初中数学苏科版八年级下册 9.3 平行四边形的判定及性质 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·南康月考）下列结论正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的对角线相等
C．平行四边形的对边平行且相等
D．平行四边形的对角互补，邻角相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】A、平行四边形不一定是轴对称图形，故A不符合题意；
B、平行四边形的对角线不相等，故B不符合题意；
C、平行四边形的对边平行且相等，故C符合题意；
D、平行四边形的对角相等，邻角互补，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】分别利用平行四边形的性质和判定逐项判断即可．
2．（2020八下·武汉期中）下面给出的四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．3∶4∶3∶4 B．3∶3∶4∶4 C．2∶3∶4∶5 D．3∶4∶4∶3
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确，B,C,D错误
故答案为：A.
【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有D能判定是平行四边形.其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定.
3．（2019八下·义乌期末）若以A(-1，0)，B(3，0)，C(0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据条件作图如下，
∴第四点即D点可在一二四象限象限，不可能在第三象限。
故答案为：C
【分析】 首先画出平面直角坐标系，根据A、B、C三点的坐标找出其位置，然后再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形找出D点的可能位置，进而可得答案．
4．（2019八下·滦南期末）如图所示,四边形 的对角线 和 相交于点 ,下列判断正确的是（ ）
A．若 ，则 是平行四边形
B．若 ，则 是平行四边形
C．若 ， ，则 是平行四边形
D．若 ， ，则 是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形的对角线互相平分
所以D能判定ABCD是平行四边形.
故答案为：D.
【分析】若AO=OC，BO=OD，则四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理可知，该四边形是平行四边形．
5．（2019八下·呼兰期末）如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC，AE∥DC∠B=60°,BC=3,△ABE的周长为6,则四边形ABCD的周长是（ ）．
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，AE∥DC
∴四边形ADCE为平行四边形
∴EC=AD，AE=CD
∵AB=CD
∴AB=AE
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∵△ABE的周长为6，
∴BE=2，
∵BC=3，
∴EC=AD=1，
∴等腰梯形的周长=AB+BC+CD+AD=2+3+2+1=8，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的判定和等腰梯形的性质，证明△ABE是等边三角形，从而可知等腰梯形的腰长，也就可以求出其周长．
6．（2020八下·兰州期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A．∠ADE=∠CBF B．∠ABE=∠CDF C．DE=BF D．OE=OF
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、在平行四边形ABCD中，
∵AO=CO，DO=BO，AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF，
若∠ADE=∠CBF，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B、若∠ABE=∠CDF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵AO=CO，
∴OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形DEBF是平行四边形；
C、若DE与AC不垂直，则满足AC上一定有一点M使DM=DE，同理有一点N使BF=BN，则四边形DEBF不一定是平行四边形，则此选项错误；
D、若OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形DEBF是平行四边形；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质，以及平行四边形的判定定理即可作出判断.
7．（2019八下·吉林期末）如图，点 E，F 是 ABCD 对角线上两点，在条件①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF； ③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD 中，添加一个条件，使四边形 DEBF 是平行四边形，可添加 的条件是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：添加条件①，不能得到四边形DEBF是平行四边形，故①不符合题意；
添加条件②∠ADE＝∠CBF．∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF，∠DEA=∠BFC，∴∠DEF=∠BFE，∴DE ∥BF，∴DEBF是平行四边形，故②符合题意；
添加条件③AF＝CE．易得AD=BC，∠DAC=∠BCA，∴△ADF≌△CBE，∴DF=BE，∠DFE=∠BEF，∴DF ∥BE，∴DEBF是平行四边形，故③符合题意；
添加条件④∠AEB＝∠CFD．∵ABCD是平行四边形，DC=AB，DC∥AB，∴∠DCF=∠BAE．∵∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌△CDF，∴DF=BE．∵∠AEB＝∠CFD，∴∠DFE=∠BEF，∴DF ∥BE，∴DEBF是平行四边形，故④符合题意．
综上所述：可添加的条件是：②③④．
故答案为：D．
【分析】分别添加条件①②③④，根据平行四边形的判定方法判定即可．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的动点，过点D作DE∥AB交CB于E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于F，当AD从小于DC到大于DC的变化过程中，则△DCE与△BEF的周长之和的变化情况是（ ）
A．一直不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵AC⊥BC,BF⊥BC, ∴AC∥BF.
又∵DE∥AB, ∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF=AD,DF=DE+EF=AB,
∴△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长，
∴△DCE与△BEF的周长之和一直不变.
故答案为：A.
【分析】通过两组对边分别平行的四边形为平行四边形可证得四边形ABFD是平行四边形，从而可证得BF+CD=AD+CD=AC，DF=DE+EF=AB，从而可知△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长，故两个三角形周长之和不变.
9．（2017八下·南京期中）如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥CD，
∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，
∴四边形ACFM是平行四边形，
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，
同理△ADE的面积和△AME的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是 × CF×hCF，
∵△ABC的面积是24，BC=4CF
∴ BC×hBC= ×4CF×hCF=24，
∴CF×hCF=12，
∴阴影部分的面积是 × ×12=3，
故答案为：A．
【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，根据已知易证四边形ACFM是平行四边形，根据同底等高的两个三角形的面积相等，得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，从而证得阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，就可求出CF×hCF的值，即可得出答案。
10．（2020八下·甘州期中）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝ ；④S△AEF＝ .其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H.
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，CH＝ ，
∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF，故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD CH＝ ，
故③正确，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，S△ABC＝
∴S△ABD
∴S△AEF＝ S△AEC＝ S△ABD＝
故④错误，
故答案为：C.
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H.首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题；
二、填空题
11．（2020八下·哈尔滨期中）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果∠B＝50°，则∠D＝ ．
【答案】50°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对角相等即可得∠B＝∠D＝50°.
【分析】根据平行四边形的判定和性质定理，即可求解.
12．（2020八下·临江期末）如图，在平行四边形 中， 两点均在对角线 上．要使四边形 为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是 （写出一个即可）．
【答案】AE=CF(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
若AE=CF，则有AO-AE=CO-CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
故答案为：AE=CF．答案不唯一．
【分析】连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质可得到OB=OD，要证明四边形BEDF为平行四边形，只需要OE=OF即可，故添加的条件只要能证明OE=OF即可．
13．（2017八下·邗江期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD= BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CM，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴NM= CB，MN∥BC，又CD= BD，
∴MN=CD，又MN∥BC，
∴四边形DCMN是平行四边形，
∴DN=CM，
∵∠ACB=90°，M是AB的中点，
∴CM= AB=3，
∴DN=3，
故答案为：3．
【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM= CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM= AB=3，等量代换即可．
14．（2020八下·陆丰期中）如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S AEPH＝ ．
【答案】4
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP，
同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，
∴S△ABD-S△PEB-S△PHD=S△CDB-S△BGP-S△DFP，
即S四边形AEPH=S四边形PFCG．
∵CG=2BG，S△BPG=1，
∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4；
故答案为：4．
【分析】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG．，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．
15．（2017八下·宝丰期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=3，AB=5，则CD= ．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CE∥AD交AB于点E，
∵AB∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=CD，CE=AD=3，∠CED=∠D=2∠B，
∵∠CED=∠B+∠BCE，
∴∠B=∠BCE，
∴BE=CE=3，
∴AE=AB﹣BE=5﹣3=2．
故答案为：2．
【分析】首先过点C作CE∥AD交AB于点E，可得四边形ADCE是平行四边形，继而可证得△BCE是等腰三角形，则可求得答案．
16．（2020八下·新城期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，则EF的长是 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
∴CE＝2AB＝2，
∵∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ECF＝60°，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝ CE＝1，EF＝ CF＝ ；
故答案为： .
【分析】易证四边形ABDE是平行四边形，得出AB＝DE，证出CE＝2AB＝2，求出∠CEF＝30°，得出CF＝1，EF＝ 即可.
17．（2020八下·温州期中）如图在平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,四条内角平分线围成四边形EFGH面积为 , 则平行四边形ABCD面积为
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BC交BC于M，延长AF交BC于N，连接EF
∵ABCD 为平行四边形 ，AN平分∠BAD
∴∠BNA=∠DAN,∠BAN=∠DAN
∴∠BNA=∠BAN
∵∠ABC=60°
∴△ABN为等边三角形
∴AN=NB=AB=4
∵AM⊥BC
∴AM=
∵BE平分∠ABC，CG平分∠BCD
∴∠EBC=30°,∠NCG=60°
∵∠BNA=60°
∴∠BEN=90°，EN//HC
同理可得BH//DF
∴四边形EFGH为矩形
∵四边形EFGH面积为
∴EF=1，FG=
∴EG=2
∵EN//GC，EN=GC
∴四边形ENCG为平行四边形
∴NC=EG=2
∴BC=4+2=6
∴平行四边形ABCD面积 =BC×AM=6×
故答案为：
【分析】本题考查了平行四边形的综合运用。解题的关键在于根据角平分线和平行的性质得到△ABN为等边三角形，根据等边三角形的性质解得AM的值，接下来就是证明四边形EFGH为矩形，然后根据三角形的中位线得到F为EN的中点，从而得到EF的值，然后根据四边形EFGH面积得到EG的值，最后根据对边平行且相等得到四边形ENCG为平行四边形，得到NC的值，根据四边形的面积=底×高即可得到答案.
18．（2020八下·奉化期中）如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有 次.
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12,AD∥BC，
∵四边形PDQB是平行四边形，
∴PD=BQ，
∵P的速度是1cm/秒，
∴两点运动的时间为12÷1=12s，
∴Q运动的路程为12×4=48cm，
∴在BC上运动的次数为48÷12=4次.
第一次PD=QB时，12 t=12 4t，解得t=0，不合题意，舍去；
第二次PD=QB时，Q从B到C的过程中，12 t=4t 12，解得t=4.8；
第三次PD=QB时，Q运动一个来回后从C到B，12 t=36 4t，解得t=8；
第四次PD=QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12 t=4t 36，解得t=9.6.
∴在运动以后，以P、D. Q、B四点组成平行四边形的次数有3次，
故答案为3.
【分析】根据平行四边形的性质可得BC=AD=12,AD∥BC，PD=BQ，利用时间=路程÷速度，可得P，Q两点运动的时间为12÷1=12s，Q运动的路程为12×4=48cm，从而可得在BC上运动的次数为48÷12=4次，所以分第一次，第二次，第三次，第四次PD=QB时，据此分别列出方程，求出t值并检验即可.
三、解答题
19．（2020八上·咸阳开学考）已知：如图，AD＝BC且AD∥BC， E、F是AC上的两点，且AF＝CE.
求证：DE＝BF且DE∥BF.
【答案】证明：∵AD＝BC且AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴DE=BF，∠DEF=∠BFA，
∴DE∥BF
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据AD＝BC且AD∥BC可证四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAF=∠DCE，然后利用“边角边”证明△ABF和△CDE全等，可得DE=BF，∠DEF=∠BFA，进而得到DE∥BF.
20．（2020八下·西宁期末）如图，在 中， 是它的一条对角线，过 两点分别作 ，垂足分别为 ，延长 分别交 于点 .求证：四边形 是平行四边形.
【答案】证明： ，
（同位角相等两直线平行），
（平行四边形的对边平行），
四边形 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先由 证得 ，再根据平行四边形的性质得出 ，然后根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可证得结论.
21．（2020八下·天桥期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在BD上，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形.
【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC， OB=OD
又∵ BE=DF
∴ OB-BE=OD-DF
即OE=OF
∵OA=OC
∴ 四边形DEBF是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形．
22．（2020八下·广州月考）如图，在 ABCD中，O是BD的中点，E、F分别是BC、AD的中点，M、N分别是OB、OD中点．求证：四边形MENF是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠FDN＝∠EBM，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴DF＝BE，
∵O是BD的中点，
∴OD＝OB，
∵M、N分别是OB、OD中点，
∴DN＝BM，
在△DNF和△BME中，
，
∴△DNF≌△BME（SAS），
∴FN＝EM，∠DNF＝∠BME，
∴∠FNM＝∠EMN，
∴FN∥EM，
∴四边形MENF是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质求出 ∠FDN＝∠EBM ，再证明 △DNF≌△BME ，最后证明求解即可。
23．（2019八下·醴陵期末）如图，在 ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点。求证：四边形BEDF为平行四边形
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO .
又∵点E，点F分别是OA，OC的中点
∴EO= ，FO=
∴EO=FO
∴四边形BEDF为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】欲证明四边形BFDE是平行四边形只要证明OE=OF，OD=OB．
24．（2020八下·遂宁期末）如图，在 中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF且BE＝8，BF＝10时，求BD的长．
【答案】（1）证明：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形。
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BEF＝90°，
在Rt△BEF中，EF＝ ＝6，
∴OE＝OF＝3，
在Rt△BEO中，OB＝ ，
∴BD＝2OB＝ ．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先由 得对角线互相平分且相等OA＝OC，OB＝OD，再由条件中AE=CF得到要证明的四边形BEDF的对角线互相平分且相等，即可证明BEDF为平行四边形．（2）在Rt△BEF中已知BE＝8，BF＝10，利用勾股定理可求得EF的长，进而即可得到EO的长，再在Rt△BEO中，利用勾股定理求得BO的长，即可得到BD长．
25．（2020八下·南康月考）在 中，E,F分别是AB,DC上的点，且 ，连接DE,BF,AF.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分 ，求AF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
又
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形DEBF是平行四边形
又∵AF平分
∴
在 中，
∴△ADE为直角三角形且
又∵DE∥BF
∴
在 中，
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得到DC∥AB，DC=AB，再由AE=CE推出DF=BE，根据一组对边平行且相等即可判定四边形DEBF是平行四边形；（2）由平行四边形的性质与角平分线可推出∠DAF=∠DFA，得到AD=DF=5，然后利用勾股定理的逆定理可判定△ADE为直角三角形，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求出AF的长.
26．（2020八下·韶关期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
【答案】（1）证明：∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线.
∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形
（2）证明：∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC.
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF.
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA.
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC.∴∠DHF=∠DEF
【知识点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可.（2）根据平行四边形的对角线相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF
27．（2020八下·枣阳期末）如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点(不与点A重合)，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P.
（1）求证：CE=EP.
（2）若点E的坐标为(3，0)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明：在OC上截取OK=OE.连接EK，如图1.
∵OC=OA，∠COA=∠BA0=90°，∠OEK=∠OKE=45°.
∵AP为正方形OCBA的外角平分线，∴∠BAP=45°，∴∠EKC=∠PAE=135°，∴CK=EA.
∵EC⊥EP，∴∠CEF=∠COE=90°，
∴∠CEO+∠KCE=90°，∠CEO+∠PEA=90°，∴∠KCE=∠CEA.
在△CKE和△EAP中，∵ ，
∴△CKE≌△EAP，∴EC=EP；
（2）解：y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形.
如图，过点B作BM∥PE交y轴于点M，连接BP，EM，如图2，
则∠CQB=∠CEP=90°，所以∠OCE=∠CBQ.
在△BCM和△COE中，∵ ，
∴△BCM≌△COE，∴BM=CE.
∵CE=EP，∴BM=EP.
∵BM∥EP，∴四边形BMEP是平行四边形.
∵△BCM≌△COE，∴CM=OE=3，∴OM=CO﹣CM=2.
故点M的坐标为（0，2）.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）在OC上截取OK=OE.连接EK，求出∠KCE=∠CEA，根据ASA推出△CKE≌△EAP，根据全等三角形的对应边相等得出即可；
（2）过点B作BM∥PE交y轴于点M， 连接BP，EM， 根据ASA推出△BCM≌△COE，根据全等三角形的性质得出BM=CE，求出BM=EP，根据平行四边形的判定得出四边形BMEP是平行四边形，即可求出答案.
28．（2020八下·上饶月考）数学活动实验、猜想与证明
（1）问题情境
数学活动课上，小颖向同学们提出了这样一个问题：如图（1），在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别是AB，CD的中点，作射线MN，连接MD，MC，请直接写出线段MD与MC之间的数量关系．
（2）解决问题
小彬受此问题启发，将矩形ABCD变为平行四边形，其中∠A为锐角，如图（2），AB=2BC，M，N分别是AB，CD的中点，过点C作CE⊥AD交射线AD于点E，交射线MN于点F，连接ME，MC，则ME=MC，请你证明小彬的结论；
（3）小丽在小彬结论的基础上提出了一个新问题：∠BME与∠AEM有怎样的数量关系？请你回答小丽提出的这个问题，并证明你的结论．
【答案】（1）MD=MC
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，∠A=∠B=90°
∵点M为AB的中点
∴AM=BM
在△AMD和△BMC中
∴△AMD≌△BMC
∴MD=MC
（2）∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AM=BM，CN=DN
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∴AM=BM= CN=DN
∴四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形
∴AD∥MN
∴
∴CF=EF
∵CE⊥AD
∴CE⊥MN
∴MN垂直平分CE
∴ME=MC
（3）∠BME=3∠AEM，证明如下：
∵四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形
∴AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC
∴∠AEM=∠EMF，∠NCM=∠BMC
∵AB=2BC，AB=CD=2CF
∴CF=MN
∴∠NCM=∠NMC
∴∠BMC=∠NMC
∵ME=MC，MF⊥CE
∴∠EMF=∠NMC
∴∠BME=∠EMF＋∠NMC＋∠BMC=3∠EMF=3∠AEM
即∠BME=3∠AEM
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AD=BC，∠A=∠B=90°，然后利用SAS证出△AMD≌△BMC，即可得出结论；（2）根据平行四边形的判定证出四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形，利用平行线分线段成比例定理证出CF=EF，从而得出MN垂直平分CE，根据垂直平分线的性质即可证出结论；（3）根据平行四边形的性质可得AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC，然后根据平行线的性质、三线合一和等边对等角证出∠AEM=∠EMF、∠BMC=∠NMC、∠EMF=∠NMC，从而证出结论．
1 / 1初中数学苏科版八年级下册 9.3 平行四边形的判定及性质 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·南康月考）下列结论正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的对角线相等
C．平行四边形的对边平行且相等
D．平行四边形的对角互补，邻角相等
2．（2020八下·武汉期中）下面给出的四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．3∶4∶3∶4 B．3∶3∶4∶4 C．2∶3∶4∶5 D．3∶4∶4∶3
3．（2019八下·义乌期末）若以A(-1，0)，B(3，0)，C(0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2019八下·滦南期末）如图所示,四边形 的对角线 和 相交于点 ,下列判断正确的是（ ）
A．若 ，则 是平行四边形
B．若 ，则 是平行四边形
C．若 ， ，则 是平行四边形
D．若 ， ，则 是平行四边形
5．（2019八下·呼兰期末）如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC，AE∥DC∠B=60°,BC=3,△ABE的周长为6,则四边形ABCD的周长是（ ）．
A．8 B．10 C．12 D．16
6．（2020八下·兰州期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A．∠ADE=∠CBF B．∠ABE=∠CDF C．DE=BF D．OE=OF
7．（2019八下·吉林期末）如图，点 E，F 是 ABCD 对角线上两点，在条件①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF； ③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD 中，添加一个条件，使四边形 DEBF 是平行四边形，可添加 的条件是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的动点，过点D作DE∥AB交CB于E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于F，当AD从小于DC到大于DC的变化过程中，则△DCE与△BEF的周长之和的变化情况是（ ）
A．一直不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
9．（2017八下·南京期中）如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
10．（2020八下·甘州期中）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝ ；④S△AEF＝ .其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2020八下·哈尔滨期中）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果∠B＝50°，则∠D＝ ．
12．（2020八下·临江期末）如图，在平行四边形 中， 两点均在对角线 上．要使四边形 为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是 （写出一个即可）．
13．（2017八下·邗江期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD= BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．
14．（2020八下·陆丰期中）如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S AEPH＝ ．
15．（2017八下·宝丰期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=3，AB=5，则CD= ．
16．（2020八下·新城期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，则EF的长是 .
17．（2020八下·温州期中）如图在平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,四条内角平分线围成四边形EFGH面积为 , 则平行四边形ABCD面积为
18．（2020八下·奉化期中）如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有 次.
三、解答题
19．（2020八上·咸阳开学考）已知：如图，AD＝BC且AD∥BC， E、F是AC上的两点，且AF＝CE.
求证：DE＝BF且DE∥BF.
20．（2020八下·西宁期末）如图，在 中， 是它的一条对角线，过 两点分别作 ，垂足分别为 ，延长 分别交 于点 .求证：四边形 是平行四边形.
21．（2020八下·天桥期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在BD上，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形.
22．（2020八下·广州月考）如图，在 ABCD中，O是BD的中点，E、F分别是BC、AD的中点，M、N分别是OB、OD中点．求证：四边形MENF是平行四边形．
23．（2019八下·醴陵期末）如图，在 ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点。求证：四边形BEDF为平行四边形
24．（2020八下·遂宁期末）如图，在 中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF且BE＝8，BF＝10时，求BD的长．
25．（2020八下·南康月考）在 中，E,F分别是AB,DC上的点，且 ，连接DE,BF,AF.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分 ，求AF的长.
26．（2020八下·韶关期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
27．（2020八下·枣阳期末）如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点(不与点A重合)，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P.
（1）求证：CE=EP.
（2）若点E的坐标为(3，0)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
28．（2020八下·上饶月考）数学活动实验、猜想与证明
（1）问题情境
数学活动课上，小颖向同学们提出了这样一个问题：如图（1），在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别是AB，CD的中点，作射线MN，连接MD，MC，请直接写出线段MD与MC之间的数量关系．
（2）解决问题
小彬受此问题启发，将矩形ABCD变为平行四边形，其中∠A为锐角，如图（2），AB=2BC，M，N分别是AB，CD的中点，过点C作CE⊥AD交射线AD于点E，交射线MN于点F，连接ME，MC，则ME=MC，请你证明小彬的结论；
（3）小丽在小彬结论的基础上提出了一个新问题：∠BME与∠AEM有怎样的数量关系？请你回答小丽提出的这个问题，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】A、平行四边形不一定是轴对称图形，故A不符合题意；
B、平行四边形的对角线不相等，故B不符合题意；
C、平行四边形的对边平行且相等，故C符合题意；
D、平行四边形的对角相等，邻角互补，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】分别利用平行四边形的性质和判定逐项判断即可．
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确，B,C,D错误
故答案为：A.
【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有D能判定是平行四边形.其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据条件作图如下，
∴第四点即D点可在一二四象限象限，不可能在第三象限。
故答案为：C
【分析】 首先画出平面直角坐标系，根据A、B、C三点的坐标找出其位置，然后再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形找出D点的可能位置，进而可得答案．
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形的对角线互相平分
所以D能判定ABCD是平行四边形.
故答案为：D.
【分析】若AO=OC，BO=OD，则四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理可知，该四边形是平行四边形．
5．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，AE∥DC
∴四边形ADCE为平行四边形
∴EC=AD，AE=CD
∵AB=CD
∴AB=AE
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∵△ABE的周长为6，
∴BE=2，
∵BC=3，
∴EC=AD=1，
∴等腰梯形的周长=AB+BC+CD+AD=2+3+2+1=8，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的判定和等腰梯形的性质，证明△ABE是等边三角形，从而可知等腰梯形的腰长，也就可以求出其周长．
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、在平行四边形ABCD中，
∵AO=CO，DO=BO，AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF，
若∠ADE=∠CBF，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B、若∠ABE=∠CDF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵AO=CO，
∴OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形DEBF是平行四边形；
C、若DE与AC不垂直，则满足AC上一定有一点M使DM=DE，同理有一点N使BF=BN，则四边形DEBF不一定是平行四边形，则此选项错误；
D、若OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形DEBF是平行四边形；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质，以及平行四边形的判定定理即可作出判断.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：添加条件①，不能得到四边形DEBF是平行四边形，故①不符合题意；
添加条件②∠ADE＝∠CBF．∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF，∠DEA=∠BFC，∴∠DEF=∠BFE，∴DE ∥BF，∴DEBF是平行四边形，故②符合题意；
添加条件③AF＝CE．易得AD=BC，∠DAC=∠BCA，∴△ADF≌△CBE，∴DF=BE，∠DFE=∠BEF，∴DF ∥BE，∴DEBF是平行四边形，故③符合题意；
添加条件④∠AEB＝∠CFD．∵ABCD是平行四边形，DC=AB，DC∥AB，∴∠DCF=∠BAE．∵∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌△CDF，∴DF=BE．∵∠AEB＝∠CFD，∴∠DFE=∠BEF，∴DF ∥BE，∴DEBF是平行四边形，故④符合题意．
综上所述：可添加的条件是：②③④．
故答案为：D．
【分析】分别添加条件①②③④，根据平行四边形的判定方法判定即可．
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵AC⊥BC,BF⊥BC, ∴AC∥BF.
又∵DE∥AB, ∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF=AD,DF=DE+EF=AB,
∴△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长，
∴△DCE与△BEF的周长之和一直不变.
故答案为：A.
【分析】通过两组对边分别平行的四边形为平行四边形可证得四边形ABFD是平行四边形，从而可证得BF+CD=AD+CD=AC，DF=DE+EF=AB，从而可知△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长，故两个三角形周长之和不变.
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥CD，
∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，
∴四边形ACFM是平行四边形，
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，
同理△ADE的面积和△AME的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是 × CF×hCF，
∵△ABC的面积是24，BC=4CF
∴ BC×hBC= ×4CF×hCF=24，
∴CF×hCF=12，
∴阴影部分的面积是 × ×12=3，
故答案为：A．
【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，根据已知易证四边形ACFM是平行四边形，根据同底等高的两个三角形的面积相等，得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，从而证得阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，就可求出CF×hCF的值，即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H.
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，CH＝ ，
∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF，故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD CH＝ ，
故③正确，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，S△ABC＝
∴S△ABD
∴S△AEF＝ S△AEC＝ S△ABD＝
故④错误，
故答案为：C.
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H.首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题；
11．【答案】50°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对角相等即可得∠B＝∠D＝50°.
【分析】根据平行四边形的判定和性质定理，即可求解.
12．【答案】AE=CF(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
若AE=CF，则有AO-AE=CO-CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
故答案为：AE=CF．答案不唯一．
【分析】连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质可得到OB=OD，要证明四边形BEDF为平行四边形，只需要OE=OF即可，故添加的条件只要能证明OE=OF即可．
13．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CM，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴NM= CB，MN∥BC，又CD= BD，
∴MN=CD，又MN∥BC，
∴四边形DCMN是平行四边形，
∴DN=CM，
∵∠ACB=90°，M是AB的中点，
∴CM= AB=3，
∴DN=3，
故答案为：3．
【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM= CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM= AB=3，等量代换即可．
14．【答案】4
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP，
同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，
∴S△ABD-S△PEB-S△PHD=S△CDB-S△BGP-S△DFP，
即S四边形AEPH=S四边形PFCG．
∵CG=2BG，S△BPG=1，
∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4；
故答案为：4．
【分析】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG．，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．
15．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CE∥AD交AB于点E，
∵AB∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=CD，CE=AD=3，∠CED=∠D=2∠B，
∵∠CED=∠B+∠BCE，
∴∠B=∠BCE，
∴BE=CE=3，
∴AE=AB﹣BE=5﹣3=2．
故答案为：2．
【分析】首先过点C作CE∥AD交AB于点E，可得四边形ADCE是平行四边形，继而可证得△BCE是等腰三角形，则可求得答案．
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
∴CE＝2AB＝2，
∵∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ECF＝60°，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝ CE＝1，EF＝ CF＝ ；
故答案为： .
【分析】易证四边形ABDE是平行四边形，得出AB＝DE，证出CE＝2AB＝2，求出∠CEF＝30°，得出CF＝1，EF＝ 即可.
17．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BC交BC于M，延长AF交BC于N，连接EF
∵ABCD 为平行四边形 ，AN平分∠BAD
∴∠BNA=∠DAN,∠BAN=∠DAN
∴∠BNA=∠BAN
∵∠ABC=60°
∴△ABN为等边三角形
∴AN=NB=AB=4
∵AM⊥BC
∴AM=
∵BE平分∠ABC，CG平分∠BCD
∴∠EBC=30°,∠NCG=60°
∵∠BNA=60°
∴∠BEN=90°，EN//HC
同理可得BH//DF
∴四边形EFGH为矩形
∵四边形EFGH面积为
∴EF=1，FG=
∴EG=2
∵EN//GC，EN=GC
∴四边形ENCG为平行四边形
∴NC=EG=2
∴BC=4+2=6
∴平行四边形ABCD面积 =BC×AM=6×
故答案为：
【分析】本题考查了平行四边形的综合运用。解题的关键在于根据角平分线和平行的性质得到△ABN为等边三角形，根据等边三角形的性质解得AM的值，接下来就是证明四边形EFGH为矩形，然后根据三角形的中位线得到F为EN的中点，从而得到EF的值，然后根据四边形EFGH面积得到EG的值，最后根据对边平行且相等得到四边形ENCG为平行四边形，得到NC的值，根据四边形的面积=底×高即可得到答案.
18．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12,AD∥BC，
∵四边形PDQB是平行四边形，
∴PD=BQ，
∵P的速度是1cm/秒，
∴两点运动的时间为12÷1=12s，
∴Q运动的路程为12×4=48cm，
∴在BC上运动的次数为48÷12=4次.
第一次PD=QB时，12 t=12 4t，解得t=0，不合题意，舍去；
第二次PD=QB时，Q从B到C的过程中，12 t=4t 12，解得t=4.8；
第三次PD=QB时，Q运动一个来回后从C到B，12 t=36 4t，解得t=8；
第四次PD=QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12 t=4t 36，解得t=9.6.
∴在运动以后，以P、D. Q、B四点组成平行四边形的次数有3次，
故答案为3.
【分析】根据平行四边形的性质可得BC=AD=12,AD∥BC，PD=BQ，利用时间=路程÷速度，可得P，Q两点运动的时间为12÷1=12s，Q运动的路程为12×4=48cm，从而可得在BC上运动的次数为48÷12=4次，所以分第一次，第二次，第三次，第四次PD=QB时，据此分别列出方程，求出t值并检验即可.
19．【答案】证明：∵AD＝BC且AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴DE=BF，∠DEF=∠BFA，
∴DE∥BF
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据AD＝BC且AD∥BC可证四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAF=∠DCE，然后利用“边角边”证明△ABF和△CDE全等，可得DE=BF，∠DEF=∠BFA，进而得到DE∥BF.
20．【答案】证明： ，
（同位角相等两直线平行），
（平行四边形的对边平行），
四边形 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先由 证得 ，再根据平行四边形的性质得出 ，然后根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可证得结论.
21．【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC， OB=OD
又∵ BE=DF
∴ OB-BE=OD-DF
即OE=OF
∵OA=OC
∴ 四边形DEBF是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形．
22．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠FDN＝∠EBM，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴DF＝BE，
∵O是BD的中点，
∴OD＝OB，
∵M、N分别是OB、OD中点，
∴DN＝BM，
在△DNF和△BME中，
，
∴△DNF≌△BME（SAS），
∴FN＝EM，∠DNF＝∠BME，
∴∠FNM＝∠EMN，
∴FN∥EM，
∴四边形MENF是平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质求出 ∠FDN＝∠EBM ，再证明 △DNF≌△BME ，最后证明求解即可。
23．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO .
又∵点E，点F分别是OA，OC的中点
∴EO= ，FO=
∴EO=FO
∴四边形BEDF为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】欲证明四边形BFDE是平行四边形只要证明OE=OF，OD=OB．
24．【答案】（1）证明：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形。
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BEF＝90°，
在Rt△BEF中，EF＝ ＝6，
∴OE＝OF＝3，
在Rt△BEO中，OB＝ ，
∴BD＝2OB＝ ．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先由 得对角线互相平分且相等OA＝OC，OB＝OD，再由条件中AE=CF得到要证明的四边形BEDF的对角线互相平分且相等，即可证明BEDF为平行四边形．（2）在Rt△BEF中已知BE＝8，BF＝10，利用勾股定理可求得EF的长，进而即可得到EO的长，再在Rt△BEO中，利用勾股定理求得BO的长，即可得到BD长．
25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
又
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形DEBF是平行四边形
又∵AF平分
∴
在 中，
∴△ADE为直角三角形且
又∵DE∥BF
∴
在 中，
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得到DC∥AB，DC=AB，再由AE=CE推出DF=BE，根据一组对边平行且相等即可判定四边形DEBF是平行四边形；（2）由平行四边形的性质与角平分线可推出∠DAF=∠DFA，得到AD=DF=5，然后利用勾股定理的逆定理可判定△ADE为直角三角形，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求出AF的长.
26．【答案】（1）证明：∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线.
∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形
（2）证明：∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC.
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF.
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA.
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC.∴∠DHF=∠DEF
【知识点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可.（2）根据平行四边形的对角线相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF
27．【答案】（1）证明：在OC上截取OK=OE.连接EK，如图1.
∵OC=OA，∠COA=∠BA0=90°，∠OEK=∠OKE=45°.
∵AP为正方形OCBA的外角平分线，∴∠BAP=45°，∴∠EKC=∠PAE=135°，∴CK=EA.
∵EC⊥EP，∴∠CEF=∠COE=90°，
∴∠CEO+∠KCE=90°，∠CEO+∠PEA=90°，∴∠KCE=∠CEA.
在△CKE和△EAP中，∵ ，
∴△CKE≌△EAP，∴EC=EP；
（2）解：y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形.
如图，过点B作BM∥PE交y轴于点M，连接BP，EM，如图2，
则∠CQB=∠CEP=90°，所以∠OCE=∠CBQ.
在△BCM和△COE中，∵ ，
∴△BCM≌△COE，∴BM=CE.
∵CE=EP，∴BM=EP.
∵BM∥EP，∴四边形BMEP是平行四边形.
∵△BCM≌△COE，∴CM=OE=3，∴OM=CO﹣CM=2.
故点M的坐标为（0，2）.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）在OC上截取OK=OE.连接EK，求出∠KCE=∠CEA，根据ASA推出△CKE≌△EAP，根据全等三角形的对应边相等得出即可；
（2）过点B作BM∥PE交y轴于点M， 连接BP，EM， 根据ASA推出△BCM≌△COE，根据全等三角形的性质得出BM=CE，求出BM=EP，根据平行四边形的判定得出四边形BMEP是平行四边形，即可求出答案.
28．【答案】（1）MD=MC
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，∠A=∠B=90°
∵点M为AB的中点
∴AM=BM
在△AMD和△BMC中
∴△AMD≌△BMC
∴MD=MC
（2）∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AM=BM，CN=DN
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∴AM=BM= CN=DN
∴四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形
∴AD∥MN
∴
∴CF=EF
∵CE⊥AD
∴CE⊥MN
∴MN垂直平分CE
∴ME=MC
（3）∠BME=3∠AEM，证明如下：
∵四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形
∴AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC
∴∠AEM=∠EMF，∠NCM=∠BMC
∵AB=2BC，AB=CD=2CF
∴CF=MN
∴∠NCM=∠NMC
∴∠BMC=∠NMC
∵ME=MC，MF⊥CE
∴∠EMF=∠NMC
∴∠BME=∠EMF＋∠NMC＋∠BMC=3∠EMF=3∠AEM
即∠BME=3∠AEM
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AD=BC，∠A=∠B=90°，然后利用SAS证出△AMD≌△BMC，即可得出结论；（2）根据平行四边形的判定证出四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形，利用平行线分线段成比例定理证出CF=EF，从而得出MN垂直平分CE，根据垂直平分线的性质即可证出结论；（3）根据平行四边形的性质可得AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC，然后根据平行线的性质、三线合一和等边对等角证出∠AEM=∠EMF、∠BMC=∠NMC、∠EMF=∠NMC，从而证出结论．
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