2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.3 垂径定理
一、选择题
1．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2 cm B．4 cm C． cm D． cm
2．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
5．如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（2017·昆山模拟）如图，在半径为 的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
7．已知⊙O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
8．如图，⊙O的直径AB=20cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD的长是（ ）
A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm
9．（2017·顺德模拟）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
10．已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP= ，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
11．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O， =90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．
12．在直径为150cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度DC为30cm，那么油面宽度AB是 cm．
13．在半径为20的⊙O中，弦AB=32，点P在弦AB上，且OP=15，则AP= ．
14．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和 ，则∠BAC的度数为 ．
15．已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦AD=2 ，则∠COD的度数为 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm．
三、解答题
17．（2017·全椒模拟）如图，⊙O的半径为2，弦AB=2 ，点C在弦AB上，AC= AB，求OC的长．
18．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过A点．
（Ⅰ）如图①，若⊙O的半径为5，求线段OC的长；
（Ⅱ）如图②，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接BD，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交 于点D，交弦AB于点E，
∵ 折叠后恰好经过圆心，
∴OE=DE，
∵⊙O的半径为4，
∴OE= OD= ×4=2，
∵OD⊥AB，
∴AE= AB，
在Rt△AOE中，
AE= = =2 ．
∴AB=2AE=4 ．
故答案为：B．
【分析】根据半径为4，利用折叠对称的性质，先求出OE的长，再利用垂径定理及勾股定理可求出AB的长。
2．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
设CD=x，
∵OA=OC=5，
∴OD=5﹣x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AB=4，
由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2
∴x=2，
∴CD=2，
答案为：C
【分析】连接半径，构造出直角三角形，利用勾股定理列出方程，求出x=2，即CD=2.
3．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH= OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH= = ，
∴CD=2CH=2 ．
答案为：C．
【分析】过圆心作出垂线，连接半径，构造出直角三角形，求出弦的一半CH ,再求出全长.
4．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM= AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x= ，
∴OA= ×13，
∴⊙O的周长=2OA π=13π，
答案为：B．
【分析】要求圆周长，可求半径，需连半径，设出参数，由勾股定理求出参数，进而求出半径、周长.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB=10，
∵OB=OA=OC=5，
过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，
∵OB⊥CD，
∴∠CEO=90°，
由勾股定理得：CE= = =3，
∵OE⊥CD，OE过O，
∴CD=2CE=6，
∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，
∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，
答案为：C．
【分析】求出过E的最短的弦，就是以OE为弦心距的弦，最长的弦就是直径，在这个范围内取整数,注意对称性.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，
则AE=BE= AB=2，DF=CF= CD=2，
在Rt△OBE中，∵OB= ，BE=2，
∴OE= =1，
同理可得OF=1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
而OE=OF=1，
∴四边形OEPF为正方形，
∴OP= OE= ．
故选B．
【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，根据垂径定理得到AE=BE= AB=2，DF=CF= CD=2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE=1，同理可得OF=1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到OP= OE= ．
7．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
设OC=x，则OA=OD=x+2，
∵OD⊥AB于C，
∴
在Rt△OAC中，OC2+AC2=OA2，即x2+42=（x+2）2，
解得x=3，即OC=3，
∵OC为△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠B=90°，
∴ ．
答案为：A．
【分析】以OC 为未知数，由垂径定理和勾股定理，建立方程，x2+42=（x+2）2，再利用中位线定理求出BE，进而代入三角形面积公式中，求出面积.
8．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
设OE=3x，EB=2x，
∴OB=OC=5x，
∵AB=20
∴10x=20
∴x=2，
∴由勾股定理可知：CE=4x=8，
∴CD=2CE=16
答案为：D
【分析】连接半径，构造出直角三角形，设出参数，根据直径长度列出方程，求出参数，进而求出CE,CD.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，OM= = = =4；
此时OM最短，
当OM是半径时最长，OM=5．
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选B．
【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
10．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接OA、OD，作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，
∵AC⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，
∵OA=OD=2，OP= ，
设OE为x（x＞0），
根据勾股定理得，OF=EP= = ，
在Rt△AOE中，AE= =
∴AC=2AE=2 ，
同理得，BD=2DF=2 =2 ，
又∵任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的 ，
∴S四边形ABCD= AC×BD= ×2 ×2 =2 =2
当x2= 即：x= 时，四边形ABCD的面积最大，等于2 =5．
答案为：B．
【分析】作出弦心距，根据S四边形ABCD=对角线乘积的一半，列出函数关系式，配成顶点式，求出最值.
11．【答案】（32+48π）cm2
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵ =90°，
∴∠AOB=90°，
∴S△AOB= ×8×8=32，
扇形ACB（阴影部分）= =48π，
则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2，
故答案为：（32+48π）cm2．
【分析】可连接半径，弓形ACB胶皮面积可转化为扇形面积加S△AOB，代入公式，即可求出面积.
12．【答案】120
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：则OC⊥AB于点D，OC=OB= ×150=75cm，OD=OC﹣CD=75﹣30=45cm．在直角△OBD中，BD= = =60（cm），
则AB=2BD=120cm．
故答案是：120．
【分析】利用垂径定理可得AB=2BD,再利用勾股定理可求出BD, 进而求出AB.
13．【答案】7或25
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：作OC⊥AB于点C
，
∴AC= AB=16，
OC= =12，又OP=15，
∴PC= =9，
当点P在线段AC上时，AP=16﹣9=7，
当点P在线段BC上时，AP=16+9=25．
故答案为：7或25．
【分析】作出弦心距，分P在弦心距左侧或右侧两种情况讨论.
14．【答案】15°或105°
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE= AC= ，AD= AB= ，
∴sin∠AOE= = ，sin∠AOD= = ，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠BAO=60°，∠CAO=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°﹣45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°．
故答案是：15°或105°．
【分析】可分类考虑AB、AC在圆心同侧或异侧，作出弦心距，利用垂径定理解决.
15．【答案】150°或30°
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，如图所示．
∵OA=OC=AC，
∴∠OAC=60°．
∵AD=2 ，OE⊥AD，
∴AE= ，OE= = ，
∴∠OAD=45°，
∴∠CAD=∠OAC+∠OAD=105°或∠CAD=∠OAC﹣∠OAD=15°，
∴∠COD=360°﹣2×105°=150°或∠COD=2×15°=30°．
故答案为：150°或30°．
【分析】可分类考虑AD、AC在圆心同侧或异侧，作出弦心距，利用垂径定理解决.
16．【答案】3
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AC于点D，
∴AD=CD，
又∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD= BC，
∵BC=6cm，
∴OD=3cm．
故答案为3．
【分析】利用垂径定理可得D是中点，再利用中位线定理，可得BC=2OD.
17．【答案】解：作OH⊥AB于H，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，
∴AH=BH= AB= ×2 = ，
在Rt△BOH中，OB=2，BH= ，
∴OH= =1，
∵AC= AB= ×2 = ，
∴CH=AH﹣AC= ﹣ = ，
在Rt△OHC中，OC= = ．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH= AB= ，再在Rt△BOH中，根据勾股定理得OH=1，由AC= AB得AC= ，则CH=AH﹣AC= ，然后根据勾股定理可计算出OC的长．
18．【答案】解：（Ⅰ）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠B=30°，∴∠AOC=30°+30°=60°，∴∠OAC=90°，∵OA=5，∴OC=2AO=10．（Ⅱ）连接OD，∵∠AOC=60°，AD∥BC，∴∠DAO=∠AOC=60°，∵OD=OA，∴∠ADO=60°，∴∠DOB=∠ADO=60°，∵OD=OB，∴△DOB是等边三角形，∴BD=OB=OA，在Rt△OAC中，OC=2BD，由勾股定理得：AC= BD，∴ = ．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和圆周角定理，证得∠OAC=90°，利用30度角的性质求出OC=2AO=10；（2）连接半径，构造出等边三角形△DOB，进而BD转化为OA，利用三角函数，求出BD：AC=1：.
1 / 12017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.3 垂径定理
一、选择题
1．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2 cm B．4 cm C． cm D． cm
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交 于点D，交弦AB于点E，
∵ 折叠后恰好经过圆心，
∴OE=DE，
∵⊙O的半径为4，
∴OE= OD= ×4=2，
∵OD⊥AB，
∴AE= AB，
在Rt△AOE中，
AE= = =2 ．
∴AB=2AE=4 ．
故答案为：B．
【分析】根据半径为4，利用折叠对称的性质，先求出OE的长，再利用垂径定理及勾股定理可求出AB的长。
2．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
设CD=x，
∵OA=OC=5，
∴OD=5﹣x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AB=4，
由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2
∴x=2，
∴CD=2，
答案为：C
【分析】连接半径，构造出直角三角形，利用勾股定理列出方程，求出x=2，即CD=2.
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH= OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH= = ，
∴CD=2CH=2 ．
答案为：C．
【分析】过圆心作出垂线，连接半径，构造出直角三角形，求出弦的一半CH ,再求出全长.
4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM= AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x= ，
∴OA= ×13，
∴⊙O的周长=2OA π=13π，
答案为：B．
【分析】要求圆周长，可求半径，需连半径，设出参数，由勾股定理求出参数，进而求出半径、周长.
5．如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB=10，
∵OB=OA=OC=5，
过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，
∵OB⊥CD，
∴∠CEO=90°，
由勾股定理得：CE= = =3，
∵OE⊥CD，OE过O，
∴CD=2CE=6，
∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，
∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，
答案为：C．
【分析】求出过E的最短的弦，就是以OE为弦心距的弦，最长的弦就是直径，在这个范围内取整数,注意对称性.
6．（2017·昆山模拟）如图，在半径为 的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，
则AE=BE= AB=2，DF=CF= CD=2，
在Rt△OBE中，∵OB= ，BE=2，
∴OE= =1，
同理可得OF=1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
而OE=OF=1，
∴四边形OEPF为正方形，
∴OP= OE= ．
故选B．
【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图，根据垂径定理得到AE=BE= AB=2，DF=CF= CD=2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE=1，同理可得OF=1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到OP= OE= ．
7．已知⊙O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
设OC=x，则OA=OD=x+2，
∵OD⊥AB于C，
∴
在Rt△OAC中，OC2+AC2=OA2，即x2+42=（x+2）2，
解得x=3，即OC=3，
∵OC为△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠B=90°，
∴ ．
答案为：A．
【分析】以OC 为未知数，由垂径定理和勾股定理，建立方程，x2+42=（x+2）2，再利用中位线定理求出BE，进而代入三角形面积公式中，求出面积.
8．如图，⊙O的直径AB=20cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD的长是（ ）
A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
设OE=3x，EB=2x，
∴OB=OC=5x，
∵AB=20
∴10x=20
∴x=2，
∴由勾股定理可知：CE=4x=8，
∴CD=2CE=16
答案为：D
【分析】连接半径，构造出直角三角形，设出参数，根据直径长度列出方程，求出参数，进而求出CE,CD.
9．（2017·顺德模拟）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，OM= = = =4；
此时OM最短，
当OM是半径时最长，OM=5．
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选B．
【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
10．已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP= ，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接OA、OD，作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，
∵AC⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，
∵OA=OD=2，OP= ，
设OE为x（x＞0），
根据勾股定理得，OF=EP= = ，
在Rt△AOE中，AE= =
∴AC=2AE=2 ，
同理得，BD=2DF=2 =2 ，
又∵任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的 ，
∴S四边形ABCD= AC×BD= ×2 ×2 =2 =2
当x2= 即：x= 时，四边形ABCD的面积最大，等于2 =5．
答案为：B．
【分析】作出弦心距，根据S四边形ABCD=对角线乘积的一半，列出函数关系式，配成顶点式，求出最值.
二、填空题
11．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O， =90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．
【答案】（32+48π）cm2
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵ =90°，
∴∠AOB=90°，
∴S△AOB= ×8×8=32，
扇形ACB（阴影部分）= =48π，
则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2，
故答案为：（32+48π）cm2．
【分析】可连接半径，弓形ACB胶皮面积可转化为扇形面积加S△AOB，代入公式，即可求出面积.
12．在直径为150cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度DC为30cm，那么油面宽度AB是 cm．
【答案】120
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：则OC⊥AB于点D，OC=OB= ×150=75cm，OD=OC﹣CD=75﹣30=45cm．在直角△OBD中，BD= = =60（cm），
则AB=2BD=120cm．
故答案是：120．
【分析】利用垂径定理可得AB=2BD,再利用勾股定理可求出BD, 进而求出AB.
13．在半径为20的⊙O中，弦AB=32，点P在弦AB上，且OP=15，则AP= ．
【答案】7或25
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：作OC⊥AB于点C
，
∴AC= AB=16，
OC= =12，又OP=15，
∴PC= =9，
当点P在线段AC上时，AP=16﹣9=7，
当点P在线段BC上时，AP=16+9=25．
故答案为：7或25．
【分析】作出弦心距，分P在弦心距左侧或右侧两种情况讨论.
14．在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和 ，则∠BAC的度数为 ．
【答案】15°或105°
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE= AC= ，AD= AB= ，
∴sin∠AOE= = ，sin∠AOD= = ，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠BAO=60°，∠CAO=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°﹣45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°．
故答案是：15°或105°．
【分析】可分类考虑AB、AC在圆心同侧或异侧，作出弦心距，利用垂径定理解决.
15．已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦AD=2 ，则∠COD的度数为 ．
【答案】150°或30°
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，如图所示．
∵OA=OC=AC，
∴∠OAC=60°．
∵AD=2 ，OE⊥AD，
∴AE= ，OE= = ，
∴∠OAD=45°，
∴∠CAD=∠OAC+∠OAD=105°或∠CAD=∠OAC﹣∠OAD=15°，
∴∠COD=360°﹣2×105°=150°或∠COD=2×15°=30°．
故答案为：150°或30°．
【分析】可分类考虑AD、AC在圆心同侧或异侧，作出弦心距，利用垂径定理解决.
16．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm．
【答案】3
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AC于点D，
∴AD=CD，
又∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD= BC，
∵BC=6cm，
∴OD=3cm．
故答案为3．
【分析】利用垂径定理可得D是中点，再利用中位线定理，可得BC=2OD.
三、解答题
17．（2017·全椒模拟）如图，⊙O的半径为2，弦AB=2 ，点C在弦AB上，AC= AB，求OC的长．
【答案】解：作OH⊥AB于H，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，
∴AH=BH= AB= ×2 = ，
在Rt△BOH中，OB=2，BH= ，
∴OH= =1，
∵AC= AB= ×2 = ，
∴CH=AH﹣AC= ﹣ = ，
在Rt△OHC中，OC= = ．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH= AB= ，再在Rt△BOH中，根据勾股定理得OH=1，由AC= AB得AC= ，则CH=AH﹣AC= ，然后根据勾股定理可计算出OC的长．
18．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过A点．
（Ⅰ）如图①，若⊙O的半径为5，求线段OC的长；
（Ⅱ）如图②，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接BD，求 的值．
【答案】解：（Ⅰ）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠B=30°，∴∠AOC=30°+30°=60°，∴∠OAC=90°，∵OA=5，∴OC=2AO=10．（Ⅱ）连接OD，∵∠AOC=60°，AD∥BC，∴∠DAO=∠AOC=60°，∵OD=OA，∴∠ADO=60°，∴∠DOB=∠ADO=60°，∵OD=OB，∴△DOB是等边三角形，∴BD=OB=OA，在Rt△OAC中，OC=2BD，由勾股定理得：AC= BD，∴ = ．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和圆周角定理，证得∠OAC=90°，利用30度角的性质求出OC=2AO=10；（2）连接半径，构造出等边三角形△DOB，进而BD转化为OA，利用三角函数，求出BD：AC=1：.
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