人教版数学八年级上册第11章 11.2.2三角形的外角 同步练习
一、单选题
1．如图，已知D为BC上一点，∠B=∠1，∠BAC=78°，则∠2=（ ）
A．78° B．80° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠2=∠B+∠BAD，∠BAC=∠1+∠BAD，
又∵∠B=∠1，
∴∠2=∠BAC，
∵∠BAC=78°，
∴∠2=78°．
故选A．
【分析】由图知，∠2=∠B+∠BAD，∠BAC=∠1+∠BAD，根据已知，可以得到∠2=∠BAC，进而可以求出∠2．
2．如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度（ ）
A．360° B．720° C．540° D．240°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，
∵∠BOF=120°，
∴∠3=180°﹣120°=60°，
根据三角形内角和定理，∠E+∠1=180°﹣60°=120°，
∠F+∠2=180°﹣60°=120°，
所以，∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故选D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠C，∠B+∠D，再根据邻补角求出∠EOF，然后求解即可．
3．下列说法中不正确的是（ ）
A．三角形按边分可分为不等边三角形、等腰三角形
B．等腰三角形的内角可能是钝角或直角
C．三角形外角一定是钝角
D．三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：三角形按边分可分为不等边三角形、等腰三角形，故A不正确；
B、等腰三角形的内角可能是钝角或直角，故B不正确；
C、三角形外角可能是钝角、直角或锐角，故C正确；
D、三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，故D不正确；
故选C、
【分析】根据三角形的分类、外角的性质以及三角形中线的性质进行选择即可．
4．如图：∠2 大于∠1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠2 和∠1的关系不能确定，故错误；
B、∠2＞∠1，故正确；
C、∠2 和∠1的关系不能确定，故错误；
D、∠2=∠1，故错误，
故选：B．
【分析】根据三角形的外角的性质、对顶角的性质判断即可．
5．已知△ABC的外角∠CBE，∠BCF的角平分线BP，CP交于P点，则∠BPC是（ ）
A．钝角 B．锐角 C．直角 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
∵△ABC的外角平分线BP，CP交于P点，
∴∠PBC= ∠EBC，∠BCP= ∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角，
∴∠CBE+∠BCF=360°﹣（180°﹣∠A）=180°+∠A，
∴∠PBC+∠BCP= （∠EBC+∠BCF）= （180°+∠A）=90°+ ∠A，
∵在△PBC中，∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠BCP）=180°﹣（90°+ ∠A）=90°﹣ ∠A＜90°，
∴∠BPC是锐角．
故选：B．
【分析】首先根据△ABC的外角平分线BP，CP交于P点，得出∠PBC+∠BCP=90°+ ∠A，再根据三角形内角和定理，求得∠BPC=90°﹣ ∠A＜90°即可．
6．（2017八下·下陆期中）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4．
∴∠BDC=∠CBD=30°．
∴∠BDE=90°．
∴BD= =4 ．
故选：D．
【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步根据勾股定理进行求解．
7．（2017八上·三明期末）如图是一副三角尺叠放的示意图，则∠α的度数为（ ）
A．75° B．45° C．30° D．15°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACB=90°，∠1=45°，
∴∠2=90°﹣45°=45°，
∴∠α=45°+30°=75°，
故选A．
【分析】首先根据三角板度数可得：∠ACB=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案．
8．（2017八上·海勃湾期末）一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，∵∠1=60°，∠2=45°，
∴∠α=180°﹣45°﹣60°=75°，
故选A．
【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．
9．（2017八下·合浦期中）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A．315° B．270° C．180° D．135°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），
∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，
∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．
故选：B．
【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．
10．（2017八下·东莞期中）如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=（ ）时，则四边形AECF是正方形．
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：过点E，F作EH⊥BD，FG⊥BD，
∵CE，CF为∠ACB，∠ACD的角平分线，
∴∠ECF=90°．
∵MN∥BC，
∴∠FEC=∠ECH，
∵∠ECH=∠ECO，
∴∠FEC=∠ECO，
∴OE=OC．
同理OC=OF，
∴OE=OF，
∵点O运动到AC的中点，
∴OA=OC，
∴四边形AECF为一矩形，
若∠ACB=90°，则CE=CF，
∴四边形AECF为正方形．
故选：D．
【分析】由题意可得四边形AECF为一矩形，要使四边形AECF是正方形，只需添加一条件，使其邻边相等即可．
11．下列结论：①一个三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，则与之相应的3个内角度数之比为5：3：1；②在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形；③一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°；④一个五边形最多有3个内角是直角；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行．其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①，∵三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，
∴3个外角的度数分别为80°，120°，160°，
∴其对应的内角分别为100°、60°、20°，
∴3个内角度数之比为100°：60°：20°=5：3：1，故说法正确，②在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形，说法错误；③一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°，说法正确；④五边形最多可以有3个内角是直角，故本选项正确；⑤两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行，说法错误；
故选B．
【分析】①根据三角形的外角和定理及内角和定理分别求出各对应角的度数即可解答；根据三角形内角和定理可计算出三个内角的度数，进而判断出②的正误；根据多边形内角和定理可得③的正误；④根据多边形的内角和定理解答即可；⑤根据平行线的判定得出．
12．（2017八下·遂宁期末）如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的中线 ，若∠A=20°，则∠BDC=（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD．
∴∠A＝∠DCA＝20°，
∴∠BDC＝∠A＋∠DCA＝20°＋20°＝40°．
故选B．
二、填空题
13．（2016八上·卢龙期中）将一副三角板按图中方式叠放，则角α的度数为 ．
【答案】75°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵图中是一副三角板，
∴∠2=45°，∠1=90°﹣45°=45°，
∴∠α=∠1+30°=45°+30°=75°．
故答案为：75°．
【分析】先根据直角三角板的性质求出∠1及∠2的度数，再根据三角形内角与外角的关系即可解答．
14．（2017八上·三明期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=40°，∠ACE=60°，则∠A
= 度．
【答案】80
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∠ACD=2∠ACE=120°，
∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=40°，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=80°，
故答案为：80
【分析】根据角平分线定义求出∠ACD，根据三角形的外角性质得出∠ACD=∠A+∠B，即可求出答案．
15．如图，△ABC中，DE是∠ADC角平分线，若已知∠B=50°，∠BAD=60°，则∠CDE= ．
【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠BAD=60°，∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=110°，
又∵DE是∠ADC角平分线，
∴∠CDE= ∠ADC=55°．
故答案为：55°．
【分析】先根据三角形外角性质，求得∠ADC的度数，再根据DE是∠ADC角平分线，求得∠CDE的度数．
16．如图，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=34°，且∠ADE=∠AED，则∠CDE= 度．
【答案】17
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质得，∠ADC=∠B+∠BAD，
∠AED=∠C+∠CDE，
所以，∠ADE=∠ADC﹣∠CDE=∠B+∠BAD﹣∠CDE，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠B+∠BAD﹣∠CDE=∠C+∠CDE，
∵∠B=∠C，
∴∠CDE= ∠BAD，
∵∠BAD=34°，
∴∠CDE= ×34°=17°．
故答案为：17°．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ADC，∠AED，再表示出∠ADE，然后根据∠ADE=∠AED列方程整理即可得解．
17．如图所示，∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，则∠BDF= ．
【答案】87°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣67°﹣74°=39°，
在△ADE中，∠ADE=180°﹣∠A﹣∠AED=180°﹣39°﹣48°=93°，
∴∠BDF=180°﹣∠ADE=180°﹣93°=87°．
故答案为：87°．
【分析】由已知根据三角形内角和定理可求出△ABC中∠A的度数，同理可求出△ADE中∠ADE的度数，再由∠ADE+∠BDF=180°求出∠BDF．
三、计算题
18．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=40°，求∠BAC的度数．
【答案】解：∵∠1=∠2，∠B=40°，
∴∠2=∠1=（180°﹣40°）÷2=70°，
又∵∠2是△ADC的外角，
∴∠2=∠3+∠4，
∵∠3=∠4，
∴∠2=2∠3，
∴∠3= ∠2=35°，
∴∠BAC=∠1+∠3=105°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】先根据三角形内角和，求得∠2的度数，再根据三角形外角性质，求得∠3的度数，即可得出∠BAC的度数．
19．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B=30°，∠E=20°，求∠ACE和∠BAC的度数．
【答案】解：∵∠B=30°，∠E=20°，
∴∠ECD=∠B+∠E=50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD=50°，∠ACD=2∠ECD=100°，
∵∠BAC=∠ACD﹣∠B=100°﹣30°=70°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据三角形外角性质求出∠ECD，即可求出∠ACE，求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠BAC即可．
20．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠B=60°，AE⊥BC于点E，CD平分∠ACB且分别与AB、AE交于点D、F，求∠AFC的度数．
【答案】解：∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°．
∵∠B=60°，
∴∠BAE=90°﹣60°=30°．
∴∠CAE=50°﹣30°=20°
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B=70°．
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD= ∠ACB=35°．
∴∠AFC=180°﹣35°﹣20°=125°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】先根据垂直的定义求∠BAE的度数，再结合图形根据角的和差求出∠CAE的度数，利用三角形的内角和求∠ACB，因CD平分∠ACB，所以可得∠ACD，最后利用△AFC的内角和为180°，求得∠AFC的度数．
21．如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM、ON上移动，BE是∠ABN的平分线，BE的反向延长线与∠OAB平分线相交于点C，试问：∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．
【答案】解：∠ACB的大小保持不变．理由：
∵∠ABn=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABN，
∴∠ABE= ∠ABN= （90°+∠OAB）=45°+ ∠OAB，
即∠ABE=45°+∠CAB，
又∵∠ABE=∠ACB+∠CAB，
∴∠ACB=45°，
故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．
四、综合题
22．已知△ABC中，∠A=30°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= °．
（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °．
（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BOn﹣1C（用n的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1，若∠BOn﹣1C=60°，求n的值．
【答案】（1）105
（2）80
（3）解：∵点On﹣1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，
∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB= （∠ABC+∠ACB）= ×150°，
∴∠BOn﹣1C=180°﹣ ×150°
（4）解：由（3）得：180°﹣ ×150°=60°，
解得：n=5．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
⑴∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=75°，
∴∠BOC=105°；
⑵∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，
∴∠O2BC+∠O2CB= （∠ABC+∠ACB）=100°，
∴∠BO2C=80°；
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求得∠OBC+∠OCB，即可求出∠BOC．（2）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求得∠O2BC+∠O2CB，即可求出∠BO2C．（3）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据n等分线的定义求得∠On﹣1BC+∠On﹣1CB，即可求出∠BOn﹣1C．（4）依据（3）的结论即可求出n的值．
23．在△ABC中，∠A=40°：
（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（4）根据上述三问的结果，当∠A=n°时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）．
【答案】（1）解：∵∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴2∠BOC=360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+ ∠A．
当∠A=40°，∠BOC=110°；
（2）解：∠OBC= （∠A+∠ACB），∠OCB= （∠A+∠ABC），
∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，
=180°﹣ （∠A+∠ACB）﹣ （∠A+∠ABC），
=180°﹣ ∠A﹣ （∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC=90°﹣ ∠A．∠BOC=90°﹣ ∠A．
当∠A=40°，∠BOC=70°．
（3）解：∵∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，
∴∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，
∴2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，
∴2∠BOC=∠A，
即∠BOC= ∠A．
当∠A=40°，∠BOC=20°
（4）解：∠BOC=90°+ n；∠BOC=90°﹣ n；∠BOC= n
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB，则2∠BOC=360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°﹣∠ABC﹣∠ACB，易得∠BOC=90°+ ∠A．（2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到∠BOC=90°﹣ ∠A；（3）根据角平分线的定义得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性质有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，则2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC= ∠A；（4）利用以上结论直接得出答案即可．
1 / 1人教版数学八年级上册第11章 11.2.2三角形的外角 同步练习
一、单选题
1．如图，已知D为BC上一点，∠B=∠1，∠BAC=78°，则∠2=（ ）
A．78° B．80° C．50° D．60°
2．如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度（ ）
A．360° B．720° C．540° D．240°
3．下列说法中不正确的是（ ）
A．三角形按边分可分为不等边三角形、等腰三角形
B．等腰三角形的内角可能是钝角或直角
C．三角形外角一定是钝角
D．三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分
4．如图：∠2 大于∠1的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知△ABC的外角∠CBE，∠BCF的角平分线BP，CP交于P点，则∠BPC是（ ）
A．钝角 B．锐角 C．直角 D．无法确定
6．（2017八下·下陆期中）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2017八上·三明期末）如图是一副三角尺叠放的示意图，则∠α的度数为（ ）
A．75° B．45° C．30° D．15°
8．（2017八上·海勃湾期末）一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．75° B．60° C．65° D．55°
9．（2017八下·合浦期中）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（ ）
A．315° B．270° C．180° D．135°
10．（2017八下·东莞期中）如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=（ ）时，则四边形AECF是正方形．
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．下列结论：①一个三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，则与之相应的3个内角度数之比为5：3：1；②在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形；③一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°；④一个五边形最多有3个内角是直角；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行．其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．（2017八下·遂宁期末）如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的中线 ，若∠A=20°，则∠BDC=（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
二、填空题
13．（2016八上·卢龙期中）将一副三角板按图中方式叠放，则角α的度数为 ．
14．（2017八上·三明期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=40°，∠ACE=60°，则∠A
= 度．
15．如图，△ABC中，DE是∠ADC角平分线，若已知∠B=50°，∠BAD=60°，则∠CDE= ．
16．如图，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=34°，且∠ADE=∠AED，则∠CDE= 度．
17．如图所示，∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，则∠BDF= ．
三、计算题
18．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=40°，求∠BAC的度数．
19．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B=30°，∠E=20°，求∠ACE和∠BAC的度数．
20．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠B=60°，AE⊥BC于点E，CD平分∠ACB且分别与AB、AE交于点D、F，求∠AFC的度数．
21．如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM、ON上移动，BE是∠ABN的平分线，BE的反向延长线与∠OAB平分线相交于点C，试问：∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．
四、综合题
22．已知△ABC中，∠A=30°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= °．
（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °．
（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1（内部有n﹣1个点），求∠BOn﹣1C（用n的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On﹣1，若∠BOn﹣1C=60°，求n的值．
23．在△ABC中，∠A=40°：
（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；
（4）根据上述三问的结果，当∠A=n°时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠2=∠B+∠BAD，∠BAC=∠1+∠BAD，
又∵∠B=∠1，
∴∠2=∠BAC，
∵∠BAC=78°，
∴∠2=78°．
故选A．
【分析】由图知，∠2=∠B+∠BAD，∠BAC=∠1+∠BAD，根据已知，可以得到∠2=∠BAC，进而可以求出∠2．
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，
∵∠BOF=120°，
∴∠3=180°﹣120°=60°，
根据三角形内角和定理，∠E+∠1=180°﹣60°=120°，
∠F+∠2=180°﹣60°=120°，
所以，∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故选D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠C，∠B+∠D，再根据邻补角求出∠EOF，然后求解即可．
3．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：三角形按边分可分为不等边三角形、等腰三角形，故A不正确；
B、等腰三角形的内角可能是钝角或直角，故B不正确；
C、三角形外角可能是钝角、直角或锐角，故C正确；
D、三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，故D不正确；
故选C、
【分析】根据三角形的分类、外角的性质以及三角形中线的性质进行选择即可．
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠2 和∠1的关系不能确定，故错误；
B、∠2＞∠1，故正确；
C、∠2 和∠1的关系不能确定，故错误；
D、∠2=∠1，故错误，
故选：B．
【分析】根据三角形的外角的性质、对顶角的性质判断即可．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：
∵△ABC的外角平分线BP，CP交于P点，
∴∠PBC= ∠EBC，∠BCP= ∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角，
∴∠CBE+∠BCF=360°﹣（180°﹣∠A）=180°+∠A，
∴∠PBC+∠BCP= （∠EBC+∠BCF）= （180°+∠A）=90°+ ∠A，
∵在△PBC中，∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠BCP）=180°﹣（90°+ ∠A）=90°﹣ ∠A＜90°，
∴∠BPC是锐角．
故选：B．
【分析】首先根据△ABC的外角平分线BP，CP交于P点，得出∠PBC+∠BCP=90°+ ∠A，再根据三角形内角和定理，求得∠BPC=90°﹣ ∠A＜90°即可．
6．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4．
∴∠BDC=∠CBD=30°．
∴∠BDE=90°．
∴BD= =4 ．
故选：D．
【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步根据勾股定理进行求解．
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACB=90°，∠1=45°，
∴∠2=90°﹣45°=45°，
∴∠α=45°+30°=75°，
故选A．
【分析】首先根据三角板度数可得：∠ACB=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案．
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，∵∠1=60°，∠2=45°，
∴∠α=180°﹣45°﹣60°=75°，
故选A．
【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．
9．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），
∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，
∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．
故选：B．
【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．
10．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：过点E，F作EH⊥BD，FG⊥BD，
∵CE，CF为∠ACB，∠ACD的角平分线，
∴∠ECF=90°．
∵MN∥BC，
∴∠FEC=∠ECH，
∵∠ECH=∠ECO，
∴∠FEC=∠ECO，
∴OE=OC．
同理OC=OF，
∴OE=OF，
∵点O运动到AC的中点，
∴OA=OC，
∴四边形AECF为一矩形，
若∠ACB=90°，则CE=CF，
∴四边形AECF为正方形．
故选：D．
【分析】由题意可得四边形AECF为一矩形，要使四边形AECF是正方形，只需添加一条件，使其邻边相等即可．
11．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①，∵三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，
∴3个外角的度数分别为80°，120°，160°，
∴其对应的内角分别为100°、60°、20°，
∴3个内角度数之比为100°：60°：20°=5：3：1，故说法正确，②在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形，说法错误；③一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°，说法正确；④五边形最多可以有3个内角是直角，故本选项正确；⑤两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行，说法错误；
故选B．
【分析】①根据三角形的外角和定理及内角和定理分别求出各对应角的度数即可解答；根据三角形内角和定理可计算出三个内角的度数，进而判断出②的正误；根据多边形内角和定理可得③的正误；④根据多边形的内角和定理解答即可；⑤根据平行线的判定得出．
12．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD．
∴∠A＝∠DCA＝20°，
∴∠BDC＝∠A＋∠DCA＝20°＋20°＝40°．
故选B．
13．【答案】75°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵图中是一副三角板，
∴∠2=45°，∠1=90°﹣45°=45°，
∴∠α=∠1+30°=45°+30°=75°．
故答案为：75°．
【分析】先根据直角三角板的性质求出∠1及∠2的度数，再根据三角形内角与外角的关系即可解答．
14．【答案】80
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∠ACD=2∠ACE=120°，
∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=40°，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=80°，
故答案为：80
【分析】根据角平分线定义求出∠ACD，根据三角形的外角性质得出∠ACD=∠A+∠B，即可求出答案．
15．【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠BAD=60°，∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=110°，
又∵DE是∠ADC角平分线，
∴∠CDE= ∠ADC=55°．
故答案为：55°．
【分析】先根据三角形外角性质，求得∠ADC的度数，再根据DE是∠ADC角平分线，求得∠CDE的度数．
16．【答案】17
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质得，∠ADC=∠B+∠BAD，
∠AED=∠C+∠CDE，
所以，∠ADE=∠ADC﹣∠CDE=∠B+∠BAD﹣∠CDE，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠B+∠BAD﹣∠CDE=∠C+∠CDE，
∵∠B=∠C，
∴∠CDE= ∠BAD，
∵∠BAD=34°，
∴∠CDE= ×34°=17°．
故答案为：17°．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ADC，∠AED，再表示出∠ADE，然后根据∠ADE=∠AED列方程整理即可得解．
17．【答案】87°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣67°﹣74°=39°，
在△ADE中，∠ADE=180°﹣∠A﹣∠AED=180°﹣39°﹣48°=93°，
∴∠BDF=180°﹣∠ADE=180°﹣93°=87°．
故答案为：87°．
【分析】由已知根据三角形内角和定理可求出△ABC中∠A的度数，同理可求出△ADE中∠ADE的度数，再由∠ADE+∠BDF=180°求出∠BDF．
18．【答案】解：∵∠1=∠2，∠B=40°，
∴∠2=∠1=（180°﹣40°）÷2=70°，
又∵∠2是△ADC的外角，
∴∠2=∠3+∠4，
∵∠3=∠4，
∴∠2=2∠3，
∴∠3= ∠2=35°，
∴∠BAC=∠1+∠3=105°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】先根据三角形内角和，求得∠2的度数，再根据三角形外角性质，求得∠3的度数，即可得出∠BAC的度数．
19．【答案】解：∵∠B=30°，∠E=20°，
∴∠ECD=∠B+∠E=50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD=50°，∠ACD=2∠ECD=100°，
∵∠BAC=∠ACD﹣∠B=100°﹣30°=70°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据三角形外角性质求出∠ECD，即可求出∠ACE，求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠BAC即可．
20．【答案】解：∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°．
∵∠B=60°，
∴∠BAE=90°﹣60°=30°．
∴∠CAE=50°﹣30°=20°
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B=70°．
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD= ∠ACB=35°．
∴∠AFC=180°﹣35°﹣20°=125°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】先根据垂直的定义求∠BAE的度数，再结合图形根据角的和差求出∠CAE的度数，利用三角形的内角和求∠ACB，因CD平分∠ACB，所以可得∠ACD，最后利用△AFC的内角和为180°，求得∠AFC的度数．
21．【答案】解：∠ACB的大小保持不变．理由：
∵∠ABn=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABN，
∴∠ABE= ∠ABN= （90°+∠OAB）=45°+ ∠OAB，
即∠ABE=45°+∠CAB，
又∵∠ABE=∠ACB+∠CAB，
∴∠ACB=45°，
故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．
22．【答案】（1）105
（2）80
（3）解：∵点On﹣1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，
∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB= （∠ABC+∠ACB）= ×150°，
∴∠BOn﹣1C=180°﹣ ×150°
（4）解：由（3）得：180°﹣ ×150°=60°，
解得：n=5．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
⑴∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=75°，
∴∠BOC=105°；
⑵∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，
∴∠O2BC+∠O2CB= （∠ABC+∠ACB）=100°，
∴∠BO2C=80°；
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求得∠OBC+∠OCB，即可求出∠BOC．（2）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求得∠O2BC+∠O2CB，即可求出∠BO2C．（3）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据n等分线的定义求得∠On﹣1BC+∠On﹣1CB，即可求出∠BOn﹣1C．（4）依据（3）的结论即可求出n的值．
23．【答案】（1）解：∵∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴2∠BOC=360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+ ∠A．
当∠A=40°，∠BOC=110°；
（2）解：∠OBC= （∠A+∠ACB），∠OCB= （∠A+∠ABC），
∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，
=180°﹣ （∠A+∠ACB）﹣ （∠A+∠ABC），
=180°﹣ ∠A﹣ （∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC=90°﹣ ∠A．∠BOC=90°﹣ ∠A．
当∠A=40°，∠BOC=70°．
（3）解：∵∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，
而BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，
∴∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，
∴2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，
∴2∠BOC=∠A，
即∠BOC= ∠A．
当∠A=40°，∠BOC=20°
（4）解：∠BOC=90°+ n；∠BOC=90°﹣ n；∠BOC= n
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB，则2∠BOC=360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°﹣∠ABC﹣∠ACB，易得∠BOC=90°+ ∠A．（2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到∠BOC=90°﹣ ∠A；（3）根据角平分线的定义得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性质有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，则2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC= ∠A；（4）利用以上结论直接得出答案即可．
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