初中数学北师大版八年级上册1.1探索勾股定理练习题
一、选择题
1．（2015八下·蓟县期中）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
2．如图，线段AB= 、CD= ，那么，线段EF的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2 EF，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．12S B．10S C．9S D．8S
4．如图，正方形中的数表示该正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．144 C．13 D．194
5．（2017·正定模拟）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52 B．42 C．76 D．72
6．下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（ ）
A．刘徽 B．赵爽 C．祖冲之 D．秦九韶
7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=144，则S2的值是（ ）
A．48 B．36 C．24 D．25
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，则△DBE的周长是（ ）
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
9．若直角三角形两直角边长分别为5，12，则斜边上的高为（ ）
A．6 B．8 C． D．
10．如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形，如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a，较长边为b，那么（a+b）2的值是（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
二、填空题
11．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是 ．
12．若△ABC中，（b﹣a）（b+a）=c2，则∠B= ；以直角三角形的三边为直径向形外作半圆（如图③），探究S1+S2与S3的关系 ．
13．一直角三角形的边长分别为a，b，c，若a2=9，b2=16，那么c2的值是 ．
14．三国时期吴国赵爽创造了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理，在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH组成的，已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD的面积是 ．
15．如图，已知∠A=∠B，AA1，BB1，PP1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB= ．
16．在直角三角形中，其中两边分别为3，4，则第三边是 ．
17．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 ．
18．如图，由四个直角边分别为8和6的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为 ．
19．魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF=2，CF=4，则AE的长为 ．
20．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，则AD= cm．
三、解答题
21．阅读下列材料：
小明遇到一个问题：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 、 、 ，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（1）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
①利用构图法在答卷的图2中画出三边长分别为 、 、 的格点△DEF；
（2）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，正方形PRDE，连接EF．
①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由．
22．如图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它验证勾股定理．
23．阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2=4× ab+c2
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．
所以a2+b2=c2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述方法证明勾股定理．
24．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ；△ABC的面积为 ．
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB= ，BC=2 ，AC=5 ，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
25．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2=225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2=289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2=PQ2+QR2，
∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选D．
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
2．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB= ，CD= ，
∴图形中的网格是由边长为1的小正方形构成的，
则EF= ．
故选C
【分析】由AB与CD的长，结合图形，利用勾股定理得到此图形是由边长为1的小正方形构成的，故EF为直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求出EF的长．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2
由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，
∵AM=2 EF，
∴2a=2 b，
∴a= b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，
故选C．
【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示：
∵△DEF为直角三角形，
∴EF2=DE2+DF2，
根据题意得：EF2=169，DE2=25，
∴正方形B的面积=DF2=169﹣25=144；
故选：B．
【分析】由三角形DEF为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，结合正方形面积公式即可求出正方形B的面积．
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2=122+52=169，
解得x=13．
故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．
故选：C．
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是数学家赵爽，
故选B．
【分析】根据“弦图”判断即可．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG=KG，CF=DG=KF，
∴S1=（CG+DG）2
=CG2+DG2+2CG DG
=GF2+2CG DG，
S2=GF2，
S3=（KF﹣NF）2=KF2+NF2﹣2KF NF，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF NF=3GF2=144，
∴GF2= =48，
∴S2=48．
故选：A．
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根据S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（KF﹣NF）2，S1+S2+S3=144得出3GF2=144，求出GF2的值即可．
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD，
又∵AC=BC，AC=AE，
∴AC=BC=AE，
∴△DBE的周长=DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AE+EB=AB，
∵AB=6cm，
∴△DBE的周长=6cm．
故选A．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，再根据等腰直角三角形的性质求出AC=BC=AE，然后求出△DBE的周长=AB，代入数据即可得解．
9．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得：斜边长2=52+122，
则斜边长=13，
直角三角形面积S= ×5×12= ×13×斜边的高，
解得：斜边的高= ；
故选D．
【分析】先用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积是5，
∴c2=5，
∴a2+b2=c2=5，
∵直角三角形的面积是 =1，
又∵直角三角形的面积是 ab=1，
∴ab=2，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=5+2×2=5+4=9．
故选：B．
【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．
11．【答案】勾股定理
【知识点】勾股定理的证明
12．【答案】90°；S1+S2=S3
【知识点】勾股定理
13．【答案】25或7
【知识点】勾股定理
14．【答案】100
【知识点】勾股定理的证明
15．【答案】13
【知识点】勾股定理
16．【答案】5或
【知识点】勾股定理
17．【答案】10
【知识点】勾股定理的证明
18．【答案】4
【知识点】勾股定理的证明
19．【答案】6
【知识点】勾股定理的证明
20．【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，
∴BD= BC=6cm．
在Rt△ABD中，
∵AB=10cm，BD=6cm，
∴AD= = =8cm．
故答案为：8．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再由勾股定理即可得出结论．
21．【答案】（1）解：①如图所示：
②计算①中△DEF的面积为 ；（直接写出答案）
8
（2）解：①如图3，
△PEF的面积为6×2﹣ ×1×6﹣ ×1×3﹣ ×3×2= ，
△PQR的面积为 ×3×3= ，
∴△PQR与△PEF面积相等；
②若PQ= ，PR= ，QR=3，直接写出六边形AQRDEF的面积为 ．
32
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】解：（1）②解：△DEF的面积为4×5﹣ ×2×3﹣ ×2×4﹣ ×2×5=8；（2）②六边形AQRDEF的面积为（ ）2+ + +（ ）2=13+9+10=32．
故答案为：8；32
【分析】（1）利用勾股定理借助网格求出即可；（2）六边形AQRDEF的面积=边长为 的正方形面积+边长为 的正方形面积+△PEF的面积+△PQR的面积，其中两个三角形的面积分别用长方形的面积减去各个小三角形的面积
22．【答案】解：S小正方形=（b﹣a）2=b2﹣2ab+a2，另一方面S小正方形=c2﹣4× ab=c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2=c2﹣2ab，
∴a2+b2=c2．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】通过图中小正方形面积证明勾股定理．
23．【答案】证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4× ab+（b﹣a）2，
∴c2=4× ab+（b﹣a）2，
整理，得2ab+b2﹣2ab+a2=c2，
∴c2=a2+b2．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．
24．【答案】（1）5；；；
（2）解：△ABC的面积：6×5﹣ ×3×1﹣ ×5×5﹣ ×2×6=10．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】解：（1）AB= =5，BC= = ，AC= = ，
△ABC的面积为：4×4﹣ ×3×4﹣ ×1×4﹣ ×3×1= ，故答案为：5； ； ； ；根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算．
25．【答案】（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，
则AB=5x，
在Rt△ACD中，AC= =5x，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：S△ABC= ×5x×4x=40cm2，而x＞0，
∴x=2cm，
则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm．
①当MN∥BC时，AM=AN，
即10﹣t=t，
∴t=5；
当DN∥BC时，AD=AN，
得：t=6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE=DM，则t﹣4=5，
∴t=9；
如果ED=EM，则点M运动到点A，
∴t=10；
如果MD=ME=t﹣4，
过点E做EF垂直AB于F，
因为ED=EA，
所以DF=AF= AD=3，
在Rt△AEF中，EF=4；
因为BM=t，BF=7，
所以FM=t﹣7
则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2=42，
∴t= ．
综上所述，符合要求的t值为9或10或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=t﹣4；分别得出方程，解方程即可．
1 / 1初中数学北师大版八年级上册1.1探索勾股定理练习题
一、选择题
1．（2015八下·蓟县期中）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2=225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2=289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2=PQ2+QR2，
∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选D．
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
2．如图，线段AB= 、CD= ，那么，线段EF的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB= ，CD= ，
∴图形中的网格是由边长为1的小正方形构成的，
则EF= ．
故选C
【分析】由AB与CD的长，结合图形，利用勾股定理得到此图形是由边长为1的小正方形构成的，故EF为直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求出EF的长．
3．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2 EF，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．12S B．10S C．9S D．8S
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2
由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，
∵AM=2 EF，
∴2a=2 b，
∴a= b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，
故选C．
【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．
4．如图，正方形中的数表示该正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．144 C．13 D．194
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示：
∵△DEF为直角三角形，
∴EF2=DE2+DF2，
根据题意得：EF2=169，DE2=25，
∴正方形B的面积=DF2=169﹣25=144；
故选：B．
【分析】由三角形DEF为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，结合正方形面积公式即可求出正方形B的面积．
5．（2017·正定模拟）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52 B．42 C．76 D．72
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2=122+52=169，
解得x=13．
故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．
故选：C．
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
6．下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（ ）
A．刘徽 B．赵爽 C．祖冲之 D．秦九韶
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是数学家赵爽，
故选B．
【分析】根据“弦图”判断即可．
7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=144，则S2的值是（ ）
A．48 B．36 C．24 D．25
【答案】A
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG=KG，CF=DG=KF，
∴S1=（CG+DG）2
=CG2+DG2+2CG DG
=GF2+2CG DG，
S2=GF2，
S3=（KF﹣NF）2=KF2+NF2﹣2KF NF，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF NF=3GF2=144，
∴GF2= =48，
∴S2=48．
故选：A．
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根据S1=（CG+DG）2，S2=GF2，S3=（KF﹣NF）2，S1+S2+S3=144得出3GF2=144，求出GF2的值即可．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，则△DBE的周长是（ ）
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD，
又∵AC=BC，AC=AE，
∴AC=BC=AE，
∴△DBE的周长=DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AE+EB=AB，
∵AB=6cm，
∴△DBE的周长=6cm．
故选A．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，再根据等腰直角三角形的性质求出AC=BC=AE，然后求出△DBE的周长=AB，代入数据即可得解．
9．若直角三角形两直角边长分别为5，12，则斜边上的高为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得：斜边长2=52+122，
则斜边长=13，
直角三角形面积S= ×5×12= ×13×斜边的高，
解得：斜边的高= ；
故选D．
【分析】先用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
10．如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形，如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a，较长边为b，那么（a+b）2的值是（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积是5，
∴c2=5，
∴a2+b2=c2=5，
∵直角三角形的面积是 =1，
又∵直角三角形的面积是 ab=1，
∴ab=2，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=5+2×2=5+4=9．
故选：B．
【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．
二、填空题
11．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是 ．
【答案】勾股定理
【知识点】勾股定理的证明
12．若△ABC中，（b﹣a）（b+a）=c2，则∠B= ；以直角三角形的三边为直径向形外作半圆（如图③），探究S1+S2与S3的关系 ．
【答案】90°；S1+S2=S3
【知识点】勾股定理
13．一直角三角形的边长分别为a，b，c，若a2=9，b2=16，那么c2的值是 ．
【答案】25或7
【知识点】勾股定理
14．三国时期吴国赵爽创造了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理，在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH组成的，已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD的面积是 ．
【答案】100
【知识点】勾股定理的证明
15．如图，已知∠A=∠B，AA1，BB1，PP1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB= ．
【答案】13
【知识点】勾股定理
16．在直角三角形中，其中两边分别为3，4，则第三边是 ．
【答案】5或
【知识点】勾股定理
17．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 ．
【答案】10
【知识点】勾股定理的证明
18．如图，由四个直角边分别为8和6的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为 ．
【答案】4
【知识点】勾股定理的证明
19．魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF=2，CF=4，则AE的长为 ．
【答案】6
【知识点】勾股定理的证明
20．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，则AD= cm．
【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，
∴BD= BC=6cm．
在Rt△ABD中，
∵AB=10cm，BD=6cm，
∴AD= = =8cm．
故答案为：8．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再由勾股定理即可得出结论．
三、解答题
21．阅读下列材料：
小明遇到一个问题：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 、 、 ，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（1）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
①利用构图法在答卷的图2中画出三边长分别为 、 、 的格点△DEF；
（2）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，正方形PRDE，连接EF．
①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）解：①如图所示：
②计算①中△DEF的面积为 ；（直接写出答案）
8
（2）解：①如图3，
△PEF的面积为6×2﹣ ×1×6﹣ ×1×3﹣ ×3×2= ，
△PQR的面积为 ×3×3= ，
∴△PQR与△PEF面积相等；
②若PQ= ，PR= ，QR=3，直接写出六边形AQRDEF的面积为 ．
32
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】解：（1）②解：△DEF的面积为4×5﹣ ×2×3﹣ ×2×4﹣ ×2×5=8；（2）②六边形AQRDEF的面积为（ ）2+ + +（ ）2=13+9+10=32．
故答案为：8；32
【分析】（1）利用勾股定理借助网格求出即可；（2）六边形AQRDEF的面积=边长为 的正方形面积+边长为 的正方形面积+△PEF的面积+△PQR的面积，其中两个三角形的面积分别用长方形的面积减去各个小三角形的面积
22．如图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它验证勾股定理．
【答案】解：S小正方形=（b﹣a）2=b2﹣2ab+a2，另一方面S小正方形=c2﹣4× ab=c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2=c2﹣2ab，
∴a2+b2=c2．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】通过图中小正方形面积证明勾股定理．
23．阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2=4× ab+c2
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．
所以a2+b2=c2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述方法证明勾股定理．
【答案】证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4× ab+（b﹣a）2，
∴c2=4× ab+（b﹣a）2，
整理，得2ab+b2﹣2ab+a2=c2，
∴c2=a2+b2．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．
24．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ；△ABC的面积为 ．
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB= ，BC=2 ，AC=5 ，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
【答案】（1）5；；；
（2）解：△ABC的面积：6×5﹣ ×3×1﹣ ×5×5﹣ ×2×6=10．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】解：（1）AB= =5，BC= = ，AC= = ，
△ABC的面积为：4×4﹣ ×3×4﹣ ×1×4﹣ ×3×1= ，故答案为：5； ； ； ；根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算．
25．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
【答案】（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，
则AB=5x，
在Rt△ACD中，AC= =5x，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：S△ABC= ×5x×4x=40cm2，而x＞0，
∴x=2cm，
则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm．
①当MN∥BC时，AM=AN，
即10﹣t=t，
∴t=5；
当DN∥BC时，AD=AN，
得：t=6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE=DM，则t﹣4=5，
∴t=9；
如果ED=EM，则点M运动到点A，
∴t=10；
如果MD=ME=t﹣4，
过点E做EF垂直AB于F，
因为ED=EA，
所以DF=AF= AD=3，
在Rt△AEF中，EF=4；
因为BM=t，BF=7，
所以FM=t﹣7
则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2=42，
∴t= ．
综上所述，符合要求的t值为9或10或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=t﹣4；分别得出方程，解方程即可．
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