2020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第14讲 二次根式的四则运算
一、单选题
1．（2019八下·左贡期中）二次根式：① ； ② ； ③ ； ④ 中，与 是同类二次根式的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】① =2 ； ② =2； ③ =3 ； ④ =
所以与 是同类二次根式的是①和③
故答案为：B
【分析】将每一个二次根式化为最简二次根式，被开方数相同的即是同类二次根式，据此判断即可.
2．（2020八下·高新期中）下列二次根式： ， ， ， ， ， ，是最简二次根式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，,为最简二次根式，
=，，-3=-3|x|，不是最简二次根式。
故答案为：B.
【分析】根据最简二次根式的含义和性质进行判断即可得到答案。
3．（2020八上·滨州期末）计算： 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的乘除混法法则计算即可。
4．（2019八下·合肥期中）如果最简根式 和 是同类二次根式，那么a、b的值是（ ）
A．a＝0，b＝2 B．a＝2，b＝0
C．a＝－1，b＝1 D．a＝1，b＝－2
【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简根式 和 是同类二次根式
∴ ，解得，
故答案为：A．
【分析】根据同类二次根式的定义，列方程组求解．
5．（2020八下·铁东期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵两个空白小正方形的面积是 、
∴两个空白小正方形的边长是 、
∴大正方形的边长是
∴大正方形的面积是
∴阴影部分的面积是 .
故答案为：A
【分析】根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案.
6．（2019八下·铜陵期末）设5﹣ 的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b的值为（ ）
A．1+ B．﹣1+ C．﹣1﹣ D．1﹣
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值；二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜ ＜3，
∴﹣3＜- ＜﹣2．
∴2＜5﹣ ＜3．
∴a＝2，
b＝5﹣ ﹣2＝3﹣ ，
∴a﹣b＝2﹣3+ ＝﹣1+ ．
故答案为：B．
【分析】先估计 的大致范围，从而得5﹣ 的范围，进而可得a，b的值，即可求解．
7．（2020八下·杭州期中）设 =m， =n，则 可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵
∴.
故答案为：A.
【分析】将转化为，然后代入即可。
8．（2019八下·余姚期末）设a= ，b= ，c= ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b>c>a B．b>a>c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】B
【知识点】最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：,
由 ， 则b>a, 由, 则b>c, ∴b最大， 又∵ ,则a>c. 故b>a>c.
故答案为:B
【分析】先把已知量化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小，最大值比其他任何数都大，找出最大值，以此类推找出次大值和最小值.
9．（2019八下·鹿邑期中）已知 ， ，则 的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．5
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵ ， ，
∴（ ）2
= + +2
=
=
=
=25,
∵ >0，
∴ =5.
故答案为：D.
【分析】利用求平方法将代数式转化为，再整体代入求值，然后开算术平方根即可。
10．若0＜a＜1，则化简 的结果是（ ）
A．﹣2a B．2a C．﹣ D．
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵（a﹣ ）2+4＝a2+2+ ＝（a+ ）2，（a+ ）2﹣4＝a2﹣2+ ＝（a﹣ ）2，
∴原式＝ + ；
∵0＜a＜1，
∴a+ ＞0，a﹣ ＝ ＜0；
∴原式＝ + ＝a+ ﹣（a﹣ ）＝ ，
故答案为：D．
【分析】根据a的范围，可以分别将二次根式中的被开方数进行化简，求出结果即可。
11．△ABC的两边长分别为2和2 ，第三边上的高等于 ，则△ABC的面积是（ ）
A． B．2 C． 或2 D．不能确定
【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：如图1，
根据题意，AB=2、AC=2 ，AD= ，
∴BD= =1，CD= =3，
则S△ABC= ×（1+3）× =2 ；
如图2，
S△ABC= ×（3﹣1）× = ，
故选：C．
【分析】根据点D在线段BC上和点D在线段CB延长线上，分别求出BD、CD的长，即可求得底边BC，从而求得面积．
12．已知 ，则 的值为（ ）
A． B．±2 C．± D．
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴（x+ ）2=7
∴x2+ =5
（x﹣ ）2=x2+ ﹣2=5﹣2=3，
x﹣ =± ．
故选：C．
【分析】把 的两边平方，得出x2+ 的数值，再把 两边平方，代入x2+ 的数值，进一步开方得出结果即可．
二、填空题
13．（2020八上·石景山期末）对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算如下： ，如 ，那么812的运算结果为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】8 12＝ = =
故答案为： ．
【分析】按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可．
14．（2019八下·硚口月考）比较大小：2 3 ；若 是正整数，则整数n的最小值为 ；已知 是整数，则满足条件的最小正整数a的值是 .
【答案】＜；3；5
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵
∴
∵ ，n是一个正整数， 是整数，
∴n的最小值是3.
∵20a=22×5a.
∴整数a的最小值为5.
故答案是：＜，3，5.
【分析】将根号外的还原到根号内比较即可；先化简和 和 然后再利用其为整数，确定n和a的值.
15．已知：m+n＝10，mn＝9，则 ＝ ．
【答案】±
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵m+n＝10，mn＝9，
∴
＝
＝
＝ ，
∴ ＝± ．
故答案为：± 。
【分析】将代数式进行平方，将m+n和mn的值代入进行求值，将所得的数开方即可。
16．观察分析下列数据，寻找规律：0，- ， ，- ，2 ，-5， ，…则第100个数据应是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：第一个数据为： ，第二个数据为：- ，第三个数据为： ，第四个数据为：- …
从而发现偶数为负，奇数为正，且被开方数比前一个数的被开方数大5，
故可得第n个数据为：（-1）n+1 ，
则第100个数据为：- =-3 ．
故答案为：-3
【分析】本题先通过对已知数据统一形式，即可从中找出规律，从而写出结果。
17．若 =3﹣x，则化简 ﹣ = ．
【答案】-2
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：由 =3﹣x，得
x≤3．
﹣ =5﹣x﹣（7﹣x）=﹣2，
故答案为：﹣2．
【分析】根据二次根式的性质，可得x≤3，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案．
18．已知a+b=﹣5，ab=2，且a≠b，则化简b +a = ．
【答案】﹣
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵a+b=﹣5，ab=2，
∴b +a =﹣b ﹣
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【分析】首先化简二次根式，进而将已知代入求出答案．
19．已知x= ，y= ，则x与y之间的大小关系是 ．
【答案】x＜y
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵x= ，y= ，
∴x=﹣（ ）=﹣ ，y=﹣（ ）=﹣ ，
∴﹣x= ，﹣y= ，
∵ ＞ ， ＜ ，
∴﹣y ＜﹣x，
∴﹣y＜﹣x，
∴x＜y．
故答案为：x＜y．
【分析】首先对x和y的式子进行变形推出，x=﹣（ ）=﹣ ，可得﹣x= ，y=﹣（ ）=﹣ ，可得﹣y= ，然后根据 ＞ ， ＜ ，通过等量代换推出﹣y ＜﹣x，即可推出﹣y＜﹣x，根据不等式的性质，即可求出x＜y．
20．已知a、b为有理数，m、n分别表示 的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】 < < ，所以2< <3，所以m=2，n= -2=3- ，所以由amn+bn2=1，得2（3- ）a+(3－ ) 2 b=1，整理得（6a+16b)-(2a+6b) =1，因为a、b为有理数，所以得6a+16b=1，2a+6b=0，解得a= ，b= ，所以2a+b=2× － = .
【分析】能够计算m、n的值，并根据已知等式列出关于a、b的等式，正确求解a、b，是求解此题的关键．
三、解答题
21．（2020八下·广州期中）计算
（1）
（2）
【答案】（1）
=
=
（2）
=
=
=
= ．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求解；（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解．
22．（2019八上·丹东期中）求 的值.
解：设x= ，两边平方得： ，即 ，x2=10
∴x= .
∵ ＞0，∴ = .
请利用上述方法，求 的值.
【答案】解：设x= + ，
两边平方得：x2=（ ）2+（ ）2+2 ，
即x2=4+ +4﹣ +6，
x2=14
∴x=± .
∵ + ＞0，∴x= .
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用平方法可求出x2，再根据二次根式的非负性，可得到x的值，即可求解。
23．（2020八下·甘井子月考）现有一块长为 、宽为 的木板，能否在这块木板上截出两个面积是 和 的正方形木板？
【答案】解：∵两个面积是 和 的正方形木板的边长是 和 ，
；
∵ ，
∴ ；
答：能够在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板.
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是 和 ，显然只需比较两个正方形的边长的和与7.5的大小即可.
24．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠B=45°， ， ．求四边形ABCD的面积．
【答案】解：AD和BC的延长线相交于E点，如图，
∵∠A=∠BCD=90°，∠B=45°，
∴△ABE和△CDE都为等腰直角三角形，
∴S△ABE= AB2= ×（2 ）2=12，S△CDE= CD2= ×（ ）2= ，
∴四边形ABCD的面积=12﹣ = ．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】AD和BC的延长线相交于E点，根据条件易判断△ABE和△CDE都为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质和三角形面积公式得到S△ABE= AB2=12，S△CDE= CD2= ，然后求它们的差即可．
25．如图，B地在A地的正东方向，两地相距 km．A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，且A，B两地到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处，至上午8：20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速为110km/h．问：该车是否超速行驶？
【答案】解：如图，AB=28 ，∠P=45°，∠PAC=90°，∠ABQ=45°，
∴∠ACP=45°，
∴∠BCQ=45°，
作AH⊥PQ于H，则AH=BQ，
在△ACH和△BCQ中
，
∴△ACH≌△BCQ（AAS），
∴AC=BC，
∴AC=BC= AB=14 ，
∴PC= AC=28，CQ= =14，
∴PQ=PC+CQ=42，
∴该车的速度= =126（km/h）
∵126km/h＞110km/h，
∴该车超速行驶了．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】根据题意得到AB=28 ，∠P=45°，∠PAC=90°，∠ABQ=45°，则∠ACP=45°，∠BCQ=45°，作AH⊥PQ于H，根据题意有AH=BQ，再证明△ACH≌△BCQ，得到AC=BC= AB=14 ，根据等腰直角三角形的性质得PC= AC=28，CQ= =14，所以PQ=PC+CQ=42，然后根据速度公式计算出该车的速度=126（km/h），再与110km/h比较即可判断该车超速行驶了．
26．有一辆装货的汽车，为了使一批货物进入车厢，使用了如图所示的架子．已知AC的3.0m，BC=1.0m．
（1）求AB的长为多少？（提示：AC2+BC2=AB2）
（2）如果架子的宽为2m，那么想在这个架子的四周包括地面包一层铁皮，至少需要多少m2的铁皮？
【答案】（1）解：在Rt△ACB中，AC=3.0m，BC=1.0m．
∴AB= = ≈3.2（m）
（2）解：3.2×2+2× ×1.0×3.0+1.0×2=11.4，
即想在这个架子的四周包括地面包一层铁皮，至少需要11.4m2的铁皮
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算AB的长；（2）根据三角形面积公式和矩形面积公式计算这个架子的四周面积．
27．（2020八下·高港期中）阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简 ．
解：将分子、分母同乘以 得： ．
（1） 类比应用：
Ⅰ.化简： ；
Ⅱ.化简： ．
（2）拓展延伸：
宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
Ⅰ.黄金矩形ABCD的长BC= ▲ ；
Ⅱ.如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
Ⅲ.在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ▲ ．
【答案】（1）；2
（2）① ； ②解：矩形DCEF为黄金矩形，理由是： 由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1， 根据黄金矩形的性质可得：AD=BC= ， ∴FD=EC=AD-AF= = ， ∴ = ，
故矩形DCEF为黄金矩形；
③
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）类比应用：
Ⅰ.根据题意可得：
= ；
Ⅱ.根据题意可得：
=
=
=
=2；
（ 2 ）拓展延伸：
Ⅰ.∵宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形，
若黄金矩形ABCD的宽AB=1，
则黄金矩形ABCD的长BC= = = ；
Ⅲ.连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，
∵AB=EF=1，AD= ，
∴AE= ，
在△AED中，
S△AED = ，
即 ，则 ，
解得DG= ，
∴点D到线段AE的距离为 .
【分析】（1）类比应用：Ⅰ.仿照题干中的过程进行计算；Ⅱ.仿照题干中的过程进行计算；（2）拓展延伸：Ⅰ.根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算；Ⅱ.根据题意算出AD的长，从而得出DF，证明DF和EF的比值为 即可；Ⅲ.连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据△AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可.
1 / 12020年暑期衔接训练青岛版数学八年级下册：第14讲 二次根式的四则运算
一、单选题
1．（2019八下·左贡期中）二次根式：① ； ② ； ③ ； ④ 中，与 是同类二次根式的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
2．（2020八下·高新期中）下列二次根式： ， ， ， ， ， ，是最简二次根式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2020八上·滨州期末）计算： 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2019八下·合肥期中）如果最简根式 和 是同类二次根式，那么a、b的值是（ ）
A．a＝0，b＝2 B．a＝2，b＝0
C．a＝－1，b＝1 D．a＝1，b＝－2
5．（2020八下·铁东期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019八下·铜陵期末）设5﹣ 的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b的值为（ ）
A．1+ B．﹣1+ C．﹣1﹣ D．1﹣
7．（2020八下·杭州期中）设 =m， =n，则 可以表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019八下·余姚期末）设a= ，b= ，c= ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b>c>a B．b>a>c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
9．（2019八下·鹿邑期中）已知 ， ，则 的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．5
10．若0＜a＜1，则化简 的结果是（ ）
A．﹣2a B．2a C．﹣ D．
11．△ABC的两边长分别为2和2 ，第三边上的高等于 ，则△ABC的面积是（ ）
A． B．2 C． 或2 D．不能确定
12．已知 ，则 的值为（ ）
A． B．±2 C．± D．
二、填空题
13．（2020八上·石景山期末）对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算如下： ，如 ，那么812的运算结果为 ．
14．（2019八下·硚口月考）比较大小：2 3 ；若 是正整数，则整数n的最小值为 ；已知 是整数，则满足条件的最小正整数a的值是 .
15．已知：m+n＝10，mn＝9，则 ＝ ．
16．观察分析下列数据，寻找规律：0，- ， ，- ，2 ，-5， ，…则第100个数据应是 ．
17．若 =3﹣x，则化简 ﹣ = ．
18．已知a+b=﹣5，ab=2，且a≠b，则化简b +a = ．
19．已知x= ，y= ，则x与y之间的大小关系是 ．
20．已知a、b为有理数，m、n分别表示 的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．
三、解答题
21．（2020八下·广州期中）计算
（1）
（2）
22．（2019八上·丹东期中）求 的值.
解：设x= ，两边平方得： ，即 ，x2=10
∴x= .
∵ ＞0，∴ = .
请利用上述方法，求 的值.
23．（2020八下·甘井子月考）现有一块长为 、宽为 的木板，能否在这块木板上截出两个面积是 和 的正方形木板？
24．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠B=45°， ， ．求四边形ABCD的面积．
25．如图，B地在A地的正东方向，两地相距 km．A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，且A，B两地到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处，至上午8：20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速为110km/h．问：该车是否超速行驶？
26．有一辆装货的汽车，为了使一批货物进入车厢，使用了如图所示的架子．已知AC的3.0m，BC=1.0m．
（1）求AB的长为多少？（提示：AC2+BC2=AB2）
（2）如果架子的宽为2m，那么想在这个架子的四周包括地面包一层铁皮，至少需要多少m2的铁皮？
27．（2020八下·高港期中）阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简 ．
解：将分子、分母同乘以 得： ．
（1） 类比应用：
Ⅰ.化简： ；
Ⅱ.化简： ．
（2）拓展延伸：
宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
Ⅰ.黄金矩形ABCD的长BC= ▲ ；
Ⅱ.如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
Ⅲ.在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】① =2 ； ② =2； ③ =3 ； ④ =
所以与 是同类二次根式的是①和③
故答案为：B
【分析】将每一个二次根式化为最简二次根式，被开方数相同的即是同类二次根式，据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，,为最简二次根式，
=，，-3=-3|x|，不是最简二次根式。
故答案为：B.
【分析】根据最简二次根式的含义和性质进行判断即可得到答案。
3．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的乘除混法法则计算即可。
4．【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简根式 和 是同类二次根式
∴ ，解得，
故答案为：A．
【分析】根据同类二次根式的定义，列方程组求解．
5．【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵两个空白小正方形的面积是 、
∴两个空白小正方形的边长是 、
∴大正方形的边长是
∴大正方形的面积是
∴阴影部分的面积是 .
故答案为：A
【分析】根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值；二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜ ＜3，
∴﹣3＜- ＜﹣2．
∴2＜5﹣ ＜3．
∴a＝2，
b＝5﹣ ﹣2＝3﹣ ，
∴a﹣b＝2﹣3+ ＝﹣1+ ．
故答案为：B．
【分析】先估计 的大致范围，从而得5﹣ 的范围，进而可得a，b的值，即可求解．
7．【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵
∴.
故答案为：A.
【分析】将转化为，然后代入即可。
8．【答案】B
【知识点】最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：,
由 ， 则b>a, 由, 则b>c, ∴b最大， 又∵ ,则a>c. 故b>a>c.
故答案为:B
【分析】先把已知量化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小，最大值比其他任何数都大，找出最大值，以此类推找出次大值和最小值.
9．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵ ， ，
∴（ ）2
= + +2
=
=
=
=25,
∵ >0，
∴ =5.
故答案为：D.
【分析】利用求平方法将代数式转化为，再整体代入求值，然后开算术平方根即可。
10．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵（a﹣ ）2+4＝a2+2+ ＝（a+ ）2，（a+ ）2﹣4＝a2﹣2+ ＝（a﹣ ）2，
∴原式＝ + ；
∵0＜a＜1，
∴a+ ＞0，a﹣ ＝ ＜0；
∴原式＝ + ＝a+ ﹣（a﹣ ）＝ ，
故答案为：D．
【分析】根据a的范围，可以分别将二次根式中的被开方数进行化简，求出结果即可。
11．【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：如图1，
根据题意，AB=2、AC=2 ，AD= ，
∴BD= =1，CD= =3，
则S△ABC= ×（1+3）× =2 ；
如图2，
S△ABC= ×（3﹣1）× = ，
故选：C．
【分析】根据点D在线段BC上和点D在线段CB延长线上，分别求出BD、CD的长，即可求得底边BC，从而求得面积．
12．【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴（x+ ）2=7
∴x2+ =5
（x﹣ ）2=x2+ ﹣2=5﹣2=3，
x﹣ =± ．
故选：C．
【分析】把 的两边平方，得出x2+ 的数值，再把 两边平方，代入x2+ 的数值，进一步开方得出结果即可．
13．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】8 12＝ = =
故答案为： ．
【分析】按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可．
14．【答案】＜；3；5
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵
∴
∵ ，n是一个正整数， 是整数，
∴n的最小值是3.
∵20a=22×5a.
∴整数a的最小值为5.
故答案是：＜，3，5.
【分析】将根号外的还原到根号内比较即可；先化简和 和 然后再利用其为整数，确定n和a的值.
15．【答案】±
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵m+n＝10，mn＝9，
∴
＝
＝
＝ ，
∴ ＝± ．
故答案为：± 。
【分析】将代数式进行平方，将m+n和mn的值代入进行求值，将所得的数开方即可。
16．【答案】
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：第一个数据为： ，第二个数据为：- ，第三个数据为： ，第四个数据为：- …
从而发现偶数为负，奇数为正，且被开方数比前一个数的被开方数大5，
故可得第n个数据为：（-1）n+1 ，
则第100个数据为：- =-3 ．
故答案为：-3
【分析】本题先通过对已知数据统一形式，即可从中找出规律，从而写出结果。
17．【答案】-2
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：由 =3﹣x，得
x≤3．
﹣ =5﹣x﹣（7﹣x）=﹣2，
故答案为：﹣2．
【分析】根据二次根式的性质，可得x≤3，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案．
18．【答案】﹣
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵a+b=﹣5，ab=2，
∴b +a =﹣b ﹣
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【分析】首先化简二次根式，进而将已知代入求出答案．
19．【答案】x＜y
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵x= ，y= ，
∴x=﹣（ ）=﹣ ，y=﹣（ ）=﹣ ，
∴﹣x= ，﹣y= ，
∵ ＞ ， ＜ ，
∴﹣y ＜﹣x，
∴﹣y＜﹣x，
∴x＜y．
故答案为：x＜y．
【分析】首先对x和y的式子进行变形推出，x=﹣（ ）=﹣ ，可得﹣x= ，y=﹣（ ）=﹣ ，可得﹣y= ，然后根据 ＞ ， ＜ ，通过等量代换推出﹣y ＜﹣x，即可推出﹣y＜﹣x，根据不等式的性质，即可求出x＜y．
20．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】 < < ，所以2< <3，所以m=2，n= -2=3- ，所以由amn+bn2=1，得2（3- ）a+(3－ ) 2 b=1，整理得（6a+16b)-(2a+6b) =1，因为a、b为有理数，所以得6a+16b=1，2a+6b=0，解得a= ，b= ，所以2a+b=2× － = .
【分析】能够计算m、n的值，并根据已知等式列出关于a、b的等式，正确求解a、b，是求解此题的关键．
21．【答案】（1）
=
=
（2）
=
=
=
= ．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求解；（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解．
22．【答案】解：设x= + ，
两边平方得：x2=（ ）2+（ ）2+2 ，
即x2=4+ +4﹣ +6，
x2=14
∴x=± .
∵ + ＞0，∴x= .
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用平方法可求出x2，再根据二次根式的非负性，可得到x的值，即可求解。
23．【答案】解：∵两个面积是 和 的正方形木板的边长是 和 ，
；
∵ ，
∴ ；
答：能够在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板.
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是 和 ，显然只需比较两个正方形的边长的和与7.5的大小即可.
24．【答案】解：AD和BC的延长线相交于E点，如图，
∵∠A=∠BCD=90°，∠B=45°，
∴△ABE和△CDE都为等腰直角三角形，
∴S△ABE= AB2= ×（2 ）2=12，S△CDE= CD2= ×（ ）2= ，
∴四边形ABCD的面积=12﹣ = ．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】AD和BC的延长线相交于E点，根据条件易判断△ABE和△CDE都为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质和三角形面积公式得到S△ABE= AB2=12，S△CDE= CD2= ，然后求它们的差即可．
25．【答案】解：如图，AB=28 ，∠P=45°，∠PAC=90°，∠ABQ=45°，
∴∠ACP=45°，
∴∠BCQ=45°，
作AH⊥PQ于H，则AH=BQ，
在△ACH和△BCQ中
，
∴△ACH≌△BCQ（AAS），
∴AC=BC，
∴AC=BC= AB=14 ，
∴PC= AC=28，CQ= =14，
∴PQ=PC+CQ=42，
∴该车的速度= =126（km/h）
∵126km/h＞110km/h，
∴该车超速行驶了．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】根据题意得到AB=28 ，∠P=45°，∠PAC=90°，∠ABQ=45°，则∠ACP=45°，∠BCQ=45°，作AH⊥PQ于H，根据题意有AH=BQ，再证明△ACH≌△BCQ，得到AC=BC= AB=14 ，根据等腰直角三角形的性质得PC= AC=28，CQ= =14，所以PQ=PC+CQ=42，然后根据速度公式计算出该车的速度=126（km/h），再与110km/h比较即可判断该车超速行驶了．
26．【答案】（1）解：在Rt△ACB中，AC=3.0m，BC=1.0m．
∴AB= = ≈3.2（m）
（2）解：3.2×2+2× ×1.0×3.0+1.0×2=11.4，
即想在这个架子的四周包括地面包一层铁皮，至少需要11.4m2的铁皮
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算AB的长；（2）根据三角形面积公式和矩形面积公式计算这个架子的四周面积．
27．【答案】（1）；2
（2）① ； ②解：矩形DCEF为黄金矩形，理由是： 由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1， 根据黄金矩形的性质可得：AD=BC= ， ∴FD=EC=AD-AF= = ， ∴ = ，
故矩形DCEF为黄金矩形；
③
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）类比应用：
Ⅰ.根据题意可得：
= ；
Ⅱ.根据题意可得：
=
=
=
=2；
（ 2 ）拓展延伸：
Ⅰ.∵宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形，
若黄金矩形ABCD的宽AB=1，
则黄金矩形ABCD的长BC= = = ；
Ⅲ.连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，
∵AB=EF=1，AD= ，
∴AE= ，
在△AED中，
S△AED = ，
即 ，则 ，
解得DG= ，
∴点D到线段AE的距离为 .
【分析】（1）类比应用：Ⅰ.仿照题干中的过程进行计算；Ⅱ.仿照题干中的过程进行计算；（2）拓展延伸：Ⅰ.根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算；Ⅱ.根据题意算出AD的长，从而得出DF，证明DF和EF的比值为 即可；Ⅲ.连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据△AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可.
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