人教版数学八年级上册第13章 13.3.2等边三角形 同步练习
一、单选题
1．（2017八下·路北期中）如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A． cm B．2cm C．2 cm D．4cm
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AO=BO= AC=4cm，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°﹣120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4cm．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO= AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
2．（2017八下·路北期中）如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为何？（ ）
A．2 B．3 C．12﹣4 D．6 ﹣6
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE，
∵四边形DEFG是正方形，GF=6，
∴DE∥GF，
∴AC∥DE∥GF，
∴KH=18× ﹣6× ﹣6=9 ﹣3 ﹣6=6 ﹣6，
∴F点到AC的距离为6 ﹣6．
故选D．
【分析】过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°，然后判定△BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°，然后根据同位角相等，两直线平行求出AC∥DE，再根据正方形的对边平行得到DE∥GF，从而求出AC∥DE∥GF，再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH，然后根据平行线间的距离相等即可得解．
3．（2017八下·下陆期中）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4．
∴∠BDC=∠CBD=30°．
∴∠BDE=90°．
∴BD= =4 ．
故选：D．
【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步根据勾股定理进行求解．
4．如图为等边△ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE，若AB=3，DE=1，则△EFC的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，作FM⊥BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BC=AB=3，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BED=60°，
∵四边形DEFG是正方形，EF=DE=1，∠DEF=90°，
∴∠FEM=30°，
∴FM= EF= ，
∵EC=BC﹣BE=2，
∴△EFC的面积= ×2× = ．
故选：D．
【分析】由等边三角形的性质和正方形的性质求出∠FEM=30°，EC=2，由含30°角的直角三角形的性质得出FM的长，即可求出三角形EFC的面积．
5．如图，在正方形ABCD的内侧作等边△ADE，则∠EBC的度数为（ ）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠BAE=∠BAD﹣∠DAE=90°﹣60°=30°，
∴∠EBA= （180°﹣30°）=75°，
∴∠EBC=90°﹣75°=15°．
故选：C．
【分析】根据等边三角形的性质可得AD=AE，根据正方形的性质可得AB=AD，从而得到AB=AE，再根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，然后求出∠BAE=30°，再求出∠EBA，进一步求出∠EBC即可．
6．点P在正方形ABCD内，且△PAB是等边三角形，那么∠DCP为（ ）
A．15° B．18° C．22.5° D．30°
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠CBA=90°，∵△PAB是等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=60°，PA=PB=AB，
∴∠DAP=∠CBP=30°，PB=BC，
∴∠PCB= =75°，
∴∠DCP=90°﹣75°=15°．
故选A．
【分析】先根据已知求得∠DAP=30°，再证明AB=AD=AP=BC，进而求出∠PCB的度数，再求出∠DCP的度数即可．
7．（2017八上·上杭期末）如图，已知等边△ABC，在平面上找一点P，使得△PAB、△PBC和△PAC都是等腰三角形，这样的点P的个数是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点；以B为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P4，这样在BC的垂直平分线上有三点，
②同样在AC，AB的垂直平分线上也分别有三点；
③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；
∴共3+3+3+1=10个．
故选D．
【分析】①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点；以B为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P4，这样在BC的垂直平分线上有三点；②同样在AC，AB的垂直平分线上也分别有3点；③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点P7；相加即可得出点P的个数．
8．（2017八上·双台子期末）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，则下列结论不成立的是（ ）
A．∠BDE=120° B．∠ACE=120° C．AB=BE D．AD=BE
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△CDE都是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠BDE=180°﹣∠CDE=120°，故A正确；
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠ACB+∠DCE=60°+60°=120°，故B正确；
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．故D正确；
∵△ABD与△EBD不全等，
∴AB≠BE．
故答案为：C．
【分析】根据△CDE都是等边三角形，得到∠CDE=60°，利用平角即可证明A；根据△ABC和△CDE都是等边三角形，得到∠ACB=60°，∠DCE=60°，由∠ACE=∠ACB+∠DCE即可证明B；根据等边三角形的性质可得AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°，利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应边相等证明D．
9．（2017八上·双台子期末）如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=60°，∠ADB=90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE=∠EAB=30°．
∵DF∥AB，
∴∠F=∠BAE=30°．
∴∠DAF=∠F=30°，
∴AD=DF．
∵AB=11，∠B=30°，
∴AD=5.5，
∴DF=5.5
故选C．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，从而可得到∠BAD=60°，∠ADB=90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE=∠EAB=30°，从而可推出AD=DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．
10．下列说法正确的是（ ）
A．完全重合的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．所有的等边三角形全等 D．形状相同的两个三角形全等
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：A、完全重合的两个三角形是全等三角形，故本选项正确；
B、当一个三角形的边为2，边上的高为1，而另一个三角形的边为1，边上的高为2，两三角形的面积相等，但两三角形不全等，故本选项错误；
C、一个大代表三角形，一个小代表三角形，两三角形不全等，故本选项错误；
D、老师用的三角板和学生用的三角板的形状相同，但不全等，故本选项错误；
故选A．
【分析】根据全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上定理和全等三角形的定义逐个判断即可．
11．下列说法正确的是（ ）
A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C、正确，符合全等三角形的定义；
D、边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误．
故选C．
【分析】根据全等三角形的判定方法，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确定正确答案．
12．（2017八下·定安期末）如图，在正方形ABCD内部作等边三角形BCE，则∠AEB的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，
∴∠ABC=90°，∠EBC=60°，AB=BC=BE，
∴∠ABE=30°，
∴∠BAE=∠AEB= =75°，
故选D．
【分析】根据正方形和等边三角形的性质得到∠ABC=90°，∠EBC=60°，AB=BC=BE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=30°，根据三角形的内角和即可得到结论．
二、填空题
13．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，则△CEF的面积最大值是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴S△ABE=S△ACF，
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
∴S四边形AECF=S△ABC= BC AH= BC =4 ，
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，
∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又∵S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则
此时△CEF的面积就会最大，
∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=4 ﹣ ×2 × = ．
故答案为：
【分析】先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．
14．如图，四边形ABCD为正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则∠BDP= ．
【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△BPC为等边三角形，
∴BC=DC=CP，∠DCB=90°，∠PCB=60°，
∴∠DCP=90°﹣60°=30°，∠CDB=∠CBD=45°，
∠CDP=∠CPD= （180°﹣30°）=75°，
∴∠BDP=∠CDP﹣∠CDB=75°﹣45°=30°，
故答案为：30°．
【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质得出BC=DC=CP，∠DCB=90°，∠PCB=60°，求出∠DCP=30°，∠CDB=∠CBD=45°，∠CDP=∠CP=75°，即可求出答案．
15．（2017八上·丰都期末）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于 ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，
∴∠DEG=15°×2=30°，
∴ED=AE=8，
∴在Rt△DEG中，DG= DE=4，
∴DF=DG=4．
故答案为：4．
【分析】作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．
16．如图，D、E分别是等边三角形ABC的两边AB、AC上的点，且AD=CE，BE，DC相交于点P，则∠BPD的度数为 ．
【答案】60°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB，AC=BC，
在△CAD和△BCE中，
，
∴△CAD≌△BCE（SAS），
∴∠DCA=∠EBC，
∵∠BCD+∠DCA=60°，
∴∠BPC=120°，
∴∠BPD=60°；
故答案为：60°．
【分析】根据SAS证出△CAD≌△BCE，得出∠DCA=∠EBC，再根据∠BCD+∠DCA=60°，得出∠BPC=120°，再根据平角的定义即可得出∠BPD的度数．
17．（2017八上·双台子期末）如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为 ．
【答案】2n﹣1
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1．
故答案是：2n﹣1．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．
三、解答题
18．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．试探索BF与CF的数量关系，写出你的结论并证明．
【答案】解：BF=2CF．
证明：连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°，
∵EF垂直平分AC，
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠C=30°，
∴∠AFB=∠CAF+∠C=60°，
∴∠BAF=180°﹣∠B﹣∠AFB=90°，
∴BF=2AF，
∴BF=2CF．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】连接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根据AB=AC，∠BAC=120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF，于是得到结论．
19．△ABD和△AEC都是等边三角形，连CD、BE，若BE=6，求DC的长．
【答案】解：∵△ABD和△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ADC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE，
∵BE=6，
∴DC=6
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】只要证明△DAC≌△BAE即可解决问题．
四、综合题
20．（2017八上·上杭期末）如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD=DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．
【答案】（1）解：证明：∵DC‖AB，
∴∠CDB=∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC，
又∵AD=BC，
∴AD=DC；
（2）解：△DEF为等边三角形，
证明：∵BC=DC（已证），CF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDE=60°，
∴△DEF为等边三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出∠CDB=∠CBD进而得出AD=DC，（2）利用等腰三角形的性质得出点F是BD的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案．
21．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．
求证：
（1）△ACD≌△BCE．
（2）△PCQ为等边三角形．
【答案】（1）证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACP和△BCq中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，
∴△PCQ为等边三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用SAS易证得△ACD≌△BCE，（2）ZYZM△ACP≌△BCQ，则可得CP=CQ，又由∠BCD=60°，即可证得：△PCQ为等边三角形．
22．已知：如图：等边△ABC，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，若AE=CD，
求证：
（1）△ABE≌△CAD；
（2）求∠BND的度数．
（3）MN= BN．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°．
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∠ABE=∠CAD，
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°
（3）证明：∵BM⊥AD，即∠AMB=90°，
∵∠BNM=60°，
∴∠NBM=30°，
∴MN= BN
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，AB=AC，∠BAE=∠C，然后利用SAS即可证得；（2）根据全等三角形的性质，以及三角形的外角的性质求得∠BNM=60°，（3）然后根据直角三角形的30度角的性质即可证明．
1 / 1人教版数学八年级上册第13章 13.3.2等边三角形 同步练习
一、单选题
1．（2017八下·路北期中）如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A． cm B．2cm C．2 cm D．4cm
2．（2017八下·路北期中）如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为何？（ ）
A．2 B．3 C．12﹣4 D．6 ﹣6
3．（2017八下·下陆期中）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图为等边△ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE，若AB=3，DE=1，则△EFC的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
5．如图，在正方形ABCD的内侧作等边△ADE，则∠EBC的度数为（ ）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
6．点P在正方形ABCD内，且△PAB是等边三角形，那么∠DCP为（ ）
A．15° B．18° C．22.5° D．30°
7．（2017八上·上杭期末）如图，已知等边△ABC，在平面上找一点P，使得△PAB、△PBC和△PAC都是等腰三角形，这样的点P的个数是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
8．（2017八上·双台子期末）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，则下列结论不成立的是（ ）
A．∠BDE=120° B．∠ACE=120° C．AB=BE D．AD=BE
9．（2017八上·双台子期末）如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
10．下列说法正确的是（ ）
A．完全重合的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．所有的等边三角形全等 D．形状相同的两个三角形全等
11．下列说法正确的是（ ）
A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等
12．（2017八下·定安期末）如图，在正方形ABCD内部作等边三角形BCE，则∠AEB的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
二、填空题
13．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，则△CEF的面积最大值是 ．
14．如图，四边形ABCD为正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则∠BDP= ．
15．（2017八上·丰都期末）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于 ．
16．如图，D、E分别是等边三角形ABC的两边AB、AC上的点，且AD=CE，BE，DC相交于点P，则∠BPD的度数为 ．
17．（2017八上·双台子期末）如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为 ．
三、解答题
18．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．试探索BF与CF的数量关系，写出你的结论并证明．
19．△ABD和△AEC都是等边三角形，连CD、BE，若BE=6，求DC的长．
四、综合题
20．（2017八上·上杭期末）如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD=DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．
21．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．
求证：
（1）△ACD≌△BCE．
（2）△PCQ为等边三角形．
22．已知：如图：等边△ABC，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，若AE=CD，
求证：
（1）△ABE≌△CAD；
（2）求∠BND的度数．
（3）MN= BN．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AO=BO= AC=4cm，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°﹣120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4cm．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO= AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE，
∵四边形DEFG是正方形，GF=6，
∴DE∥GF，
∴AC∥DE∥GF，
∴KH=18× ﹣6× ﹣6=9 ﹣3 ﹣6=6 ﹣6，
∴F点到AC的距离为6 ﹣6．
故选D．
【分析】过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°，然后判定△BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°，然后根据同位角相等，两直线平行求出AC∥DE，再根据正方形的对边平行得到DE∥GF，从而求出AC∥DE∥GF，再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH，然后根据平行线间的距离相等即可得解．
3．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4．
∴∠BDC=∠CBD=30°．
∴∠BDE=90°．
∴BD= =4 ．
故选：D．
【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步根据勾股定理进行求解．
4．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，作FM⊥BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BC=AB=3，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BED=60°，
∵四边形DEFG是正方形，EF=DE=1，∠DEF=90°，
∴∠FEM=30°，
∴FM= EF= ，
∵EC=BC﹣BE=2，
∴△EFC的面积= ×2× = ．
故选：D．
【分析】由等边三角形的性质和正方形的性质求出∠FEM=30°，EC=2，由含30°角的直角三角形的性质得出FM的长，即可求出三角形EFC的面积．
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠BAE=∠BAD﹣∠DAE=90°﹣60°=30°，
∴∠EBA= （180°﹣30°）=75°，
∴∠EBC=90°﹣75°=15°．
故选：C．
【分析】根据等边三角形的性质可得AD=AE，根据正方形的性质可得AB=AD，从而得到AB=AE，再根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，然后求出∠BAE=30°，再求出∠EBA，进一步求出∠EBC即可．
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠CBA=90°，∵△PAB是等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=60°，PA=PB=AB，
∴∠DAP=∠CBP=30°，PB=BC，
∴∠PCB= =75°，
∴∠DCP=90°﹣75°=15°．
故选A．
【分析】先根据已知求得∠DAP=30°，再证明AB=AD=AP=BC，进而求出∠PCB的度数，再求出∠DCP的度数即可．
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点；以B为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P4，这样在BC的垂直平分线上有三点，
②同样在AC，AB的垂直平分线上也分别有三点；
③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；
∴共3+3+3+1=10个．
故选D．
【分析】①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点；以B为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P4，这样在BC的垂直平分线上有三点；②同样在AC，AB的垂直平分线上也分别有3点；③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点P7；相加即可得出点P的个数．
8．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△CDE都是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠BDE=180°﹣∠CDE=120°，故A正确；
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠ACB+∠DCE=60°+60°=120°，故B正确；
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．故D正确；
∵△ABD与△EBD不全等，
∴AB≠BE．
故答案为：C．
【分析】根据△CDE都是等边三角形，得到∠CDE=60°，利用平角即可证明A；根据△ABC和△CDE都是等边三角形，得到∠ACB=60°，∠DCE=60°，由∠ACE=∠ACB+∠DCE即可证明B；根据等边三角形的性质可得AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°，利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应边相等证明D．
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=60°，∠ADB=90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE=∠EAB=30°．
∵DF∥AB，
∴∠F=∠BAE=30°．
∴∠DAF=∠F=30°，
∴AD=DF．
∵AB=11，∠B=30°，
∴AD=5.5，
∴DF=5.5
故选C．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，从而可得到∠BAD=60°，∠ADB=90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE=∠EAB=30°，从而可推出AD=DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．
10．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：A、完全重合的两个三角形是全等三角形，故本选项正确；
B、当一个三角形的边为2，边上的高为1，而另一个三角形的边为1，边上的高为2，两三角形的面积相等，但两三角形不全等，故本选项错误；
C、一个大代表三角形，一个小代表三角形，两三角形不全等，故本选项错误；
D、老师用的三角板和学生用的三角板的形状相同，但不全等，故本选项错误；
故选A．
【分析】根据全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上定理和全等三角形的定义逐个判断即可．
11．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C、正确，符合全等三角形的定义；
D、边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误．
故选C．
【分析】根据全等三角形的判定方法，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确定正确答案．
12．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，
∴∠ABC=90°，∠EBC=60°，AB=BC=BE，
∴∠ABE=30°，
∴∠BAE=∠AEB= =75°，
故选D．
【分析】根据正方形和等边三角形的性质得到∠ABC=90°，∠EBC=60°，AB=BC=BE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=30°，根据三角形的内角和即可得到结论．
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴S△ABE=S△ACF，
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
∴S四边形AECF=S△ABC= BC AH= BC =4 ，
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，
∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又∵S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则
此时△CEF的面积就会最大，
∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=4 ﹣ ×2 × = ．
故答案为：
【分析】先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．
14．【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△BPC为等边三角形，
∴BC=DC=CP，∠DCB=90°，∠PCB=60°，
∴∠DCP=90°﹣60°=30°，∠CDB=∠CBD=45°，
∠CDP=∠CPD= （180°﹣30°）=75°，
∴∠BDP=∠CDP﹣∠CDB=75°﹣45°=30°，
故答案为：30°．
【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质得出BC=DC=CP，∠DCB=90°，∠PCB=60°，求出∠DCP=30°，∠CDB=∠CBD=45°，∠CDP=∠CP=75°，即可求出答案．
15．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，
∴∠DEG=15°×2=30°，
∴ED=AE=8，
∴在Rt△DEG中，DG= DE=4，
∴DF=DG=4．
故答案为：4．
【分析】作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．
16．【答案】60°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB，AC=BC，
在△CAD和△BCE中，
，
∴△CAD≌△BCE（SAS），
∴∠DCA=∠EBC，
∵∠BCD+∠DCA=60°，
∴∠BPC=120°，
∴∠BPD=60°；
故答案为：60°．
【分析】根据SAS证出△CAD≌△BCE，得出∠DCA=∠EBC，再根据∠BCD+∠DCA=60°，得出∠BPC=120°，再根据平角的定义即可得出∠BPD的度数．
17．【答案】2n﹣1
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1．
故答案是：2n﹣1．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．
18．【答案】解：BF=2CF．
证明：连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°，
∵EF垂直平分AC，
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠C=30°，
∴∠AFB=∠CAF+∠C=60°，
∴∠BAF=180°﹣∠B﹣∠AFB=90°，
∴BF=2AF，
∴BF=2CF．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】连接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根据AB=AC，∠BAC=120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF，于是得到结论．
19．【答案】解：∵△ABD和△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ADC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE，
∵BE=6，
∴DC=6
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】只要证明△DAC≌△BAE即可解决问题．
20．【答案】（1）解：证明：∵DC‖AB，
∴∠CDB=∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC，
又∵AD=BC，
∴AD=DC；
（2）解：△DEF为等边三角形，
证明：∵BC=DC（已证），CF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDE=60°，
∴△DEF为等边三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出∠CDB=∠CBD进而得出AD=DC，（2）利用等腰三角形的性质得出点F是BD的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案．
21．【答案】（1）证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACP和△BCq中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，
∴△PCQ为等边三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用SAS易证得△ACD≌△BCE，（2）ZYZM△ACP≌△BCQ，则可得CP=CQ，又由∠BCD=60°，即可证得：△PCQ为等边三角形．
22．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°．
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∠ABE=∠CAD，
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°
（3）证明：∵BM⊥AD，即∠AMB=90°，
∵∠BNM=60°，
∴∠NBM=30°，
∴MN= BN
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，AB=AC，∠BAE=∠C，然后利用SAS即可证得；（2）根据全等三角形的性质，以及三角形的外角的性质求得∠BNM=60°，（3）然后根据直角三角形的30度角的性质即可证明．
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