人教A版（2019）数学必修第二册 6.1平面向量的概念
一、单选题
1．（2019高一下·吉林月考）下列说法中正确的是（ ）
A．两个长度相等的向量一定相等
B．相等的向量起点必定相同
C． 与 共线，则 四点必在同一直线上
D．相等的向量一定是平行向量
2．（高中数学人教新课标A版 必修4 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 同步练习）下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
3．（高中数学人教新课标A版 必修4 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 同步练习）下列说法中：
⑴若 是单位向量， 也是单位向量，则 与 的方向相同或相反；
⑵若向量 是单位向量，则向量 也是单位向量；
⑶两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同．
正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．（ 平面向量与共线向量）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中与 共线的向量有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（平行向量与共线向量++）向量 与 共线是A，B，C，D四点共线的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（平行向量与共线向量++）下列命题正确的是（ ）
A．向量 与 是相等向量
B．共线的单位向量是相等向量
C．零向量与任一向量共线
D．两平行向量所在直线平行
7．（向量的模+++++++++++++++）如图，在正六边形ABCDEF，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（向量的模+++++++++++++++）设O是正方形ABCD的中心，向量 是（ ）
A．平行向量 B．有相同终点的向量
C．相等向量 D．模相等的向量
9．（2016高一下·揭阳期中）如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ）
A． = B． ∥
C． D．
10．（2016高一下·南市期末）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的向量叫做相等向量
B．共线向量是在同一条直线上的向量
C．零向量的长度等于0
D．∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线
二、填空题
11．（人教新课标A版必修4数学2.1平面向量的实际背景及基本概念同步检测）把平面上所有单位向量都移动到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是 .
12．（人教新课标A版必修4数学2.1平面向量的实际背景及基本概念同步检测）某A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是 .
13．（平行向量与共线向量++）给出下列条件：
① ；
② ；
③ 与 的方向相反；
④ 或 ；
⑤ 与 都是单位向量
其中能使 ∥ 成立的是 （填序号）
14．（2016高一下·芒市期中）下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；
②若| |=| |，则| = ；
③若非零向量 共线，则 ；
④向量 ，则向量 共线；
⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；
其中正确的序号为 ．
15．若有以下命题：其中正确的命题序号是
①两个相等向量的模相等；
②若和都是单位向量，则=；
③相等的两个向量一定是共线向量；
④，，则则；
⑤零向量是唯一没有方向的向量；
⑥两个非零向量的和可以是零．
16．下列命题：其中真命题的序号是
①向量的长度与的长度相等；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④向量与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上．
三、解答题
17．某人从A点出发向西走了10m，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15m到达C点，最后又向东走了10米到达D点．
（1）作出向量，，（用1cm长的线段代表10m长）
（2）求||．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】选项A：两个向量相等，则其长度相等，方向相同，故A错；
选项B：两个向量相等，则其长度相等，方向相同，与向量的起点无关，故B错；
选项C：两向量共线，则其方向相同或相反，并不一定四点共线，故C错；
选项D：相等向量方向相同，所以一定是平行向量，故D正确.
故选D.
【分析】根据相等向量、共线向量的概念逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量不能比较大小，向量的模能比较大小， 故答案为：D
【分析】结合向量的定义可得向量不能比较大小，向量的模能比较大小。
3．【答案】C
【知识点】单位向量
【解析】【解答】由单位向量的定义知，凡长度为 的向量均为单位向量，对方向没有任何要求，故（1）不正确；因为 ，所以当 是单位向量时， 也是单位向量，故（2）正确；据相等向量的概念知，（3）是正确的． 故答案为：C
【分析】根据题意结合单位向量的定义以及性质，长度是1，方向任意性。
4．【答案】C
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：在向量 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中与 共线的向量有：
向量 ， ， ．
故选：C．
【分析】利用共线向量的定义即可得出．
5．【答案】B
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：由A，B，C，D四点共线，
∴向量 与 共线，反之不成立，可能AB∥CD．
∴向量 与 共线是A，B，C，D四点共线必要不充分条件．
故选：B．
【分析】由A，B，C，D四点共线，可得向量 与 共线，反之不成立，可能AB∥CD．即可判断出结论．
6．【答案】C
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：向量 与 是相反向量，不是相等向量；
共线的单位向量是相等向量，也可能是相反向量；
零向量与任一向量共线，正确；
两平行向量所在直线平行，也可能重合．
故选：C．
【分析】利用共线向量以及向量相等，平行以及单位向量的关系，判断选项即可．
7．【答案】D
【知识点】向量的模；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：如图正六边形ABCDEF，设其边长为a，依次分析选项：
对于A、由正六边形的性质可得AB与OC平行且相等，则有 ，故A正确；
对于B、由正六边形的性质可得AB与DE平行，即 ∥ ，故B正确；
对于C、在正六边形ABCDEF中，AD与BE均过中心O，则有AD=BE=2a，即有| |=| |，故C正确；
对于D、在正六边形ABCDEF中，AC= a，BE=2a，则| |≠| |，故D错误；
故选：D．
【分析】根据题意，作出正六边形ABCDEF，设其边长为a，结合向量的定义依次分析选项，即可得答案．
8．【答案】D
【知识点】向量的模
【解析】【解答】解：因为正方形的中心到四个顶点的距离相等，都等于正方形的对角线的一半，
故向量 是模相等的向量，
故选D．
【分析】利用正方形ABCD的中心的性质得到中心到四个顶点的距离相等，从而得到答案．
9．【答案】D
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：由图可知， ，但 不共线，故 ，
故选D．
【分析】根据正六边形性质及相等向量的定义可得答案．
10．【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解：A．向量包括长度和方向，长度相等的向量不一定是相等向量，∴该选项错误；
B．方向相同或相反的向量叫共线向量，不一定在一条直线上，∴该说法错误；
C．根据零向量的定义知该说法正确；
D. ∥ 时，这两向量可能共线，∴该说法错误．
故选C．
【分析】根据相等向量、共线向量、零向量以及平行向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．
11．【答案】以单位长度为半径的圆
【知识点】向量的几何表示；单位向量
【解析】【解答】由题根据所给问题所有向量组成了以单位长度为半径的圆.
【分析】本题主要考查了单位向量、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量的几何意义进行分析即可.
12．【答案】西北方向
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】由题根据A，B，C三地的位置关系结合勾股定理不难得到 ，结合方位角不难得到C地相对于B地的位移是西北方向 .
【分析】本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据实际情况进行计算，然后写出对应位移即可.
13．【答案】①③④
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：① ，能够使得 ∥ 成立；
② ，方向不一定相同或相反，不能使 ∥ 成立；
③ 与 的方向相反，存在实数λ＜0，使得 = ；
④ 或 ，存在实数0，使得 =0 ，或 =0 ，因此使得 ∥ 成立；
⑤ 与 都是单位向量，方向不一定相同或相反，不能使 ∥ 成立．
其中能使 ∥ 成立的是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】利用向量共线定理即可判断出结论．
14．【答案】①④
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解：对于①，根据相等向量的定义知，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，正确；
对于②，当| |=| |时， 与 不一定相等，命题②错误；
对于③，若非零向量 共线，则 不一定成立，命题③错误；
对于④，向量 时，向量 共线，命题正确；
对于⑤，零向量的方向是任意的，所以零向量与任何向量平行，命题⑤错误；
综上，正确的命题序号是①④．
故答案为：①④．
【分析】根据平面向量的有关概念，对选项中的问题进行分析、判断是否为真命题即可．
15．【答案】①③
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①长度相等，方向相同的向量为相等向量，∴该命题正确；
②单位向量只是长度为1，方向不确定，∴该命题错误；
③相等向量的方向相同，所以一定共线，∴该命题正确；
④若=，则与不一定平行，∴该命题错误；
⑤零向量的长度为0，方向不确定，即零向量有方向，∴该命题错误；
⑥向量的和仍是一个向量，不会是一个数，∴该命题错误；
∴正确的命题的序号为：①③．
故答案为：①③．
【分析】根据相等向量、单位向量、共线向量，以及零向量的定义，及向量加法的几何意义即可判断每个命题的正误，从而找出正确命题的序号。
16．【答案】①
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于①，向量的长度与的长度相等，正确；
对于②，向量与向量平行，则与的方向相同或相反，
因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向是任意的，不能说方向相同或相反，∴②错误；
对于③，两个有共同起点的单位向量，其终点不一定相同，因为方向不一定相同，∴③错误；
对于④，向量与向量是共线向量，则A、B、C、D不一定在同一直线上，
如平行四边形的两条对边表示的向量，∴④错误．
综上，真命题是①．
故答案为：①．
【分析】根据平面向量的基本概念，结合模长，共线定理以及单位向量、零向量的概念，对题目中的命题判断真假即可。
17．【答案】解：（1）如图，
（2）因为=-，故四边形ABCD为平行四边形，
所以||=||=15（m）
【知识点】向量的几何表示
【解析】【分析】本题应用具体方位用有向线段表示向量；并且借助相反向量模相等得到||=||=15（m）。
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一、单选题
1．（2019高一下·吉林月考）下列说法中正确的是（ ）
A．两个长度相等的向量一定相等
B．相等的向量起点必定相同
C． 与 共线，则 四点必在同一直线上
D．相等的向量一定是平行向量
【答案】D
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】选项A：两个向量相等，则其长度相等，方向相同，故A错；
选项B：两个向量相等，则其长度相等，方向相同，与向量的起点无关，故B错；
选项C：两向量共线，则其方向相同或相反，并不一定四点共线，故C错；
选项D：相等向量方向相同，所以一定是平行向量，故D正确.
故选D.
【分析】根据相等向量、共线向量的概念逐一判断即可.
2．（高中数学人教新课标A版 必修4 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 同步练习）下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量不能比较大小，向量的模能比较大小， 故答案为：D
【分析】结合向量的定义可得向量不能比较大小，向量的模能比较大小。
3．（高中数学人教新课标A版 必修4 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 同步练习）下列说法中：
⑴若 是单位向量， 也是单位向量，则 与 的方向相同或相反；
⑵若向量 是单位向量，则向量 也是单位向量；
⑶两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同．
正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单位向量
【解析】【解答】由单位向量的定义知，凡长度为 的向量均为单位向量，对方向没有任何要求，故（1）不正确；因为 ，所以当 是单位向量时， 也是单位向量，故（2）正确；据相等向量的概念知，（3）是正确的． 故答案为：C
【分析】根据题意结合单位向量的定义以及性质，长度是1，方向任意性。
4．（ 平面向量与共线向量）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中与 共线的向量有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：在向量 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中与 共线的向量有：
向量 ， ， ．
故选：C．
【分析】利用共线向量的定义即可得出．
5．（平行向量与共线向量++）向量 与 共线是A，B，C，D四点共线的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：由A，B，C，D四点共线，
∴向量 与 共线，反之不成立，可能AB∥CD．
∴向量 与 共线是A，B，C，D四点共线必要不充分条件．
故选：B．
【分析】由A，B，C，D四点共线，可得向量 与 共线，反之不成立，可能AB∥CD．即可判断出结论．
6．（平行向量与共线向量++）下列命题正确的是（ ）
A．向量 与 是相等向量
B．共线的单位向量是相等向量
C．零向量与任一向量共线
D．两平行向量所在直线平行
【答案】C
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：向量 与 是相反向量，不是相等向量；
共线的单位向量是相等向量，也可能是相反向量；
零向量与任一向量共线，正确；
两平行向量所在直线平行，也可能重合．
故选：C．
【分析】利用共线向量以及向量相等，平行以及单位向量的关系，判断选项即可．
7．（向量的模+++++++++++++++）如图，在正六边形ABCDEF，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量的模；共线（平行）向量
【解析】【解答】解：如图正六边形ABCDEF，设其边长为a，依次分析选项：
对于A、由正六边形的性质可得AB与OC平行且相等，则有 ，故A正确；
对于B、由正六边形的性质可得AB与DE平行，即 ∥ ，故B正确；
对于C、在正六边形ABCDEF中，AD与BE均过中心O，则有AD=BE=2a，即有| |=| |，故C正确；
对于D、在正六边形ABCDEF中，AC= a，BE=2a，则| |≠| |，故D错误；
故选：D．
【分析】根据题意，作出正六边形ABCDEF，设其边长为a，结合向量的定义依次分析选项，即可得答案．
8．（向量的模+++++++++++++++）设O是正方形ABCD的中心，向量 是（ ）
A．平行向量 B．有相同终点的向量
C．相等向量 D．模相等的向量
【答案】D
【知识点】向量的模
【解析】【解答】解：因为正方形的中心到四个顶点的距离相等，都等于正方形的对角线的一半，
故向量 是模相等的向量，
故选D．
【分析】利用正方形ABCD的中心的性质得到中心到四个顶点的距离相等，从而得到答案．
9．（2016高一下·揭阳期中）如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ）
A． = B． ∥
C． D．
【答案】D
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：由图可知， ，但 不共线，故 ，
故选D．
【分析】根据正六边形性质及相等向量的定义可得答案．
10．（2016高一下·南市期末）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的向量叫做相等向量
B．共线向量是在同一条直线上的向量
C．零向量的长度等于0
D．∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线
【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解：A．向量包括长度和方向，长度相等的向量不一定是相等向量，∴该选项错误；
B．方向相同或相反的向量叫共线向量，不一定在一条直线上，∴该说法错误；
C．根据零向量的定义知该说法正确；
D. ∥ 时，这两向量可能共线，∴该说法错误．
故选C．
【分析】根据相等向量、共线向量、零向量以及平行向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．
二、填空题
11．（人教新课标A版必修4数学2.1平面向量的实际背景及基本概念同步检测）把平面上所有单位向量都移动到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是 .
【答案】以单位长度为半径的圆
【知识点】向量的几何表示；单位向量
【解析】【解答】由题根据所给问题所有向量组成了以单位长度为半径的圆.
【分析】本题主要考查了单位向量、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量的几何意义进行分析即可.
12．（人教新课标A版必修4数学2.1平面向量的实际背景及基本概念同步检测）某A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是 .
【答案】西北方向
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】由题根据A，B，C三地的位置关系结合勾股定理不难得到 ，结合方位角不难得到C地相对于B地的位移是西北方向 .
【分析】本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据实际情况进行计算，然后写出对应位移即可.
13．（平行向量与共线向量++）给出下列条件：
① ；
② ；
③ 与 的方向相反；
④ 或 ；
⑤ 与 都是单位向量
其中能使 ∥ 成立的是 （填序号）
【答案】①③④
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：① ，能够使得 ∥ 成立；
② ，方向不一定相同或相反，不能使 ∥ 成立；
③ 与 的方向相反，存在实数λ＜0，使得 = ；
④ 或 ，存在实数0，使得 =0 ，或 =0 ，因此使得 ∥ 成立；
⑤ 与 都是单位向量，方向不一定相同或相反，不能使 ∥ 成立．
其中能使 ∥ 成立的是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】利用向量共线定理即可判断出结论．
14．（2016高一下·芒市期中）下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；
②若| |=| |，则| = ；
③若非零向量 共线，则 ；
④向量 ，则向量 共线；
⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；
其中正确的序号为 ．
【答案】①④
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解：对于①，根据相等向量的定义知，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，正确；
对于②，当| |=| |时， 与 不一定相等，命题②错误；
对于③，若非零向量 共线，则 不一定成立，命题③错误；
对于④，向量 时，向量 共线，命题正确；
对于⑤，零向量的方向是任意的，所以零向量与任何向量平行，命题⑤错误；
综上，正确的命题序号是①④．
故答案为：①④．
【分析】根据平面向量的有关概念，对选项中的问题进行分析、判断是否为真命题即可．
15．若有以下命题：其中正确的命题序号是
①两个相等向量的模相等；
②若和都是单位向量，则=；
③相等的两个向量一定是共线向量；
④，，则则；
⑤零向量是唯一没有方向的向量；
⑥两个非零向量的和可以是零．
【答案】①③
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①长度相等，方向相同的向量为相等向量，∴该命题正确；
②单位向量只是长度为1，方向不确定，∴该命题错误；
③相等向量的方向相同，所以一定共线，∴该命题正确；
④若=，则与不一定平行，∴该命题错误；
⑤零向量的长度为0，方向不确定，即零向量有方向，∴该命题错误；
⑥向量的和仍是一个向量，不会是一个数，∴该命题错误；
∴正确的命题的序号为：①③．
故答案为：①③．
【分析】根据相等向量、单位向量、共线向量，以及零向量的定义，及向量加法的几何意义即可判断每个命题的正误，从而找出正确命题的序号。
16．下列命题：其中真命题的序号是
①向量的长度与的长度相等；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④向量与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上．
【答案】①
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于①，向量的长度与的长度相等，正确；
对于②，向量与向量平行，则与的方向相同或相反，
因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向是任意的，不能说方向相同或相反，∴②错误；
对于③，两个有共同起点的单位向量，其终点不一定相同，因为方向不一定相同，∴③错误；
对于④，向量与向量是共线向量，则A、B、C、D不一定在同一直线上，
如平行四边形的两条对边表示的向量，∴④错误．
综上，真命题是①．
故答案为：①．
【分析】根据平面向量的基本概念，结合模长，共线定理以及单位向量、零向量的概念，对题目中的命题判断真假即可。
三、解答题
17．某人从A点出发向西走了10m，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15m到达C点，最后又向东走了10米到达D点．
（1）作出向量，，（用1cm长的线段代表10m长）
（2）求||．
【答案】解：（1）如图，
（2）因为=-，故四边形ABCD为平行四边形，
所以||=||=15（m）
【知识点】向量的几何表示
【解析】【分析】本题应用具体方位用有向线段表示向量；并且借助相反向量模相等得到||=||=15（m）。
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