长沙市重点中学2022-2023学年高二上学期8月入学考试
数 学 解析版
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
2. 已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由,得,即
故选:
3. 如下图，直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解.
【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，
所以斜率，
所以直线与轴的交点为，
所以直线的点斜式方程可得：，
即．
故选：D
4. 有人从一座层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该人在不同层离开电梯的概率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：设2人为A、B，则2人自2至6层离开电梯的所有可能情况为：（A2，B2），（A2，B3）,（A2，B4），（A2，B5），（A2，B6）,（A3，B2）,（A3，B3），…，（A6，B6）．共25个基本事件，2人在相同层离开电梯共包含（A2，B2）,（A3，B3）,（A4，B4）,（A5，B5）,（A6，B6）共5个事件，所以2人在不同层离开电梯共包含20个基本事件，概率为．
考点：古典概型
5. 在中，已知，，，，分别是，边上的中线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得，然后利用中线结合平面向量基本定理和数量积的运算求解即可.
【详解】，，，则,,，，分别是，边上的中线，则,，则，
故选：D.
6. 已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
7. 在等腰中，，点为底边的中点，将沿折起到的位置，使二面角的大小为120°，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二面角定义知，若分别为中点，连接，根据中位线性质有异面直线与所成角为或其补角，进而在应用余弦定理求线线角的余弦值.
【详解】
由题设知：，即，，
所以二面角的平面角，
若分别为中点，连接，
所以，，故异面直线与所成角，即为或其补角，
若，则，，故，
又，面，故面，
而面，故，
在中，，，故，
所以，在中.
故选：A
8 若不等式．对x∈恒成立，则sin(a+b)和sin(a-b)分别等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，根据三角函数值的符号，求得函数符号的变化，根据函数的单调性与对称性，求得的值，即可求解.
【详解】由，则，
当或时，即或时，，
当时，即时，，
所以当或时，，
当时，，
设函数，则在上单调递增，在上单调递减，
且函数的图象关于直线对称，所以，
所以，解得，
又由，解得，
所以，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了三角函数值的计算，以及函数的单调性与对称性的应用，其中解答中根据三角函数的符号，求得函数的单调性与对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 若，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】化简给定条件，利用不等式性质判断A，举例说明判断B；利用指数函数单调性判断C；平方作差判断D作答.
【详解】因为，则，于是得，A正确；
当时，，B错误；
函数在R上单调递减，则有，C正确；
而，有，即，D正确.
故选：ACD
10. 今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个基站，4月份增加用户700多万人，通信将成为社会发展的关键动力，图是某机构对我国未来十年用户规模的发展预测图，阅读图
关于下列说法，其中正确的是（ ）
A. 2022年我国用户规模年增长率最高
B 2025年我国用户数规模最大
C. 从2020年到2026年，我国的用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降
D. 这十年我国的用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差
【答案】AC
【解析】
【分析】由图表中所给数据对选项逐一分析判断即得结果.
【详解】由图表可得，年用户规模年增长率最高，故A正确；
年用户规模为（万人），规模最大，故B错误；
由图表可知，从年开始，年与年用户规模年增长率增加，从年开始到年用户规模年增长率逐年递减，故C正确；
由于后五年用户数增长不大，数据较稳定，故方差小于前5年数据方差，所以D错误.
故选:AC.
11. 在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开得到平面图如图所示，，，为的中点，为的中点，则在原直三棱柱中，下列说法正确的是（ ）
A. ，，，四点共面
B.
C. 几何体和直三棱柱的体积之比为
D. 当时，与平面所成的角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据线面位置关系可判断A，B选项，根据几何体的体积计算方法即可判断C选项，利用定义法可判断线面角，即可判断D选项
【详解】如图，将展开的平面图还原成立体图形，
对A选项，连接，为的中点，也为的中点，又为的中点，，，，，四点共面，故A选项正确；
对B选项，，棱柱为直三棱柱，易得平面，又平面，，又，四边形为正方形，，又，平面，又平面，，B选项正确；
对C选项，，分别为，的中点，，
几何体和直三棱柱的体积之比为，
故C选项错误；
对D选项，当时，又，且，，，，又由B选项的分析知平面，
即为与平面所成的角，又，与平面所成的角为，故D选项正确．
故选：ABD．
12. 已知动圆，，则（ ）
A. 圆C与圆相切
B. 圆C与直线相切
C. 圆C上一点M满足，则M的轨迹的长度为
D. 当圆C与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为1
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，得到圆C的圆心和半径，求出两圆圆心距等于半径之差，从而两圆内切；
B选项，求出圆心到直线距离不一定等于1，故B错误；
C选项，设出，得到M轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，其周长为；
D选项，求出圆C与坐标轴交点坐标，得到，从而得到面积的最大值.
【详解】圆C圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为2，因为，所以两圆内切，A正确；
圆心到直线距离为，
不一定等于1，故圆C与直线不一定相切，B错误；
设，则，
所以，所以，
所以点M的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，其周长为，C错误；
D选项，令得：，解得：或，
令得：，解得：或，
所以圆C与坐标轴交于不同的三点，分别记为，
则这三点构成的三角形面积，
当或时，三角形面积取得最大值，最大值为1，D正确
故选：AD
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量的夹角为45°，，且，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求得，再由向量垂直数量积为0，即可求出得答案．
【详解】向量，的夹角为，，且，
，可得，
，
可得：，
.
故答案为：.
14. 军事飞行人员是国家的特殊人才和宝贵资源，招收和培养飞行员历来受到国家的高度重视，某地区招收海军飞行员，从符合条件的高三学生中随机抽取8人，他们的身高（单位：cm）分别为168，171，172，173，175，175，179，180，则这8名高三学生身高的第75百分位数为__________．
【答案】177
【解析】
【分析】利用百分位数定义即可求得这8名高三学生身高的第75百分位数
【详解】因为，所以第75百分位数是从低到高第6个和第7个数据的平均数，
即
故答案为：177
15. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【解析】
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
16. 神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆．若由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，A处的返回舱垂直返回地面．空中分队和地面分队分别在B处和C处，如图为其示意图，若A，B，C在同一水平面上的投影分别为A1，B1，C，且在C点测得B的仰角为26.6°，在C点测得A的仰角为45°，在B点测得A的仰角为26.6°，BB1=7 km，∠B1A1C=120°．则CA1的长为________km．（参考数据：）
【答案】10
【解析】
【分析】设，过点作的垂线，垂足为，则由题意可表示出，，然后在△中利用余弦定理列方程可求得结果．
【详解】解：如图：
设，过点作的垂线，垂足为，
由题意得，，，则，
平面，平面，
，
又，平面，
，，
因为，
所以，
四边形为平行四边形，
，
，
在中，
，
平面，平面，，
，
在△中，，
由余弦定理得，
化简得，
或（舍去）．
的长为．
故答案为：10.
四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 某公司在一次入职面试中，共设有3轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目的即可通过面试，累计答错两道题目的即被淘汰.已知李明能正确回答每一道题目的概率均为，且各轮题目能否正确回答互不影响.
（1）求李明不需要进入第三轮测试的概率；
（2）求李明通过面试的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；
【小问1详解】
解：设李明通过第一、二、三轮测试分别设为事件，，，可知，，相互独立．
设李明不需要进入第三轮测试为事件，则，
所以
即李明不需要进入第三轮测试的概率为；
【小问2详解】
解：设李明最终通过测试为事件，则，
所以
故李明最终通过测试的概率为；
18. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD AB//CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点.
（1）求证：BM//平面ADEF；
（2）求证：BC⊥平面BDE.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，然后可得，即可证明；
（2）利用向量证明BC⊥DB，BC⊥DE即可.
【详解】∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED 平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD.
以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)
（1）∵M为EC的中点，∴M(0，2，1)
则＝(－2，0，1)，＝(－2，0，0)，＝(0，0，2)
∴，故共面
又平面ADEF，∴平面ADEF
（2）＝(－2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，
∵＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB.
又＝0，∴BC⊥DE.
又DE∩DB＝D，DB，DE 平面BDE，∴BC⊥平面BDE.
【点睛】本题考查的是空间中平行与垂直的证明，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
19. 已知直线的方程为，直线的方程为.
（1）设直线与的交点为，求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；
（2）设直线的方程为，若直线与，不能构成三角形，求实数的取值的集合.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）通过联立和的方程求得点的坐标，对直线是否过原点进行分类讨论，由此求得直线的方程.
（2）对于、的位置关系进行分类讨论，由此求得的值.
【小问1详解】
由，解得，所以点的坐标为.
当直线在两坐标轴上的截距不为零时，可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为.
当直线在两坐标轴上的截距均为零时，可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
【小问2详解】
当直线与直线平行时不能构成三角形，此时，解得；
当直线与直线平行时不能构成三角形，此时，解得；
当直线过直线与的交点时不能构成三角形，此时，解得.
综上，或或2，故实数的取值的集合为.
20. 如图，已知长方形中，，，M为DC的中点.将沿折起，使得平面⊥平面.
（1）求证：；
（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.
【答案】（1）见解析；（2）为中点．
【解析】
【详解】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=，AD=，M为DC的中点，
∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM 平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD 平面ADM
∴AD⊥BM.
（2）建立如图所示的直角坐标系
设，则平面AMD的一个法向量，
，
设平面AME的一个法向量则取y=1，得
所以，
因为，求得，
所以E为BD的中点.
21. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且
（1）若，判断的形状并说明理由；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）是等边三角形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)根据平面向量数量积的定义和余弦定理可得，结合题意与正弦定理可得，利用诱导公式计算分析即可得出结果；
(2)设，则，进而有，根据余弦定理可得，结合函数的单调性求出的取值范围，进而得出的取值范围.
【小问1详解】
是等边三角形.理由如下：
由数量积的定义得，.
由余弦定理得，
即，由正弦定理及，
得，即，
因为，所以或，
当时，是等腰三角形，此时，所以是等边三角形；
当，即时，是直角三角形，这与矛盾.
故是等边三角形.
【小问2详解】
不妨设，由，
得，于是，
又因为是锐角三角形，所以，
即，因此，
由余弦定理得，，
令，则，函数在上单调递增.
所以，因此
故的取值范围是.
22. 已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
【答案】（1）或；（2）圆过定点，；（3）当时，AB有最小值．
【解析】
【分析】（1）设，由，计算即可求得，得出结果；
（2）因为A、P、M三点的圆N以MP为直径，所以圆的方程为，化简为，由方程恒成立可知，即可求得动圆所过的定点；
（3）由圆和圆方程作差可得直线方程，设点到直线AB的距离，则，计算化简可得结果.
【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设，
因为PA是圆M的一条切线，所以，
所以，
解得或，
所以点P的坐标为或．
（2）设，因为，
所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为，
即，
由，
解得或，
所以圆过定点，．
（3）因为圆N方程为，
即①
又圆②
①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为
．
点到直线AB的距离，
所以相交弦长
，
所以当时，AB有最小值．
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难.长沙市重点中学2022-2023学年高二上学期8月入学考试
数 学 原卷版
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如下图，直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 有人从一座层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该人在不同层离开电梯的概率是
A. B. C. D.
5. 在中，已知，，，，分别是，边上的中线，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A. B.
C. D.
7. 在等腰中，，点为底边的中点，将沿折起到的位置，使二面角的大小为120°，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 若不等式．对x∈恒成立，则sin(a+b)和sin(a-b)分别等于（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 若，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个基站，4月份增加用户700多万人，通信将成为社会发展的关键动力，图是某机构对我国未来十年用户规模的发展预测图，阅读图
关于下列说法，其中正确的是（ ）
A. 2022年我国用户规模年增长率最高
B. 2025年我国用户数规模最大
C. 从2020年到2026年，我国的用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降
D. 这十年我国用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差
11. 在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开得到平面图如图所示，，，为的中点，为的中点，则在原直三棱柱中，下列说法正确的是（ ）
A. ，，，四点共面
B.
C. 几何体和直三棱柱的体积之比为
D. 当时，与平面所成的角为
12. 已知动圆，，则（ ）
A. 圆C与圆相切
B. 圆C与直线相切
C. 圆C上一点M满足，则M的轨迹的长度为
D. 当圆C与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为1
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量的夹角为45°，，且，若，则________．
14. 军事飞行人员是国家的特殊人才和宝贵资源，招收和培养飞行员历来受到国家的高度重视，某地区招收海军飞行员，从符合条件的高三学生中随机抽取8人，他们的身高（单位：cm）分别为168，171，172，173，175，175，179，180，则这8名高三学生身高的第75百分位数为__________．
15. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
16. 神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆．若由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，A处的返回舱垂直返回地面．空中分队和地面分队分别在B处和C处，如图为其示意图，若A，B，C在同一水平面上的投影分别为A1，B1，C，且在C点测得B的仰角为26.6°，在C点测得A的仰角为45°，在B点测得A的仰角为26.6°，BB1=7 km，∠B1A1C=120°．则CA1的长为________km．（参考数据：）
四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 某公司在一次入职面试中，共设有3轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目的即可通过面试，累计答错两道题目的即被淘汰.已知李明能正确回答每一道题目的概率均为，且各轮题目能否正确回答互不影响.
（1）求李明不需要进入第三轮测试概率；
（2）求李明通过面试的概率.
18. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD AB//CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点.
（1）求证：BM//平面ADEF；
（2）求证：BC⊥平面BDE.
19. 已知直线的方程为，直线的方程为.
（1）设直线与的交点为，求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；
（2）设直线的方程为，若直线与，不能构成三角形，求实数的取值的集合.
20. 如图，已知长方形中，，，M为DC中点.将沿折起，使得平面⊥平面.
（1）求证：；
（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.
21. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且
（1）若，判断的形状并说明理由；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围.
22. 已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
