5 数学广角——鸽巢问题教案六年级下册数学人教版2
文档属性
| 名称 | 5 数学广角——鸽巢问题教案六年级下册数学人教版2 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 16.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-04 08:33:37 | ||
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文档简介
5 数学广角——鸽巢问题（教案）-六年级下册数学人教版
教学内容：人教版六年级《数学广角》第68-69页例1、例2。
教材分析：
在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题，如任意13名学生中，一定存在至少两名学生，他们在同一月过生日。在这类问题中，让学生初步经历“数学证明”的过程。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。还要注意培养学生的“模型”思想，这个过程是将具体问题“数学化”的过程，能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现和发展学生数学思维和能力的重要方面。
学情分析：
六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本节课内容的程度。教材选取的是学生熟悉的，易于理解的生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。“抽屉原理”是学生从未接触过的新知识，在具体“分”的过程中，学生都会运用平均分的方法解决问题得出结论，但这些学生中大多数不知为什么平均分能保证“至少”的情况。有时要找到实际问题与“抽屉原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“抽屉”，要用几个“抽屉”。因此，教师要耐心细致的引导，重在让学生经历知识的发生、发展和过程，而不是生搬硬套，只求结论。不仅要让学生知其然，更要知其所以然。
教学目标：
1、使学生经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题或解释相关的现象。
2、通过操作、观察、比较、推理等数学活动，使学生思维外显，引导学生在事实中感知现象，把握规律，体会逻辑推理和模型思想。发展抽象能力、推理能力和应用能力。
3、提高学习数学的兴趣和应用意识，感受到数学文化及数学的魅力。
教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，并会简单应用。
教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教学准备:多媒体课件、若干数量的笔、纸杯、扑克牌。
教学过程 ：
一、游戏导入，激发兴趣
师：老师带来了一个游戏，想玩吗？一副扑克牌，去掉大小王后还有52张，有几种花色？
师：现在我来表演个魔术。（教师任意抽取5张牌）
师：我敢肯定，这5张牌中至少有2张是同一花色。相信吗？（学生验证）
师：我猜对了吗？要不要再来一次？
师：不管再来多少次，我仍然敢肯定每次总是至少有2张牌是同一花色。你们信吗？
【设计意图：根据学生的认知特点，从学生熟悉的扑克牌导入，一副扑克牌除了大小王外有4种花色，让学生初步体验任意抽取5张，一定有一种花色的牌至少有两张。激发了学生的学习兴趣，为后面开展教与学的活动做了铺垫。】
师：老师为什么这么肯定？其实这里面蕴含着一个重要的数学原理——抽屉原理，这节课我们就一起来研究。 （板书课题：抽屉原理）
【设计意图：开门见山，直接出示课题，明确研究的方向。】
二、自主探究，构建模型
（一）教学例1 ：物体数比抽屉数多1的情况
1、初步感知
出示：把4支笔放进3个盒子中，总有一个盒子至少放进2支笔。
师：先从简单问题入手，一起读题。
师：我听到个别同学重读了一些词，看来是找到了关键词。再读一遍。
问：“总有”和“至少”是什么意思？
问：为什么？可以怎么验证？
师：请同学们小组合作，验证“把4支笔放进3个盒子中，总有一个盒子至少放进2支笔。”
出示活动要求。
学生活动，教师巡视指导。
学生汇报展示
预设：（1，3，0）（2，2，0）（2，1，1）（1，1，2）（4，0，0）
预设：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）
师：你能保证所有可能都列举了吗？为什么？
师：有序列举可以保证不重复、不遗漏地列举出所有可能。
师：其他同学有疑问吗？
问：这所有的可能，是不是每一种都证明了“总有一个盒子至少放进2支笔”？
预设：第一种有1个盒子里放了4支笔，符合至少2支笔；第二种有1个盒子放了3支笔，也符合至少2支笔
师：其实，这些同学关注的都是每种情况笔最——多的盒子。分别放了几支笔？（4支，3支，2支，2支）确实，无论哪种情况，我们都找到了这样一个盒子，里面至少放2支笔。
小结：刚刚我们通过一一列举出所有可能，验证了“把4支笔放进3个盒子中，总有一个盒子至少放进2支笔。”用的是枚举法。（板书：枚举法）
【设计意图：抽屉原理对于学生来说，比较抽象，特别是“总有一个盒子中至少放进2支笔”这句话的理解。所以通过具体的操作，列举所有的情况后，引导学生观察每种分法的共同点，理解“总有一个盒子”以及“至少2支”。让学生初步感知抽屉原理。】
2、探究“平均分”的方法
师：除了把所有情况都一一列举出来，还有没有更直接的方法？
预设：把4支笔平均放入3个盒子里，每个盒子放1支笔，剩下1支无论放进哪个盒子里，总有一个盒子至少放进了2支笔。
师：同学们有疑问吗？
问：为什么要先平均分？（板书：平均分）
预设：平均分可以让每个盒子里的笔尽可能的少，保证了最少的情况。
师：哦，你们是假设了一种最坏的情况，把笔尽量分开放，让每个盒子里的笔尽可能的少，在最少的情况下都能保证“总有一个盒子至少放进2支笔”，那其他情况必定也能保证。像这样假设最坏的情况，其实就是数学的最不利原则。
回顾“平均分”的方法，播放微课。
小结：刚刚同学们假设了最不利情况，先平均分，再放剩下的笔。用的是假设法。（板书：假设法）
【设计意图：鼓励学生积极的自主探索，寻找不同的证明方法，在枚举法的基础上，学生意识到了要考虑最少的情况，从而引出假设法，渗透平均分的思想。让学生体会思考抽屉原理的问题，就是去想最不利的情况。】
3、比较优化
师：比较枚举法和假设法，你喜欢哪种？为什么？
4、概括规律
师：刚刚我们证明了“把4支笔放进3个盒子中，总有一个盒子至少放进2支笔”。
如果把5支笔放进4个盒子；把6支笔放进5个盒子；或者把7支笔放进6个盒子呢？
会不会也是“总有一个盒子至少放进2支笔”呢？
师：同学们可以摆一摆、画一画、想一想。
师：想好的同学可以在小组内交流讨论。
小组汇报。
师：看来他们也是假设了最不利的情况。
师：接着往后想，你能接着说下去吗？
师：观察一下，你有什么发现？
预设：只要笔的数量比盒子数多1，就总有一个盒子至少放进2支笔。
用符号表示：把 n+1支笔放进n个盒子里，总有一个盒子里至少有2支笔。
【设计意图：着重引导学生摆脱感性操作的束缚，借助观察、比较、分析、思考、推理、证明等方法，从思维和理性的角度去探究、分析问题，得出数学结论。让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本原理：当物体个数比抽屉个数多1时，一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。让学生在这个连续的过程中初步感知方法的优劣，发展了学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。】
5、介绍“抽屉原理”
师：刚刚你们总结的就是“抽屉原理”中最简单的情况。 最先发现这个规律的人是德国数学家“狄里克雷”，人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原理”，或者“抽屉原理”。蕴含抽屉原理的问题在某些国家是以鸽子飞入鸽巣的形式出现的，又叫“鸽巢问题”。（板书课题：鸽巢问题）
师：既然叫“抽屉原理”，那就应该和抽屉产生联系啊？
生：盒子就是抽屉，铅笔就是放进抽屉的物体。（板书：待放物体 抽屉）
（二）深入研究：物体数比抽屉数多2、多3等情况
师：刚才我们研究的是最简单的物体数比抽屉数多1的情况。如果多2呢？多3呢？
需要同学们进一步思考。
出示问题：有7只鸽子飞进5个鸽舍，结论又会是怎样？8只鸽子飞进5个鸽舍呢？9只鸽子飞进5个鸽舍呢？
问：现在谁是物体？谁是抽屉？
师：先想一想，你准备用什么方法证明你的结论？再独立完成。
学生汇报。
问：剩下的2只鸽子怎么办？为什么？
师：把剩下的2只鸽子分开放，保证了每个鸽舍都尽可能少。也是假设了最不利的情况。
小结：看来在“平均分”后，剩下的鸽子，不管有几只，都要尽量分开放，这样就能保证“总有一个鸽舍至少飞进了2只鸽子。”
【设计意图：平均分后得到的余数不是1的情况，让学生再次体会要保证“至少”必须尽量平均分，余下的数也要进行二次平均分。】
（三）、教学例2：提升思维、构建模型
师：刚刚我们研究了物体数比抽屉数多1以外的情况。再加深难度，同学们怕吗？
1、出示：把7本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉至少放进了3本书。
师：这是某位同学得出的结论。这又是为什么呢？
预设：把7本书平均放入3个抽屉里，每个抽屉放2本书，剩下1本无论放进哪个抽屉，总有一个抽屉至少放进了3本书。
问：怎么想到先在每个抽屉放2本书的？
预设：因为7÷3=2…1，所以每个抽屉放2本书。
师：他用一个除法算式表示了平均分的过程。（板书：7÷3=2…1 3）
师：“总有一个抽屉至少放3本书”，“3”是怎么来的？（2+1=3）
2、出示：把8本书放入3个抽屉里呢？9本书呢？10本呢？
师：你还能解决吗？试一试。
学生汇报。
8÷3=2…2 2+1=3
9÷3=3 3
10÷3=3…1 3+1=4
3、构建模型
师：同学们认真观察，仔细思考，你有什么发现？
预设：用物体数除以抽屉数，如果有余数，就用商+1；如果没有余数，就用商。
师：能不能也用符号来表示？简单点的？
m÷n=a…b (m>n) 当b≠0时，a+1 当b=0时, a
4、小结：同学们想到的除法，其实可以解决今天所有的问题。大家通过不断思考，深入研究，总结归纳了解决这类抽屉问题的一般方法。真能干！我们一起自豪地读一读。
【设计意图：例2描述了“抽屉原理”更为一般的形式，这里重在构建公式模型。引导学生通过辨析、观察、思考，发现“如果平均分后有余数，至少数等于商加1；如果没有余数，至少数等于商”。让学生经历模型构建的过程，完善了规律，培养了学生的推理和抽象思维能力，积累了充分的数学活动经验。】
三、运用模型、解释应用
师：回到课前的小游戏“任意抽取5张牌，总是至少有2张是同一花色”。你能运用今天所学来解释吗？
师：这里谁是物体？谁是抽屉？
【设计意图：通过对不同具体情况的判断，初步建立“物体”、“抽屉”的模型，发现抽屉原理在生活中的应用。请学生对课前的游戏的解释，也是一个建模的过程，让学生体会“抽屉”不一定是看得见，摸得着。】
回顾梳理，课堂总结
今天我们研究了什么？你有哪些收获？
其实生活中还有许多应用抽屉原理的例子，只要大家留心观察，乐于思考，善于思考，敢于思考，一定会有更多伟大的发现！
板书设计：
抽屉原理(鸽巣问题)
笔的数量 盒子数 总有一个盒子（抽屉）
（物体数） （抽屉数） 至少放进物体数
枚举法 4 3 2
假设法 5 4 2
（平均分） n+1 n 2
7 5 2
8 5 2
9 5 2
7 ÷ 3 = 2…1 2+1=3
8 ÷ 3 = 2…2 2+1=3
9 ÷ 3 =3 3
10 ÷ 3 =3…1 3+1=4
m ÷ n = a…b (m>n) 当b≠0时，a+1 当b=0时, a
教学内容：人教版六年级《数学广角》第68-69页例1、例2。
教材分析：
在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题，如任意13名学生中，一定存在至少两名学生，他们在同一月过生日。在这类问题中，让学生初步经历“数学证明”的过程。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。还要注意培养学生的“模型”思想，这个过程是将具体问题“数学化”的过程，能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现和发展学生数学思维和能力的重要方面。
学情分析：
六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本节课内容的程度。教材选取的是学生熟悉的，易于理解的生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。“抽屉原理”是学生从未接触过的新知识，在具体“分”的过程中，学生都会运用平均分的方法解决问题得出结论，但这些学生中大多数不知为什么平均分能保证“至少”的情况。有时要找到实际问题与“抽屉原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“抽屉”，要用几个“抽屉”。因此，教师要耐心细致的引导，重在让学生经历知识的发生、发展和过程，而不是生搬硬套，只求结论。不仅要让学生知其然，更要知其所以然。
教学目标：
1、使学生经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题或解释相关的现象。
2、通过操作、观察、比较、推理等数学活动，使学生思维外显，引导学生在事实中感知现象，把握规律，体会逻辑推理和模型思想。发展抽象能力、推理能力和应用能力。
3、提高学习数学的兴趣和应用意识，感受到数学文化及数学的魅力。
教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，并会简单应用。
教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教学准备:多媒体课件、若干数量的笔、纸杯、扑克牌。
教学过程 ：
一、游戏导入，激发兴趣
师：老师带来了一个游戏，想玩吗？一副扑克牌，去掉大小王后还有52张，有几种花色？
师：现在我来表演个魔术。（教师任意抽取5张牌）
师：我敢肯定，这5张牌中至少有2张是同一花色。相信吗？（学生验证）
师：我猜对了吗？要不要再来一次？
师：不管再来多少次，我仍然敢肯定每次总是至少有2张牌是同一花色。你们信吗？
【设计意图：根据学生的认知特点，从学生熟悉的扑克牌导入，一副扑克牌除了大小王外有4种花色，让学生初步体验任意抽取5张，一定有一种花色的牌至少有两张。激发了学生的学习兴趣，为后面开展教与学的活动做了铺垫。】
师：老师为什么这么肯定？其实这里面蕴含着一个重要的数学原理——抽屉原理，这节课我们就一起来研究。 （板书课题：抽屉原理）
【设计意图：开门见山，直接出示课题，明确研究的方向。】
二、自主探究，构建模型
（一）教学例1 ：物体数比抽屉数多1的情况
1、初步感知
出示：把4支笔放进3个盒子中，总有一个盒子至少放进2支笔。
师：先从简单问题入手，一起读题。
师：我听到个别同学重读了一些词，看来是找到了关键词。再读一遍。
问：“总有”和“至少”是什么意思？
问：为什么？可以怎么验证？
师：请同学们小组合作，验证“把4支笔放进3个盒子中，总有一个盒子至少放进2支笔。”
出示活动要求。
学生活动，教师巡视指导。
学生汇报展示
预设：（1，3，0）（2，2，0）（2，1，1）（1，1，2）（4，0，0）
预设：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）
师：你能保证所有可能都列举了吗？为什么？
师：有序列举可以保证不重复、不遗漏地列举出所有可能。
师：其他同学有疑问吗？
问：这所有的可能，是不是每一种都证明了“总有一个盒子至少放进2支笔”？
预设：第一种有1个盒子里放了4支笔，符合至少2支笔；第二种有1个盒子放了3支笔，也符合至少2支笔
师：其实，这些同学关注的都是每种情况笔最——多的盒子。分别放了几支笔？（4支，3支，2支，2支）确实，无论哪种情况，我们都找到了这样一个盒子，里面至少放2支笔。
小结：刚刚我们通过一一列举出所有可能，验证了“把4支笔放进3个盒子中，总有一个盒子至少放进2支笔。”用的是枚举法。（板书：枚举法）
【设计意图：抽屉原理对于学生来说，比较抽象，特别是“总有一个盒子中至少放进2支笔”这句话的理解。所以通过具体的操作，列举所有的情况后，引导学生观察每种分法的共同点，理解“总有一个盒子”以及“至少2支”。让学生初步感知抽屉原理。】
2、探究“平均分”的方法
师：除了把所有情况都一一列举出来，还有没有更直接的方法？
预设：把4支笔平均放入3个盒子里，每个盒子放1支笔，剩下1支无论放进哪个盒子里，总有一个盒子至少放进了2支笔。
师：同学们有疑问吗？
问：为什么要先平均分？（板书：平均分）
预设：平均分可以让每个盒子里的笔尽可能的少，保证了最少的情况。
师：哦，你们是假设了一种最坏的情况，把笔尽量分开放，让每个盒子里的笔尽可能的少，在最少的情况下都能保证“总有一个盒子至少放进2支笔”，那其他情况必定也能保证。像这样假设最坏的情况，其实就是数学的最不利原则。
回顾“平均分”的方法，播放微课。
小结：刚刚同学们假设了最不利情况，先平均分，再放剩下的笔。用的是假设法。（板书：假设法）
【设计意图：鼓励学生积极的自主探索，寻找不同的证明方法，在枚举法的基础上，学生意识到了要考虑最少的情况，从而引出假设法，渗透平均分的思想。让学生体会思考抽屉原理的问题，就是去想最不利的情况。】
3、比较优化
师：比较枚举法和假设法，你喜欢哪种？为什么？
4、概括规律
师：刚刚我们证明了“把4支笔放进3个盒子中，总有一个盒子至少放进2支笔”。
如果把5支笔放进4个盒子；把6支笔放进5个盒子；或者把7支笔放进6个盒子呢？
会不会也是“总有一个盒子至少放进2支笔”呢？
师：同学们可以摆一摆、画一画、想一想。
师：想好的同学可以在小组内交流讨论。
小组汇报。
师：看来他们也是假设了最不利的情况。
师：接着往后想，你能接着说下去吗？
师：观察一下，你有什么发现？
预设：只要笔的数量比盒子数多1，就总有一个盒子至少放进2支笔。
用符号表示：把 n+1支笔放进n个盒子里，总有一个盒子里至少有2支笔。
【设计意图：着重引导学生摆脱感性操作的束缚，借助观察、比较、分析、思考、推理、证明等方法，从思维和理性的角度去探究、分析问题，得出数学结论。让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本原理：当物体个数比抽屉个数多1时，一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。让学生在这个连续的过程中初步感知方法的优劣，发展了学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。】
5、介绍“抽屉原理”
师：刚刚你们总结的就是“抽屉原理”中最简单的情况。 最先发现这个规律的人是德国数学家“狄里克雷”，人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原理”，或者“抽屉原理”。蕴含抽屉原理的问题在某些国家是以鸽子飞入鸽巣的形式出现的，又叫“鸽巢问题”。（板书课题：鸽巢问题）
师：既然叫“抽屉原理”，那就应该和抽屉产生联系啊？
生：盒子就是抽屉，铅笔就是放进抽屉的物体。（板书：待放物体 抽屉）
（二）深入研究：物体数比抽屉数多2、多3等情况
师：刚才我们研究的是最简单的物体数比抽屉数多1的情况。如果多2呢？多3呢？
需要同学们进一步思考。
出示问题：有7只鸽子飞进5个鸽舍，结论又会是怎样？8只鸽子飞进5个鸽舍呢？9只鸽子飞进5个鸽舍呢？
问：现在谁是物体？谁是抽屉？
师：先想一想，你准备用什么方法证明你的结论？再独立完成。
学生汇报。
问：剩下的2只鸽子怎么办？为什么？
师：把剩下的2只鸽子分开放，保证了每个鸽舍都尽可能少。也是假设了最不利的情况。
小结：看来在“平均分”后，剩下的鸽子，不管有几只，都要尽量分开放，这样就能保证“总有一个鸽舍至少飞进了2只鸽子。”
【设计意图：平均分后得到的余数不是1的情况，让学生再次体会要保证“至少”必须尽量平均分，余下的数也要进行二次平均分。】
（三）、教学例2：提升思维、构建模型
师：刚刚我们研究了物体数比抽屉数多1以外的情况。再加深难度，同学们怕吗？
1、出示：把7本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉至少放进了3本书。
师：这是某位同学得出的结论。这又是为什么呢？
预设：把7本书平均放入3个抽屉里，每个抽屉放2本书，剩下1本无论放进哪个抽屉，总有一个抽屉至少放进了3本书。
问：怎么想到先在每个抽屉放2本书的？
预设：因为7÷3=2…1，所以每个抽屉放2本书。
师：他用一个除法算式表示了平均分的过程。（板书：7÷3=2…1 3）
师：“总有一个抽屉至少放3本书”，“3”是怎么来的？（2+1=3）
2、出示：把8本书放入3个抽屉里呢？9本书呢？10本呢？
师：你还能解决吗？试一试。
学生汇报。
8÷3=2…2 2+1=3
9÷3=3 3
10÷3=3…1 3+1=4
3、构建模型
师：同学们认真观察，仔细思考，你有什么发现？
预设：用物体数除以抽屉数，如果有余数，就用商+1；如果没有余数，就用商。
师：能不能也用符号来表示？简单点的？
m÷n=a…b (m>n) 当b≠0时，a+1 当b=0时, a
4、小结：同学们想到的除法，其实可以解决今天所有的问题。大家通过不断思考，深入研究，总结归纳了解决这类抽屉问题的一般方法。真能干！我们一起自豪地读一读。
【设计意图：例2描述了“抽屉原理”更为一般的形式，这里重在构建公式模型。引导学生通过辨析、观察、思考，发现“如果平均分后有余数，至少数等于商加1；如果没有余数，至少数等于商”。让学生经历模型构建的过程，完善了规律，培养了学生的推理和抽象思维能力，积累了充分的数学活动经验。】
三、运用模型、解释应用
师：回到课前的小游戏“任意抽取5张牌，总是至少有2张是同一花色”。你能运用今天所学来解释吗？
师：这里谁是物体？谁是抽屉？
【设计意图：通过对不同具体情况的判断，初步建立“物体”、“抽屉”的模型，发现抽屉原理在生活中的应用。请学生对课前的游戏的解释，也是一个建模的过程，让学生体会“抽屉”不一定是看得见，摸得着。】
回顾梳理，课堂总结
今天我们研究了什么？你有哪些收获？
其实生活中还有许多应用抽屉原理的例子，只要大家留心观察，乐于思考，善于思考，敢于思考，一定会有更多伟大的发现！
板书设计：
抽屉原理(鸽巣问题)
笔的数量 盒子数 总有一个盒子（抽屉）
（物体数） （抽屉数） 至少放进物体数
枚举法 4 3 2
假设法 5 4 2
（平均分） n+1 n 2
7 5 2
8 5 2
9 5 2
7 ÷ 3 = 2…1 2+1=3
8 ÷ 3 = 2…2 2+1=3
9 ÷ 3 =3 3
10 ÷ 3 =3…1 3+1=4
m ÷ n = a…b (m>n) 当b≠0时，a+1 当b=0时, a