
∵超市要完成不少于300件的销售任务，
∴400﹣10（x﹣30）≥300，
解得：x≤40，
即x=40时，销量为300件，此时利润最大为：﹣10（40﹣45）2+6250=6000（元），
故销售单价应定为40元．
故答案为：40．
【分析】根据题意分别表示出每件玩具的利润以及销量，进而结合超市要完成不少于300件的销售任务，进而求出x的值．
17．【答案】（1）（20﹣x）；（100+10x）
（2）解：设每件商品降价x元时，商场日盈利为y元，根据题意得：y=（ 20﹣x ）（ 100+10x ）=﹣10x2+100x+2000=﹣10（ x﹣5 ）2+2250 （0≤x≤20），
∴当x=5时，y最大=2250，
答：每件商品降价5元时，商场日盈利可达到最大，最大日盈利是2250元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵未降价前每件盈利20元，
∴降价x元后每件商品盈利（20﹣x）元，
∵每件该商品每降价1元，商场平均每天可多售出10件，
∴降价x元后，商场日销售量为（100+10x）件，
故答案为：（20﹣x）；（100+10x）；
【分析】（1）根据已知条件即可表示出每件商品的盈利及日销售量。
（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利为y元，根据y=降价后每件的利润商场日销售量，列出函数解析式，利用二次函数的性质可求得其最大值。
18．【答案】（1）解：w=（x﹣30） y=（﹣x+60）（x﹣30）=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800
（2）解：根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
当x=45时，w有最大值，最大值是225
（3）解：当w=200时，﹣x2+90x﹣1800=200，解得x1=40，x2=50，
∵50＞48，x2=50不符合题意，舍，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据每天的销售利润=每天的销售量每件的利润，即可列出w与x之间的函数解析式。
（2）利用配方法求出抛物线的顶点坐标，即可得出答案。
（3）将当w=200代入函数解析式，建立关于x的一元二次方程，求解，再根据双肩包的销售单价不高于48元，得出答案。
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