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【细解】初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理回顾与思考
一、考点训练考点1勾股数
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，9，12 B．-9，40，41 C．9，12，13 D．7，24，25
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、62+92≠122，故A不满足题意；
B、-9不属于正整数，故B不满足题意；
C、92+122≠132，故C不勾股数满足题意；
D、72+242=252，故D满足题意.
故答案为：D.
【分析】就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数 （a +b =c ） ，据此判断.
2．（2018·滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为
故答案为：A．
【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。
二、考点训练考点2勾股定理与图形面积．
3．如图，以直角三角形三边为边向外做正方形，面积分别为S1，S2，S3．若S1=4，S3=20，则S2所对应的正方形的边长为（ ）
A．15 B．16 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：对图形进行点标注，则S1=AB2，S2=AC2，S3=BC2，
∵△ABC为直角三角形，
∴AB2+AC2=BC2，
∴S1+S2=S3.
∵S1=4，S3=20，
∴S2=AC2=20-4=16，
∴AC=4，即S2所对应的正方形的边长为4.
故答案为：C.
【分析】对图形进行点标注，由正方形的面积公式可得S1=AB2，S2=AC2，S3=BC2，由勾股定理可得AB2+AC2=BC2，据此可求得S2，进而得到其所对应的正方形的边长.
4．（2017八下·明光期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°
∴∠ACB=∠DEC
∵∠ABC=∠CDE，AC=CE，
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE
∴如图，
根据勾股定理的几何意义，b的面积=a的面积+c的面积
∴b的面积=a的面积+c的面积=3+4=7．
故选D．
【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到b的面积=a的面积+c的面积
三、考点训练考点3勾股定理的逆定理
5．下面各组数是三角形的三边长，则能构成直角三角形的是（ ）
A．2，2，3 B．5，6，7
C．4，5，6 D．60， 80，100
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：22+22≠32，故A不能构成直角三角形，不符合题意；
52+62≠72，故B不能构成直角三角形，不符合题意；
42+52≠62，故C不能构成直角三角形，不符合题意；
602+802=1002，故D能构成直角三角形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，据此判断.
四、考点训练考点4勾股定理的简单应用考查1勾股定理在几何图形中的应用
6．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡脚∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE= 米时， 有DC2= AE2+BC2．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，连接 CD，由题意知AC=12．
设AE=x，则CE=12- x．
∵在Rt△CDE中，DC2=22 +(12-x)2．
∵DC2=AE2+ BC2，
∴22+(12-x)2=x2+62，
∴AE= (米)．
故答案为：
【分析】连接CD，由题意知AC=12，设AE=x，则CE=12- x，在Rt△CDE中，由勾股定理可得DC2=22 +(12-x)2，然后结合已知条件DC2=AE2+ BC2进行求解.
五、考点训练考点4勾股定理的简单应用考查2勾股定理在网格图中的应用
7．如图，大正方形是由边长为1的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，以其中三个点为顶点，可以构成直角三角形的个数是（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AC2=22+12=5，AD2=32+12=10，AB2=42+22=20，BC2=25，BD2=32+12=10，CD2=32+42=25，
∴AC2+AB2=BC2，AD2+BD2=AB2，
∴△ABC、△ABD为直角三角形.
故答案为A.
【分析】首先由勾股定理可得AC2，AD2，AB2，BC2，BD2，CD2，然后结合勾股定理逆定理进行解答.
8．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求：
（1）四边形ABCD的面积；
（2）∠ABC的度数．
【答案】（1）解：S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= ×5×2+ ×5×3=
（2）解：因为AB2=22+42=20，BC2=12+22=5，AC2=52=25，所以AB2+ BC2 =AC2．所以∠ABC= 90°
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）由图形可得S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）由勾股定理可得AB2，BC2，AC2，结合勾股定理逆定理推出△ABC为直角三角形，据此可得∠ABC的度数.
六、考点训练考点5勾股定理在折叠问题中的应用
9．如图所示，一张三角形纸片ABC，∠C=90° ，AC=8 cm，BC=6 cm，现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕长等于B cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，
∴AB==10cm，
设AE=BE=x，∴EC=AC-AE=8-x，
在Rt△BEC中，
∵BE2=BC2+EC2，即x2=62+（8-x）2，
解得x=，
∵AD=BD=5cm，
在Rt△BDE中，
∴DE=== cm.
故答案为：.
【分析】首先由勾股定理可得AB的值，设AE=x，在Rt△BEC中，利用勾股定理列方程求出x，由折叠的性质可得AD=BD=5cm，DE⊥AB，然后在Rt△BDE中利用勾股定理求DE，即可解答.
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C= 90° ，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． AC=6，BC=8，求线段AD长度的平方．
【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC2+ BC2=AB2，
所以AB=10．
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C= 90°．
所以BE=AB-AE=10-6=4． ．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
DE2+ BE2= BD2，
即CD2+42=(8- CD)2，
解得CD=3．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC2 +CD2= AD2，
即32+62= AD2，
解得AD2=45．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】首先在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB的值，由折叠的性质可得：AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C= 90°，求出BE的值，然后在Rt△BDE中，由勾股定理可得CD的值，接下来在Rt△ACD中，由勾股定理就可求得AD2.
七、考点训练考点6几何体表面路程最短问题考查1圆柱体表面路程最短问题
11．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是多少尺？
【答案】解：圆柱体的侧面展开如图所示，
由题意得：AB= 20，CD= ×20=4， AC= 3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC2+CD2=AD2，
32+42=AD2，
所以AD= 5．
所以缠绕五周后的最短长度是5×5=25(尺)．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】首先画出圆柱体的侧面展开图，由题意可得：AB=20，CD=×20=4，AC=3，然后在Rt△ACD中，应用勾股定理可求得AD的值，进而求得缠绕五周后的最短长度.
八、考点训练考点6几何体表面路程最短问题考查2长方体表面路程最短问题
12．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD= 80 cm，高AB=60 cm，水深AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm．一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．
（1）小虫应该走怎样的路线才能使爬行的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．
（2）求小虫爬行的最短路线长．
【答案】（1）解：如图，作点A关于直线BC的对称点A' ，连接A'G，与BC交于点Q，连接AQ．则AQ→QG为最短路线．
（2）解：因为AE=40 cm，AA'= 120 cm，所以A'E= 80 cm．
又因为EG= 60 cm，所以在Rt△A'EG中，
A'G2= 802+602= 10000．所以A'G= 100 cm．
所以AQ+QG= A'Q+QG= A'G= 100 cm．
即最短路线长为100 cm．
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作点A关于直线BC的对称点A' ，连接A'G，与BC交于点Q，连接AQ，则AQ→QG为最短路线；
（2）由已知条件可得A′E，然后在Rt△A′EG中，应用勾股定理可得A′G，据此求解.
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【细解】初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理回顾与思考
一、考点训练考点1勾股数
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，9，12 B．-9，40，41 C．9，12，13 D．7，24，25
2．（2018·滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、考点训练考点2勾股定理与图形面积．
3．如图，以直角三角形三边为边向外做正方形，面积分别为S1，S2，S3．若S1=4，S3=20，则S2所对应的正方形的边长为（ ）
A．15 B．16 C．4 D．6
4．（2017八下·明光期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
三、考点训练考点3勾股定理的逆定理
5．下面各组数是三角形的三边长，则能构成直角三角形的是（ ）
A．2，2，3 B．5，6，7
C．4，5，6 D．60， 80，100
四、考点训练考点4勾股定理的简单应用考查1勾股定理在几何图形中的应用
6．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡脚∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE= 米时， 有DC2= AE2+BC2．
五、考点训练考点4勾股定理的简单应用考查2勾股定理在网格图中的应用
7．如图，大正方形是由边长为1的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，以其中三个点为顶点，可以构成直角三角形的个数是（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
8．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求：
（1）四边形ABCD的面积；
（2）∠ABC的度数．
六、考点训练考点5勾股定理在折叠问题中的应用
9．如图所示，一张三角形纸片ABC，∠C=90° ，AC=8 cm，BC=6 cm，现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕长等于B cm．
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C= 90° ，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． AC=6，BC=8，求线段AD长度的平方．
七、考点训练考点6几何体表面路程最短问题考查1圆柱体表面路程最短问题
11．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是多少尺？
八、考点训练考点6几何体表面路程最短问题考查2长方体表面路程最短问题
12．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD= 80 cm，高AB=60 cm，水深AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm．一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．
（1）小虫应该走怎样的路线才能使爬行的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．
（2）求小虫爬行的最短路线长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、62+92≠122，故A不满足题意；
B、-9不属于正整数，故B不满足题意；
C、92+122≠132，故C不勾股数满足题意；
D、72+242=252，故D满足题意.
故答案为：D.
【分析】就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数 （a +b =c ） ，据此判断.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为
故答案为：A．
【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：对图形进行点标注，则S1=AB2，S2=AC2，S3=BC2，
∵△ABC为直角三角形，
∴AB2+AC2=BC2，
∴S1+S2=S3.
∵S1=4，S3=20，
∴S2=AC2=20-4=16，
∴AC=4，即S2所对应的正方形的边长为4.
故答案为：C.
【分析】对图形进行点标注，由正方形的面积公式可得S1=AB2，S2=AC2，S3=BC2，由勾股定理可得AB2+AC2=BC2，据此可求得S2，进而得到其所对应的正方形的边长.
4．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°
∴∠ACB=∠DEC
∵∠ABC=∠CDE，AC=CE，
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE
∴如图，
根据勾股定理的几何意义，b的面积=a的面积+c的面积
∴b的面积=a的面积+c的面积=3+4=7．
故选D．
【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到b的面积=a的面积+c的面积
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：22+22≠32，故A不能构成直角三角形，不符合题意；
52+62≠72，故B不能构成直角三角形，不符合题意；
42+52≠62，故C不能构成直角三角形，不符合题意；
602+802=1002，故D能构成直角三角形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，据此判断.
6．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，连接 CD，由题意知AC=12．
设AE=x，则CE=12- x．
∵在Rt△CDE中，DC2=22 +(12-x)2．
∵DC2=AE2+ BC2，
∴22+(12-x)2=x2+62，
∴AE= (米)．
故答案为：
【分析】连接CD，由题意知AC=12，设AE=x，则CE=12- x，在Rt△CDE中，由勾股定理可得DC2=22 +(12-x)2，然后结合已知条件DC2=AE2+ BC2进行求解.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AC2=22+12=5，AD2=32+12=10，AB2=42+22=20，BC2=25，BD2=32+12=10，CD2=32+42=25，
∴AC2+AB2=BC2，AD2+BD2=AB2，
∴△ABC、△ABD为直角三角形.
故答案为A.
【分析】首先由勾股定理可得AC2，AD2，AB2，BC2，BD2，CD2，然后结合勾股定理逆定理进行解答.
8．【答案】（1）解：S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= ×5×2+ ×5×3=
（2）解：因为AB2=22+42=20，BC2=12+22=5，AC2=52=25，所以AB2+ BC2 =AC2．所以∠ABC= 90°
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）由图形可得S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）由勾股定理可得AB2，BC2，AC2，结合勾股定理逆定理推出△ABC为直角三角形，据此可得∠ABC的度数.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，
∴AB==10cm，
设AE=BE=x，∴EC=AC-AE=8-x，
在Rt△BEC中，
∵BE2=BC2+EC2，即x2=62+（8-x）2，
解得x=，
∵AD=BD=5cm，
在Rt△BDE中，
∴DE=== cm.
故答案为：.
【分析】首先由勾股定理可得AB的值，设AE=x，在Rt△BEC中，利用勾股定理列方程求出x，由折叠的性质可得AD=BD=5cm，DE⊥AB，然后在Rt△BDE中利用勾股定理求DE，即可解答.
10．【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC2+ BC2=AB2，
所以AB=10．
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C= 90°．
所以BE=AB-AE=10-6=4． ．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
DE2+ BE2= BD2，
即CD2+42=(8- CD)2，
解得CD=3．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC2 +CD2= AD2，
即32+62= AD2，
解得AD2=45．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】首先在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB的值，由折叠的性质可得：AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C= 90°，求出BE的值，然后在Rt△BDE中，由勾股定理可得CD的值，接下来在Rt△ACD中，由勾股定理就可求得AD2.
11．【答案】解：圆柱体的侧面展开如图所示，
由题意得：AB= 20，CD= ×20=4， AC= 3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC2+CD2=AD2，
32+42=AD2，
所以AD= 5．
所以缠绕五周后的最短长度是5×5=25(尺)．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】首先画出圆柱体的侧面展开图，由题意可得：AB=20，CD=×20=4，AC=3，然后在Rt△ACD中，应用勾股定理可求得AD的值，进而求得缠绕五周后的最短长度.
12．【答案】（1）解：如图，作点A关于直线BC的对称点A' ，连接A'G，与BC交于点Q，连接AQ．则AQ→QG为最短路线．
（2）解：因为AE=40 cm，AA'= 120 cm，所以A'E= 80 cm．
又因为EG= 60 cm，所以在Rt△A'EG中，
A'G2= 802+602= 10000．所以A'G= 100 cm．
所以AQ+QG= A'Q+QG= A'G= 100 cm．
即最短路线长为100 cm．
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作点A关于直线BC的对称点A' ，连接A'G，与BC交于点Q，连接AQ，则AQ→QG为最短路线；
（2）由已知条件可得A′E，然后在Rt△A′EG中，应用勾股定理可得A′G，据此求解.
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