数学（苏科版）八年级下册第9章 9.4矩形、菱形、正方形 同步练习
一、单选题
1．下面说法中，正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D．四个角都是直角的四边形是矩形
2．在 ABCD中增加下列条件中的一个，这个四边形就是矩形，则增加的条件是（ ）
A．对角线互相平分 B．AB=BC
C．∠A+∠C=180° D．AB= AC
3．检查一个门框是矩形的方法是（ ）
A．测量两条对角线是否相等 B．测量有三个角是直角
C．测量两条对角线是否互相平分 D．测量两条对角线是否互相垂直
4．在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（ ）
A． 长方形
B． 平行四边形
C． 菱形
D． 直角梯形
5．（2017八下·苏州期中）如图，矩形ABCD对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则AC的为 （ ）
A．4 B．8 C．4 D．10
6．（2017八下·苏州期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°．若△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．25 B．20
C．15 D．10
7．（2017八下·苏州期中）如图，以正方形ABCD的一边向形外作等边△ABE，BD与EC交于点F，则∠AFD等于（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
8．（2017八下·苏州期中）如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且都是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．（2017八下·潍坊开学考）如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．（2017八下·嘉祥期末）如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm
11．（2017八下·杭州开学考）在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=（ ）
A．5 B．4 C．6 D．10
12．（2017八下·海宁开学考）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A． B．y= x+ C． D．
二、填空题
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOD是正三角形，AD=4，则平行四边形ABCD的面积为 ．
14．如图，两条宽度为1的带子，相交成∠α，那么重叠部分（阴影部分）的面积是 ．
15．如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，则∠BCF的度数为 ．
16．在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是 ．
17．一组邻边相等的 是正方形，有一个角是 角的菱形是正方形．
18．（2017八下·苏州期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E点，若∠ADC=130°，
则∠AOE= ．
三、解答题
19．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．问四边形CFDE是正方形吗？请说明理由．
20．如图所示，在Rt△ABC中，CF为直角的平分线，FD⊥CA于D，FE⊥BC于E，则四边形CDFE是怎样的四边形，为什么？
21．如图所示，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．
求证：四边形EFGH是正方形．
22．（2017八下·苏州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、EC．若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
23．（2016八上·兰州期中）正方形的边长为2，建立合适的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个直角的平行四边形是矩形，故错误；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
C、两条对角线互相垂直的四边形可能是梯形等，故错误；
D、四个角都是直角的四边形是矩形，正确，
故选D．
【分析】利用矩形的判定定理及矩形的定义进行判断后即可确定本题的答案．
2．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
可得∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°
故∠B=∠C=90°
增加的条件是∠A+∠C=180°．
故选C．
【分析】根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
3．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形，
∴检查一个门框是矩形的方法是：测量有三个角是直角．
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴检查一个门框是矩形的另一个方法是：先测得门框的两组对边是否分别相等，再测其对角线的是否相等．
故选B．
【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形与有三个角是直角的四边形是矩形，可求得答案．
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；直角梯形
【解析】【解答】解：菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直．
故选：C．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直即可判断．
5．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形ABCD，
∴AC=BD，AC=2OA=2OB
∵∠AOB=60度，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
则AC=2OA=8.
故选B.
【分析】矩形的对角线相等，有一个为60度的等腰三角形是等边三角形.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．则∠BAC=∠BAD＝60°，
又因为AB=BC，
所以△ABC是等边三角形，
则AB=15÷3=5，
菱形ABCD的周长是4×5=20.
故选B.
【分析】根据菱形的性质可知要求周长，则只要求出一条边的长度即可；易得∠BAC=∠BAD＝60°，则△ABC是等边三角形，可求得AB的边长，从而求出菱形的周长.
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形．
∴AD＝CD，∠ADF＝∠CDF=45°．
∴△ADF与△CDF全等．
∴∠AFD＝∠CFD．
∵CB＝CE，∴∠BCE＝∠CEB．
∵∠CBE＝∠ABC＋∠ABE＝90°＋60°＝150°，
∴∠BCE＝15°．
∵∠CBD＝45°，
∴∠CFD＝∠CBD＋∠BCE＝60°．
∴∠AFD＝60°．
故选A.
【分析】根据正方形的性质易求得△ADF与△CDF全等，则∠AFD＝∠CFD．而∠CFD是△BCF是的外角，根据BC=BE求出∠BCE.
8．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设小正方形的边长a，那么矩形的面积=（S△AEF+S△BFG）×2+S四边形EFGH，
即：3a×5a=（2a×a÷2+a×4a÷2）×2+1，
9a2=1，
a=（a＞0），
∴矩形的面积=3a×5a=．
故选D．
【分析】设小正方形的边长为a，分别表示出S△AEF，S△BFG，根据矩形ABCD面积不同的表示方法构造方程.
9．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．
【分析】本题主要根据矩形的性质进行做题．
10．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：
如图，连接AC、BD相交于点O，
∵四边形ABCD的四边相等，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，S四边形ABCD= AC BD，
∴ ×24BD=120，解得BD=10cm，
∴OA=12cm，OB=5cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB= =13（cm），
∴四边形ABCD的周长=4×13=52（cm），
故选A．
【分析】可定四边形ABCD为菱形，连接AC、BD相交于点O，则可求得BD的长，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得AB的长，从而可求得四边形ABCD的周长．
11．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，∵图中的四边形为正方形，
∴∠ABD=90°，AB=DB，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
∵在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC=BE，
∵DE2+BE2=BD2，
∴ED2+AC2=BD2，
∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，
∴S1+S2=1，
同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，
∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
故选C．
【分析】先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有ED2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
12．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB=3，
∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴三角形ABP面积是8÷2+1=5，
∴ BP AB=5，
∴AB=2.5，
∴OA=3﹣2.5=0.5，
由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3）
设直线方程为y=kx+b，则 ，
解得 ．
∴直线l解析式为y= x+ ．
故选B．
【分析】直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，根据待定系数法即可得到该直线l的解析式．
13．【答案】16
【知识点】等边三角形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：作DE⊥AC于E，
∴∠AED=90°．
∵△AOD是正三角形，
∴AD=DO=AO，AO=EO= AO，∠ADO=∠DAO=60°，
∴∠ADE=30°．
∵AD=4，
∴AE=2．
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
DE=2 ，
∴S△AOD= ×4×2 =4 ．
∵四边形ABCD是平行四边，
∴S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB，
∴平行四边形ABCD的面积=4×4 =16 ．
故答案为：16 ．
【分析】作DE⊥AC于E，由等边三角形的性质就可以求出△AOD的面积，在根据平行四边形的对角线分的四个三角形的面积相等就可以求出结论．
14．【答案】
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可知：重叠部分是菱形．
如图，过点D作DE⊥BC的延长线于点E．
∵CE= ，
∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：
×1= ．
故答案为： ．
【分析】重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长CD，再求出面积．
15．【答案】105°
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BQ⊥AC
∵BF∥AC，
∴AO∥BQ 且∠QAB=∠QBA=45°
∴AO=BQ=AQ= AC，
∵AE=AC，
∴AO= AE，
∴∠AEO=30°，
∵BF∥AC，
∴∠CAE=∠AEO=30°，
∵BF∥AC，CF∥AE，
∴∠CFE=∠CAE=30°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF=∠BCA=45°，
∴∠BCF=180°﹣∠CBF﹣∠CFE=180﹣45﹣30=105°．
故答案为：105°．
【分析】首先过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，易得四边形AOBQ是正方形，四边形ACFE是菱形，Rt△AOE中，AE=2AO，即可求得∠AEO=30°，继而求得答案．
16．【答案】矩形
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∴四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩形
【分析】根据四边形的内角和为360就可以求出就可以求出，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，从而得出四边形ABCD是矩形．
17．【答案】矩形；直
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形．
故答案为：矩形，直．
【分析】根据正方形的定义：一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，即可求得答案．
18．【答案】65°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，
∴∠BAD=180°-130°=50°，
∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°．
故答案为：65°．
【分析】根据菱形的特有的对角线平分一组对角为突破口.
19．【答案】证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形DECF为矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，
∴DF=DE，
∴四边形CFDE是正方形
【知识点】角平分线的性质；正方形的判定
【解析】【分析】首先利用垂直的定义证得四边形CFDE是矩形，然后利用角平分线的性质得到DE=DF，从而判定该四边形是正方形．
20．【答案】解：四边形CDFE是正方形
理由如下：
∵FD⊥AC，FE⊥BC，AC⊥BC
∴四边形CDFE是矩形
∵CF平分∠ACB
∴∠FCD=45°
∴CD=DF
∴四边形CDFE是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】由题意知，四边形EFDC是矩形根据等角对等边得到，CD=DF，从而推出四边形CDFE是正方形．
21．【答案】证明：∵矩形的ABCD的外角都是直角，HE，EF都是外角平分线，
∴∠BAE=∠ABE=45°．
∴∠E=90°．
同理，∠F=∠G=90°．
∴四边形EFGH为矩形．
∵AD=BC，∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB=45°，
∴△ADH≌△BCF（AAS）．
∴AH=BF．
又∵∠EAB=∠EBA，
∴AE=BE．
∴AE+AH=EB+BF，即EH=EF．
∴矩形EFGH是正方形
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】由于四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成，故先求出相关角的度数，再根据正方形的判定定理即可证得．
22．【答案】证明：∵AB=AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形ADCE是平行四边形，再证一个角是直角，即可证得.
23．【答案】解：如图，以正方形的两边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，
则正方形ABCO的四个顶点的坐标分别为：
A（0，2），B（2，2），C（2，0），O（0，0）．（答案不唯一）
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质
【解析】【分析】以正方形的一个顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后写出各顶点的坐标即可．
1 / 1数学（苏科版）八年级下册第9章 9.4矩形、菱形、正方形 同步练习
一、单选题
1．下面说法中，正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D．四个角都是直角的四边形是矩形
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个直角的平行四边形是矩形，故错误；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
C、两条对角线互相垂直的四边形可能是梯形等，故错误；
D、四个角都是直角的四边形是矩形，正确，
故选D．
【分析】利用矩形的判定定理及矩形的定义进行判断后即可确定本题的答案．
2．在 ABCD中增加下列条件中的一个，这个四边形就是矩形，则增加的条件是（ ）
A．对角线互相平分 B．AB=BC
C．∠A+∠C=180° D．AB= AC
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
可得∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°
故∠B=∠C=90°
增加的条件是∠A+∠C=180°．
故选C．
【分析】根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
3．检查一个门框是矩形的方法是（ ）
A．测量两条对角线是否相等 B．测量有三个角是直角
C．测量两条对角线是否互相平分 D．测量两条对角线是否互相垂直
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形，
∴检查一个门框是矩形的方法是：测量有三个角是直角．
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴检查一个门框是矩形的另一个方法是：先测得门框的两组对边是否分别相等，再测其对角线的是否相等．
故选B．
【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形与有三个角是直角的四边形是矩形，可求得答案．
4．在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（ ）
A． 长方形
B． 平行四边形
C． 菱形
D． 直角梯形
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；直角梯形
【解析】【解答】解：菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直．
故选：C．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直即可判断．
5．（2017八下·苏州期中）如图，矩形ABCD对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则AC的为 （ ）
A．4 B．8 C．4 D．10
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形ABCD，
∴AC=BD，AC=2OA=2OB
∵∠AOB=60度，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
则AC=2OA=8.
故选B.
【分析】矩形的对角线相等，有一个为60度的等腰三角形是等边三角形.
6．（2017八下·苏州期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°．若△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．25 B．20
C．15 D．10
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．则∠BAC=∠BAD＝60°，
又因为AB=BC，
所以△ABC是等边三角形，
则AB=15÷3=5，
菱形ABCD的周长是4×5=20.
故选B.
【分析】根据菱形的性质可知要求周长，则只要求出一条边的长度即可；易得∠BAC=∠BAD＝60°，则△ABC是等边三角形，可求得AB的边长，从而求出菱形的周长.
7．（2017八下·苏州期中）如图，以正方形ABCD的一边向形外作等边△ABE，BD与EC交于点F，则∠AFD等于（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形．
∴AD＝CD，∠ADF＝∠CDF=45°．
∴△ADF与△CDF全等．
∴∠AFD＝∠CFD．
∵CB＝CE，∴∠BCE＝∠CEB．
∵∠CBE＝∠ABC＋∠ABE＝90°＋60°＝150°，
∴∠BCE＝15°．
∵∠CBD＝45°，
∴∠CFD＝∠CBD＋∠BCE＝60°．
∴∠AFD＝60°．
故选A.
【分析】根据正方形的性质易求得△ADF与△CDF全等，则∠AFD＝∠CFD．而∠CFD是△BCF是的外角，根据BC=BE求出∠BCE.
8．（2017八下·苏州期中）如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且都是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设小正方形的边长a，那么矩形的面积=（S△AEF+S△BFG）×2+S四边形EFGH，
即：3a×5a=（2a×a÷2+a×4a÷2）×2+1，
9a2=1，
a=（a＞0），
∴矩形的面积=3a×5a=．
故选D．
【分析】设小正方形的边长为a，分别表示出S△AEF，S△BFG，根据矩形ABCD面积不同的表示方法构造方程.
9．（2017八下·潍坊开学考）如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．
【分析】本题主要根据矩形的性质进行做题．
10．（2017八下·嘉祥期末）如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：
如图，连接AC、BD相交于点O，
∵四边形ABCD的四边相等，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，S四边形ABCD= AC BD，
∴ ×24BD=120，解得BD=10cm，
∴OA=12cm，OB=5cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB= =13（cm），
∴四边形ABCD的周长=4×13=52（cm），
故选A．
【分析】可定四边形ABCD为菱形，连接AC、BD相交于点O，则可求得BD的长，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得AB的长，从而可求得四边形ABCD的周长．
11．（2017八下·杭州开学考）在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=（ ）
A．5 B．4 C．6 D．10
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，∵图中的四边形为正方形，
∴∠ABD=90°，AB=DB，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
∵在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC=BE，
∵DE2+BE2=BD2，
∴ED2+AC2=BD2，
∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，
∴S1+S2=1，
同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，
∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
故选C．
【分析】先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有ED2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
12．（2017八下·海宁开学考）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A． B．y= x+ C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB=3，
∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴三角形ABP面积是8÷2+1=5，
∴ BP AB=5，
∴AB=2.5，
∴OA=3﹣2.5=0.5，
由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3）
设直线方程为y=kx+b，则 ，
解得 ．
∴直线l解析式为y= x+ ．
故选B．
【分析】直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，根据待定系数法即可得到该直线l的解析式．
二、填空题
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOD是正三角形，AD=4，则平行四边形ABCD的面积为 ．
【答案】16
【知识点】等边三角形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：作DE⊥AC于E，
∴∠AED=90°．
∵△AOD是正三角形，
∴AD=DO=AO，AO=EO= AO，∠ADO=∠DAO=60°，
∴∠ADE=30°．
∵AD=4，
∴AE=2．
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
DE=2 ，
∴S△AOD= ×4×2 =4 ．
∵四边形ABCD是平行四边，
∴S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB，
∴平行四边形ABCD的面积=4×4 =16 ．
故答案为：16 ．
【分析】作DE⊥AC于E，由等边三角形的性质就可以求出△AOD的面积，在根据平行四边形的对角线分的四个三角形的面积相等就可以求出结论．
14．如图，两条宽度为1的带子，相交成∠α，那么重叠部分（阴影部分）的面积是 ．
【答案】
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可知：重叠部分是菱形．
如图，过点D作DE⊥BC的延长线于点E．
∵CE= ，
∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：
×1= ．
故答案为： ．
【分析】重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长CD，再求出面积．
15．如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，则∠BCF的度数为 ．
【答案】105°
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BQ⊥AC
∵BF∥AC，
∴AO∥BQ 且∠QAB=∠QBA=45°
∴AO=BQ=AQ= AC，
∵AE=AC，
∴AO= AE，
∴∠AEO=30°，
∵BF∥AC，
∴∠CAE=∠AEO=30°，
∵BF∥AC，CF∥AE，
∴∠CFE=∠CAE=30°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF=∠BCA=45°，
∴∠BCF=180°﹣∠CBF﹣∠CFE=180﹣45﹣30=105°．
故答案为：105°．
【分析】首先过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，易得四边形AOBQ是正方形，四边形ACFE是菱形，Rt△AOE中，AE=2AO，即可求得∠AEO=30°，继而求得答案．
16．在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是 ．
【答案】矩形
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∴四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩形
【分析】根据四边形的内角和为360就可以求出就可以求出，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，从而得出四边形ABCD是矩形．
17．一组邻边相等的 是正方形，有一个角是 角的菱形是正方形．
【答案】矩形；直
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形．
故答案为：矩形，直．
【分析】根据正方形的定义：一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，即可求得答案．
18．（2017八下·苏州期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E点，若∠ADC=130°，
则∠AOE= ．
【答案】65°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，
∴∠BAD=180°-130°=50°，
∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°．
故答案为：65°．
【分析】根据菱形的特有的对角线平分一组对角为突破口.
三、解答题
19．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．问四边形CFDE是正方形吗？请说明理由．
【答案】证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形DECF为矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，
∴DF=DE，
∴四边形CFDE是正方形
【知识点】角平分线的性质；正方形的判定
【解析】【分析】首先利用垂直的定义证得四边形CFDE是矩形，然后利用角平分线的性质得到DE=DF，从而判定该四边形是正方形．
20．如图所示，在Rt△ABC中，CF为直角的平分线，FD⊥CA于D，FE⊥BC于E，则四边形CDFE是怎样的四边形，为什么？
【答案】解：四边形CDFE是正方形
理由如下：
∵FD⊥AC，FE⊥BC，AC⊥BC
∴四边形CDFE是矩形
∵CF平分∠ACB
∴∠FCD=45°
∴CD=DF
∴四边形CDFE是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】由题意知，四边形EFDC是矩形根据等角对等边得到，CD=DF，从而推出四边形CDFE是正方形．
21．如图所示，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．
求证：四边形EFGH是正方形．
【答案】证明：∵矩形的ABCD的外角都是直角，HE，EF都是外角平分线，
∴∠BAE=∠ABE=45°．
∴∠E=90°．
同理，∠F=∠G=90°．
∴四边形EFGH为矩形．
∵AD=BC，∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB=45°，
∴△ADH≌△BCF（AAS）．
∴AH=BF．
又∵∠EAB=∠EBA，
∴AE=BE．
∴AE+AH=EB+BF，即EH=EF．
∴矩形EFGH是正方形
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】由于四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成，故先求出相关角的度数，再根据正方形的判定定理即可证得．
22．（2017八下·苏州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、EC．若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】证明：∵AB=AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形ADCE是平行四边形，再证一个角是直角，即可证得.
23．（2016八上·兰州期中）正方形的边长为2，建立合适的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．
【答案】解：如图，以正方形的两边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，
则正方形ABCO的四个顶点的坐标分别为：
A（0，2），B（2，2），C（2，0），O（0，0）．（答案不唯一）
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质
【解析】【分析】以正方形的一个顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后写出各顶点的坐标即可．
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