2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.1 等腰三角形 课时4
一、填空题
1．三个角都 的三角形是等边三角形;有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
2．在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于
二、选择题
3．等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60° B．有一个外角是120°
C．有两个角相等 D．腰与底边相等
4．下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
5．如图，木工师傅从边长为90 cm的正三角形木板上锯出一个正六边形木板，那么正六边形木板的边长为（ ）
A．34 cm B．32 cm C．30 cm D．28 cm
6．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面的结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2017八上·宜城期末）如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC等于（ ）
A．6 B．6 C．6 D．12
9．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则BC∶AB等于（ ）
A．2∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶3
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是线段BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
11．（2016八上·徐闻期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（ ）
A．6 B．6 C．9 D．3
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为D，若BE=6 cm，则AC等于（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
13．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
14．如图，一棵大树在一次强台风中从离地面5 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10m B．15m C．25m D．30m
三、解答题
15．如图,在△ABC中,∠ACB=120°,CD平分∠ACB,AE∥DC,交BC的延长线于点E.
求证:△ACE是等边三角形.
16．如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE=CF.求证:△DEF是等边三角形.
17．如图,在等边三角形ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB交BC于点D,OE∥AC交BC于点E.
（1）试判断△ODE的形状,并说明你的理由;
（2）若BC=10,求△ODE的周长.
18．如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数;
（2）若CD=2,求DF的长.
答案解析部分
1．【答案】相等；60°
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解 ：三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角相等的等腰三角形是等边三角形。
故答案为 ：1、相等 ； 2、60° ；
【分析】根据等边三角形的判定定理 ：三个角都相等的三角形是等边三角形；由一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，就可以填出来了。
2．【答案】斜边的一半
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解 ：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半 ，
故答案为 ：斜边的一半 。
【分析】根据在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故A不符合题意；
B、有一个外角是120°，则该等腰三角形的一个内角是60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”推知，有一外角为120°的等腰三角形是等边三角形；故B不符合题意；
C、有两个角相等的等腰三角形有可能还是等腰三角形；故C符合题意；
D、腰与底边相等的等腰三角形的三条边相等，所以腰与底边相等的等腰三角形是等边三角形；故D不符合题意；
故应选：C 。
【分析】根据等边三角形的定义及判定方法①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ，②三边相等的三角形是等边三角形，就可以一一作出判断了。
4．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故①符合题意；②这是等边三角形的判定2，故②符合题意；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故③符合题意；④根据等边三角形三线合一性质，故④符合题意．
故应选：D 。
【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；三边相等的三角形是等边三角形；再由中线、高的性质和三角形内角和定理，依次分析各项即可判断。
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵正六边形的周长为90×3×=180cm，
∴正六边形的边长是180÷6=30cm．
故应选：C 。
【分析】图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以正六边形的周长是正三角形的周长的，正六边形的周长为90×3×=180cm，所以正六边形的边长是180÷6=30cm．
6．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
AB=DB ∠ABE=∠DBC BE=BC
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①符合题意；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②符合题意；
在△ABP和△DBQ中，
∠BAP=∠BDQ AB=DB ∠ABP=∠DBQ=60°
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③符合题意；
∵∠DMA=60°，
∴∠AMC=120°，
∴∠AMC+∠PBQ=180°，
∴P、B、Q、M四点共圆，
∵BP=BQ，
∴∠BMP=∠BMQ，
即MB平分∠AMC；
∴④符合题意；
综上所述：正确的结论有4个；
故应选：D 。
【分析】 ①根据等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，根据等式的性质及平角的定义得出∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，从而利用SAS判断出△ABE≌△DBC ；②根据全等三角形对应角相等得出∠BAE=∠BDC，根据外角的定义得出∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，根据等量代换得出∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°；③根据ASA判断出△ABP≌△DBQ，根据全等三角形的对应边相等得出BP=BQ，又∠PBQ=60° ，从而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，得出△BPQ为等边三角形；④首先由∠AMC+∠PBQ=180°得出P、B、Q、M四点共圆，又根据等弦所对的圆周角相等得出∠BMP=∠BMQ，从而得出MB平分∠AMC。
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选D．
【分析】如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可对称结论．
8．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，
∴BC=AB，
∵AB=12，
∴BC=6，
故应选：A 。
【分析】根据含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得出结论。
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3 ，
∴∠B =2∠A， ∠C=3∠A ，
又∵∠A+ ∠B +∠C= 180° ，
∴ ∠A+2∠A+3∠A=180° ，
∴∠A=30° ，
∴∠C=90° ，
∴ BC：AB=1：2 。
故应选 ：B .
【分析】根据∠A：∠B：∠C=1：2：3 ，从而得∠B =2∠A， ∠C=3∠A ，根据三角形的内角和得出 ∠A+2∠A+3∠A=180° ，从而得出三个内角的度数，根据含30°角的直角三角形边之间的关系得出BC：AB=1：2 。
10．【答案】D
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90° ，∠B=30° ，
∴ AB=2AC=7 ，
∵ 点P是线段BC边上的动点 ，
∴ AC＜AP＜AB ，
即3＜AP＜7 .
故应选：D 。
【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6，可知AP最大不能大于6。
11．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6，
∴BC=9，
故选C．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果．
12．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解 ：∵DE是AB的中垂线，BE=6 cm ，
∴ AE=BE=6cm ，
∴ ∠BAE=∠B=15° ，
∴ ∠AEC=∠B+∠BAE=30° ，
在Rt△AEC中，∠C=90°，∠AEC=30° ，
∴ AC=AE=3cm .
故应选 ：D .
【分析】根据中垂线的性质定理得出 AE=BE=6cm ，根据等边对等角得出∠BAE=∠B=15° ，根据三角形的外角性质得出∠AEC=∠B+∠BAE=30° ，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AC的长度。
13．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；邻补角
【解析】【解答】解：过C作CM⊥AB于M则CM=h，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴h=CM=BC=4m，
故应选：B 。
【分析】过C作CM⊥AB于M则CM=h，∠CMB=90°，根据邻补角的定义得出∠CBM=30°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出h=CM=BC=4m。
14．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=5，∠A=30° ，
∴AB=10，
∴大树的高度为10+5=15m．
故应选：B
【分析】根据含30角的直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半得出AB的长度，进而根据BC+AC=大树的高度计算出答案。
15．【答案】证明:∵CD平分∠ACB,∠ACB=120° ，∴∠BCD=∠ACD=60°.∵AE∥DC,∴∠CAE=∠ACD=60°,∠E=∠BCD=60°.∴∠CAE=∠E=60°.∵∠ACB=120°,∴∠ACE=60°.∴∠CAE=∠E=∠ACE=60°.∴△ACE为等边三角形
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠BCD=∠ACD=60°，根据二直线平行，同位角相等，内错角相等，得出∠CAE=∠ACD=60°,∠E=∠BCD=60°，根据邻补角得出∠ACE=60°，从而根据等量代换得出∠CAE=∠E=∠ACE=60°，根据三个内角都相等的三角形是等边三角形得出△ACE为等边三角形。
16．【答案】证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=CA.∵AD=BE=CF,∴BD=CE=AF.∴△BDE≌△CEF≌△AFD(SAS).∴DE=EF=FD.∴△DEF是等边三角形 。
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=CA，又AD=BE=CF,根据等式的性质得出BD=CE=AF，从而利用SAS判断出△BDE≌△CEF≌△AFD，根据全等三角形对应边相等得出DE=EF=FD，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△DEF是等边三角形。
17．【答案】（1）解：△ODE是等边三角形.理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵OD∥AB,OE∥AC,
∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°.
∴∠DOE=60°.
∴∠DOE=∠ODE=∠OED.
∴△ODE是等边三角形 。
（2）解：∵BO平分∠ABC,且∠ABC=60°,∴∠OBD=30°.
∴∠BOD=∠ODE-∠OBD=60°-30°=30°.
∴∠OBD=∠BOD.
∴BD=OD.
同理可得:CE=OE.
∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）△ODE是等边三角形.理由如下:根据等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，根据二直线平行，同位角相等得出∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°，根据三角形的内角和得出∠DOE=60°，从而得出∠DOE=∠ODE=∠OED，根据三个内角都相等的三角形是等边三角形得出△ODE是等边三角形；
（2）根据角平分线的定义得出∠OBD=30°，根据三角形的外角定理得出∠BOD=∠ODE-∠OBD=60°-30°=30°，从而得出∠OBD=∠BOD，根据等角对等边得出BD=OD，同理可得:CE=OE，根据△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC得出结论。
18．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.
∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.
∴∠F=90°-∠EDC=30° 。
（2）解：∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,∴∠DEC=60°.
∴△EDC是等边三角形.
∴DE=DC=2.
∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=4 。
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质得出∠B=60°，根据二直线平行同位角相等得出∠EDC=∠B=60°，根据垂直的定义得出∠DEF=90°，从而根据直角三角形的两锐角互余得出∠F=90°-∠EDC=30° ；
（2）根据三角形的内角和得出∠DEC=60°，根据三内角相等的三角形是等边三角形得出△EDC是等边三角形，根据等边三角形三边相等得出DE=DC=2，根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出DF=2DE=4 。
1 / 12017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.1 等腰三角形 课时4
一、填空题
1．三个角都 的三角形是等边三角形;有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
【答案】相等；60°
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解 ：三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角相等的等腰三角形是等边三角形。
故答案为 ：1、相等 ； 2、60° ；
【分析】根据等边三角形的判定定理 ：三个角都相等的三角形是等边三角形；由一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，就可以填出来了。
2．在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于
【答案】斜边的一半
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解 ：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半 ，
故答案为 ：斜边的一半 。
【分析】根据在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二、选择题
3．等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（ ）
A．有一个内角是60° B．有一个外角是120°
C．有两个角相等 D．腰与底边相等
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故A不符合题意；
B、有一个外角是120°，则该等腰三角形的一个内角是60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”推知，有一外角为120°的等腰三角形是等边三角形；故B不符合题意；
C、有两个角相等的等腰三角形有可能还是等腰三角形；故C符合题意；
D、腰与底边相等的等腰三角形的三条边相等，所以腰与底边相等的等腰三角形是等边三角形；故D不符合题意；
故应选：C 。
【分析】根据等边三角形的定义及判定方法①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ，②三边相等的三角形是等边三角形，就可以一一作出判断了。
4．下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故①符合题意；②这是等边三角形的判定2，故②符合题意；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故③符合题意；④根据等边三角形三线合一性质，故④符合题意．
故应选：D 。
【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；三边相等的三角形是等边三角形；再由中线、高的性质和三角形内角和定理，依次分析各项即可判断。
5．如图，木工师傅从边长为90 cm的正三角形木板上锯出一个正六边形木板，那么正六边形木板的边长为（ ）
A．34 cm B．32 cm C．30 cm D．28 cm
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵正六边形的周长为90×3×=180cm，
∴正六边形的边长是180÷6=30cm．
故应选：C 。
【分析】图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以正六边形的周长是正三角形的周长的，正六边形的周长为90×3×=180cm，所以正六边形的边长是180÷6=30cm．
6．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面的结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
AB=DB ∠ABE=∠DBC BE=BC
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①符合题意；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②符合题意；
在△ABP和△DBQ中，
∠BAP=∠BDQ AB=DB ∠ABP=∠DBQ=60°
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③符合题意；
∵∠DMA=60°，
∴∠AMC=120°，
∴∠AMC+∠PBQ=180°，
∴P、B、Q、M四点共圆，
∵BP=BQ，
∴∠BMP=∠BMQ，
即MB平分∠AMC；
∴④符合题意；
综上所述：正确的结论有4个；
故应选：D 。
【分析】 ①根据等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，根据等式的性质及平角的定义得出∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，从而利用SAS判断出△ABE≌△DBC ；②根据全等三角形对应角相等得出∠BAE=∠BDC，根据外角的定义得出∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，根据等量代换得出∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°；③根据ASA判断出△ABP≌△DBQ，根据全等三角形的对应边相等得出BP=BQ，又∠PBQ=60° ，从而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，得出△BPQ为等边三角形；④首先由∠AMC+∠PBQ=180°得出P、B、Q、M四点共圆，又根据等弦所对的圆周角相等得出∠BMP=∠BMQ，从而得出MB平分∠AMC。
7．（2017八上·宜城期末）如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选D．
【分析】如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可对称结论．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC等于（ ）
A．6 B．6 C．6 D．12
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，
∴BC=AB，
∵AB=12，
∴BC=6，
故应选：A 。
【分析】根据含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得出结论。
9．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则BC∶AB等于（ ）
A．2∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶3
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3 ，
∴∠B =2∠A， ∠C=3∠A ，
又∵∠A+ ∠B +∠C= 180° ，
∴ ∠A+2∠A+3∠A=180° ，
∴∠A=30° ，
∴∠C=90° ，
∴ BC：AB=1：2 。
故应选 ：B .
【分析】根据∠A：∠B：∠C=1：2：3 ，从而得∠B =2∠A， ∠C=3∠A ，根据三角形的内角和得出 ∠A+2∠A+3∠A=180° ，从而得出三个内角的度数，根据含30°角的直角三角形边之间的关系得出BC：AB=1：2 。
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是线段BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
【答案】D
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90° ，∠B=30° ，
∴ AB=2AC=7 ，
∵ 点P是线段BC边上的动点 ，
∴ AC＜AP＜AB ，
即3＜AP＜7 .
故应选：D 。
【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6，可知AP最大不能大于6。
11．（2016八上·徐闻期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（ ）
A．6 B．6 C．9 D．3
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6，
∴BC=9，
故选C．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果．
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为D，若BE=6 cm，则AC等于（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解 ：∵DE是AB的中垂线，BE=6 cm ，
∴ AE=BE=6cm ，
∴ ∠BAE=∠B=15° ，
∴ ∠AEC=∠B+∠BAE=30° ，
在Rt△AEC中，∠C=90°，∠AEC=30° ，
∴ AC=AE=3cm .
故应选 ：D .
【分析】根据中垂线的性质定理得出 AE=BE=6cm ，根据等边对等角得出∠BAE=∠B=15° ，根据三角形的外角性质得出∠AEC=∠B+∠BAE=30° ，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AC的长度。
13．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；邻补角
【解析】【解答】解：过C作CM⊥AB于M则CM=h，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴h=CM=BC=4m，
故应选：B 。
【分析】过C作CM⊥AB于M则CM=h，∠CMB=90°，根据邻补角的定义得出∠CBM=30°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出h=CM=BC=4m。
14．如图，一棵大树在一次强台风中从离地面5 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10m B．15m C．25m D．30m
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=5，∠A=30° ，
∴AB=10，
∴大树的高度为10+5=15m．
故应选：B
【分析】根据含30角的直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半得出AB的长度，进而根据BC+AC=大树的高度计算出答案。
三、解答题
15．如图,在△ABC中,∠ACB=120°,CD平分∠ACB,AE∥DC,交BC的延长线于点E.
求证:△ACE是等边三角形.
【答案】证明:∵CD平分∠ACB,∠ACB=120° ，∴∠BCD=∠ACD=60°.∵AE∥DC,∴∠CAE=∠ACD=60°,∠E=∠BCD=60°.∴∠CAE=∠E=60°.∵∠ACB=120°,∴∠ACE=60°.∴∠CAE=∠E=∠ACE=60°.∴△ACE为等边三角形
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠BCD=∠ACD=60°，根据二直线平行，同位角相等，内错角相等，得出∠CAE=∠ACD=60°,∠E=∠BCD=60°，根据邻补角得出∠ACE=60°，从而根据等量代换得出∠CAE=∠E=∠ACE=60°，根据三个内角都相等的三角形是等边三角形得出△ACE为等边三角形。
16．如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE=CF.求证:△DEF是等边三角形.
【答案】证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=CA.∵AD=BE=CF,∴BD=CE=AF.∴△BDE≌△CEF≌△AFD(SAS).∴DE=EF=FD.∴△DEF是等边三角形 。
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=CA，又AD=BE=CF,根据等式的性质得出BD=CE=AF，从而利用SAS判断出△BDE≌△CEF≌△AFD，根据全等三角形对应边相等得出DE=EF=FD，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△DEF是等边三角形。
17．如图,在等边三角形ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB交BC于点D,OE∥AC交BC于点E.
（1）试判断△ODE的形状,并说明你的理由;
（2）若BC=10,求△ODE的周长.
【答案】（1）解：△ODE是等边三角形.理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵OD∥AB,OE∥AC,
∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°.
∴∠DOE=60°.
∴∠DOE=∠ODE=∠OED.
∴△ODE是等边三角形 。
（2）解：∵BO平分∠ABC,且∠ABC=60°,∴∠OBD=30°.
∴∠BOD=∠ODE-∠OBD=60°-30°=30°.
∴∠OBD=∠BOD.
∴BD=OD.
同理可得:CE=OE.
∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）△ODE是等边三角形.理由如下:根据等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，根据二直线平行，同位角相等得出∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°，根据三角形的内角和得出∠DOE=60°，从而得出∠DOE=∠ODE=∠OED，根据三个内角都相等的三角形是等边三角形得出△ODE是等边三角形；
（2）根据角平分线的定义得出∠OBD=30°，根据三角形的外角定理得出∠BOD=∠ODE-∠OBD=60°-30°=30°，从而得出∠OBD=∠BOD，根据等角对等边得出BD=OD，同理可得:CE=OE，根据△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC得出结论。
18．如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数;
（2）若CD=2,求DF的长.
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.
∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.
∴∠F=90°-∠EDC=30° 。
（2）解：∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,∴∠DEC=60°.
∴△EDC是等边三角形.
∴DE=DC=2.
∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=4 。
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质得出∠B=60°，根据二直线平行同位角相等得出∠EDC=∠B=60°，根据垂直的定义得出∠DEF=90°，从而根据直角三角形的两锐角互余得出∠F=90°-∠EDC=30° ；
（2）根据三角形的内角和得出∠DEC=60°，根据三内角相等的三角形是等边三角形得出△EDC是等边三角形，根据等边三角形三边相等得出DE=DC=2，根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出DF=2DE=4 。
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