2017-2018学年人教版数学七年级下册同步训练： 5.1.2《垂线》
一、填空题
1．下面说法中错误的是（ ）
A．两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直
B．若两对顶角之和为1800，则两条直线互相垂直
C．两条直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两条直线互相垂直
D．两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，则两条直线互相垂直
2．如图所示，AB⊥CD，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，那么图中的直角一共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
3．如图所示，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为（ ）
A．120° B．130° C．135° D．140°
4．点P为直线 外一点，点A、B、C为直线 上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线 的距离为（ ）
A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm
5．如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（ ）
①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＋∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°；④∠AOC－∠COD＝∠BOC.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（ ）
A．26° B．64°
C．54° D．以上答案都不对
7．在下列语句中，正确的是（ ）．
A．在平面上，一条直线只有一条垂线;
B．过直线上一点的直线只有一条;
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;
D．垂线段的长度就是点到直线的距离
8．如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）．
①AB⊥AC; ②AD与AC互相垂直; ③点C到AB的垂线段是线段AB; ④点D到BC的距离是线段AD的长度; ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离; ⑥线段AB是点B到AC的距离; ⑦AD>BD.
A．2个 B．4个 C．7个 D．0个
9．（2017七下·阳信期中）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C点的个数为（ ）．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
11．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列语句正确的是（ ）
A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直
B．两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，那么这两条直线互相垂直
C．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直
D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线互相垂直
13．过线段外一点画这条线段的垂线，垂足一定在（ ）
A．线段上 B．线段的端点上
C．线段的延长线上 D．以上情况都有可能
14．如图，直线AD⊥BD，垂足为D，则点B到线段AC的距离是（ ）
A．线段AC的长 B．线段AD的长 C．线段BC的长 D．线段BD的长
15．如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以OM和ON重合，理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
C．过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
二、填空题
16．当两条直线相交所成的四个角中 ，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 ，它们的交点叫 ．
17．过直线上或直线外一点， 与已知直线垂直．
18．如图所示，若AB⊥CD于O，则∠AOD＝ ；若∠BOD＝90°，则AB CD．
19．如图所示，已知AO⊥BC于O，那么∠1与∠2 ．
20．如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为 ．
三、解答题
21．如图，已知A，O，E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB＋∠DOE＝90°，试问：∠COD与∠DOE之间有怎样的关系 说明理由.
22．如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求∠2、∠3的度数．
23．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD，
（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：① ；② ．
（2）如果∠AOD＝40°，则①∠BOC＝ ；②OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝ ；
③求∠BOF的度数 ．
24．如图，已知∠AOB， OE平分∠AOC， OF平分∠BOC.
（1）若∠AOB是直角，∠BOC＝60°，求∠EOF的度数；
（2）猜想∠EOF与∠AOB的数量关系；
（3）若∠AOB＋∠EOF＝156°，则∠EOF是多少度？
25．直线AB、CD相交于点O.
（1）OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线.画出这个图形.
（2）射线OE、OF在同一条直线上吗 (直接写出结论)
（3）画∠AOD的平分线OG.OE与OG有什么位置关系 并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】垂线的概念是：当两条直线相交，有一个角是直角时，即两条直线互相平行．依据此概念，我们可以判断，选项A正确．选项B中，两对顶角之和为180°，则说明两对顶角均为90°，选项B也正确．在选项D中，两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，根据对顶角的性质，说明四个角都相等，又因为四个角的度数和为360°，则说明四个角都是90°，选项D也正确．因为两条直线相交，形成两对对顶角，对顶角是相等的，但是不能说明该角一定是90°，所以选项C错误．
【分析】掌握相交线形成的对顶角知识，以及垂线的概念，就能轻松解答本题．本题考查垂线．
2．【答案】B
【知识点】垂线
【解析】【解答】两条直线互相垂直，其所形成的夹角都是直角．根据题意，AB⊥CD，则∠ADC和∠BDC都是直角；同时，AC⊥BC，所以∠ACB也是直角．为此，图形中一共有3个直角．
【分析】掌握垂线的概念，就能轻松解答本题．本题考查垂线．
3．【答案】C
【知识点】垂线；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】∵ EO⊥CD，
∴ ∠EOD＝90°；
∵ AB平分∠EOD，
∴ ∠AOD=45°．
∵ ∠AOD＋∠BOD=180°，
∴∠BOD＝180°－45°＝135°.
【分析】两条直线互相垂直，其所形成的夹角都是直角 ，得出 ∠EOD＝90°；根据角平分线的定义得出 ∠AOD=45°．根据邻补角的定义得出∠BOD＝180°－45°＝135° 。
4．【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】点到直线的最短距离为过点作出的与已知直线的垂线段的长度．在题干中，已知的最短距离为2cm，则选项A和选项B都是不正确的．又因为题干中没有明确告诉PC是否垂直于直线 ，当两线垂直时，则点P到直线 的距离为2cm；若两直线不垂直，则点P到直线 的距离为小于2cm．所以，只能选D．
【分析】根据垂线段最短，又题干中，已知的最短距离为2cm ，且没有明确告诉PC是否垂直于直线 l ，当两线垂直时，则点P到直线 l 的距离为2cm；若两直线不垂直，则点P到直线 l 的距离为小于2cm．
5．【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】由题意可知，OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°．同时，OB⊥OD，所以∠BOD＝90°，即∠COD＋∠BOC＝90°．依次，可以判定∠AOB＝∠COD，所以①正确．又因为不能推断出∠AOB与∠COD的具体角度，所以②不正确．∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD，所以∠BOC＋∠AOD＝∠BOC＋∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝90°＋90°＝180°．因为∠AOB＝∠COD，所以∠AOC－∠COD＝∠AOC－∠AOB＝∠BOC，所以④正确．为此，选C．
【分析】在掌握两直线相互垂直，夹角为直角的基础上，学会角度转换，就能轻松找到正确答案．本题考查垂线．
6．【答案】B
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】∵ AB⊥CD于点O，
∴∠BOC＝∠AOD＝90°，
又∵∠1与∠DOF是对顶角，∠1＝26°，
∴∠DOF＝26°．
∵∠AOD＝∠AOF＋∠DOF，
∴ ∠AOF＝∠AOD－∠DOF＝90°－26°＝64°．
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义得出∠BOC＝∠AOD＝90°，根据对顶角相等得出∠DOF＝26°．根据角的和差得出 ∠AOF＝∠AOD－∠DOF＝90°－26°＝64°．
7．【答案】D
【知识点】垂线
【解析】【解答】概念理解型题．垂直于一条直线的垂线有无数条，所以选项A错误．两点之间才只有一条直线，过一点的直线有无数条，所以选项B错误．选项C是最容易出现混淆的地方．在概念中，同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条；但是，在该选项中，没有注明同一平面，所以选项C错．垂线段的长度就是点到直线的距离，所以选项D正确．
【分析】概念理解型题，在解答时要注意对概念的正确理解，尤其是像选项C这种属于特别容易混淆的题目．本题考查垂线．
8．【答案】B
【知识点】垂线；点到直线的距离
【解析】【解答】根据题意，∠BAC＝90，所以AB⊥AC，①正确．AD⊥BC于D，所以AD与AC不垂直，②不正确．点到直线的距离为垂线段，所以点C到AB的垂线段是线段AB，③正确．点D到BC的距离应为过D点垂直于AC的垂线段，AD与AC不垂直，所以④错误．因为AB⊥AC，点B到AC的距离为AB，所以⑤⑥正确．AD与BD的具体长度无法推断，所以不能确定二者的大小关系，⑦错误．
【分析】概念理解型题，掌握垂直和点到直线的具体的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
9．【答案】C
【知识点】垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．
故选：C．
【分析】由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案．
10．【答案】D
【知识点】垂线
【解析】【解答】已知每个小方格的边长为1，所以每个小方格的面积为1个平方单位．要使点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，需要从两个方面来思考：一是以A为三角形的顶点，则A到BC是距离为1，BC的距离为2时才能使面积为1个平方单位，于是，这样的点有2个．同理，若以B为三角形的顶点，这样的点有4个．所以，选D．
【分析】从点到直线的距离，以及三角形的面积计算方法入手，就能轻松解答．本题考查垂线．
11．【答案】C
【知识点】垂线
【解析】解答：根据题意画出图形即可．
故选：C
分析：此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
12．【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】概念理解型题．两条直线相交，其中有一个夹角是直角，说明这两条直线互相垂直．同时，两条直线相交，形成四个角，分为两对对顶角，对顶角是相等的．但是，两条直线垂直必须相交，两条直线相交未必垂直，所以，可以推断出选项A、选项B都错误．在选项D中，两条直线任意相交，都能满足有两个角互补，所以D错误．在选项C中，有三个角相等，可以推导出这四个角都相等，并且都是直角，所以选项C正确．
【分析】概念理解型题，掌握垂直的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
13．【答案】D
【知识点】垂线
【解析】【解答】由于线段有两个端点，所线段的长度是固定的．由于点的位置不确定，所以过线段外一点画这条线段的垂线，垂足有可能在线段上、线段的端点上和线段的延长线上．这个知识点可以从三角形的高的画法上得到验证．所以，选D．
【分析】概念理解型题，掌握垂直的作法，是解答本题的关键．本题考查垂线．
14．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】点到直线的距离为垂线段，因为直线AD⊥BD，垂足为D，所以点B到线段AC的距离是线段BD的长，所以选D．
【分析】概念理解型题，掌握到直线的距离为垂线段，是解答本题的关键．本题考查点到直线的距离．
15．【答案】B
【知识点】垂线
【解析】【解答】概念理解型题．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．因为OM⊥NP，ON⊥NP，两条经过O点的直线都垂直于NP，所以选B．
【分析】概念理解型题，掌握经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是解答本题的关键．本题考查垂线．
16．【答案】有一个直角；另一条直线的垂线；垂足
【知识点】垂线
【解析】【解答】概念理解型题．两条直线相交，所形成的夹角中，有一个角为直角，说明这两条直线互相垂直．相互垂直的两条直线，其中一条直线叫另一条直线的垂线．两条直线互相垂直，它们的交点叫垂足．
【分析】概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
17．【答案】有且只有一条直线
【知识点】垂线
【解析】【解答】概念理解型题．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．
【分析】概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
18．【答案】90°；⊥
【知识点】垂线
【解析】【解答】∵AB⊥CD，∴∠AOD=∠BOD=∠BOC=∠AOC=90°
∵∠BOD＝90°，∴AB⊥CD。
【分析】两条直线互相垂直，所形成的夹角为直角，也就是90°．如果两条直线相交，所形成的夹角中，有一个角为90°，则这两条直线互相垂直．
19．【答案】互余
【知识点】垂线
【解析】【解答】概念理解型题．两条直线互相垂直，所形成的夹角为直角，也就是90°．因为AO⊥BC于O，所以∠AOC＝90°．因为∠1＋∠2＝∠AOC．所以，∠1与∠2互余．
【分析】概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
20．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【知识点】垂线
【解析】【解答】概念理解型题．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．因为CD⊥AB于D，所以自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合．
【分析】概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
21．【答案】解：相等，理由：
∵∠AOB＋∠DOE＝90°，且A、O、E三点共线 ，
∴∠BOC＋∠COD＝90°．
∵ OB平分∠AOC，
∴ ∠AOB＝∠BOC，
∴ ∠COD=∠DOE .
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据平角的定义及∠AOB＋∠DOE＝90° ，得出∠BOC＋∠COD＝90° ，根据角平分线的定义得出∠AOB＝∠BOC ，根据等角的余角相等得出∠COD与∠DOE相等．
22．【答案】解：因为∠1与∠3是对顶角，所以∠1＝∠3，因为∠1＝30°，所以∠3＝30°．因为AB⊥CD，所以∠BOD＝90°，因为∠2＋∠3＝∠BOD，所以∠2＝90°－∠3＝60°
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据对顶角相等得出∠3的度数 ，根据垂直的定义及角的和差得出∠2的度数 。
23．【答案】（1）∠AOD＝∠BOC；∠BOP＝∠COP
（2）40°；20°；50°
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】由题意可知，∠AOD与∠BOC是对顶角，所以二者相等．因为OP是∠BOC的角平分线，所以∠BOP＝∠COP．由第一问得到的答案，)如果∠AOD＝40°，所以∠BOC＝40°．OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝20°．因为OF⊥CD，所以∠COF＝90°，所以∠BOF＝90°－40°＝50°.
【分析】（1）此题是开放性的命题，答案不唯一。可以根据对顶角相等，角平分线的定义，同角的余角相等 ，等角的补角相等 ，等等写出答案；
（2）根据对顶角相等得出∠BOC的度数 ，根据角平分线的定义得出∠COP的度数 ，根据角的和差及垂直的定义得出∠BOF的度数 。
24．【答案】（1）解：∵∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，
∴∠AOC＝90°＋60°＝150°.
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝150°÷2＝75°.
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF＝60°÷2＝30°.
∵∠EOC＝∠EOF＋∠COF，
∴∠EOF＝75°－30°＝45°
（2）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
∴∠COE＝ ∠AOC，∠COF＝ ∠BOC
∵∠AOB＝∠AOC－∠BOC
∴∠EOF＝∠COE－∠COF＝ ∠AOC－ ∠BOC＝ （∠AOC－∠BOC）＝ ∠AOB
（3）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COE＝ ∠AOC，∠COF＝ ∠BOC，
∴∠EOF＝ ∠AOC－ ∠BOC＝ （∠AOC－∠BOC）＝ ∠AOB．又∵∠AOB＋∠EOF＝156°，
∴∠EOF＝52°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）首先求出∠AOC的度数，再根据角平分线的性质计算出∠EOC，∠BOF的度数，然后根据角的和差关系即可算出∠EOF的度数；
（2）根据角平分线的定义得出∠COE＝ ∠AOC，∠COF＝ ∠BOC ，又因∠AOB＝∠AOC－∠BOC ，从而得出∠EOF＝∠COE－∠COF＝ ∠AOC－ ∠BOC＝ （∠AOC－∠BOC）＝ ∠AOB ；
（3）根据角平分线的定义得出∠COE＝ ∠AOC，∠COF＝ ∠BOC ，根据角的和差得出∠EOF＝ ∠AOC－ ∠BOC＝ （∠AOC－∠BOC）＝ ∠AOB．又∠AOB＋∠EOF＝156°，从而得出∠EOF＝52° 。
25．【答案】（1）解：如图中红线所示
（2）解：∵ OE平分∠AOC ，OF平分∠BOD ，
∴ ∠COE=∠AOC ，∠DOF=∠BOD ，
∵ ∠AOC=∠BOD ，
∴ ∠EOC=∠DOF
，∵ ∠COE＋∠EOD=180° ，
∴ ∠EOD＋∠DOF=180° ，
即射线OE、OF在同一条直线上 。
（3）解：∵EF平分∠AOC和∠BOD，并且∠AOC＝∠BOD，∴∠AOE＝∠DOF．∵OG平分∠AOD，∴∠AOG＝∠DOG．∵∠AOE＋∠DOF＋∠AOG＋∠DOG＝180°，∴∠DOF＋∠DOG＝180°÷2＝90°，∴OE⊥OG
【知识点】垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1），用圆规在OA、OC上分别截取相等的线段，以与两边的交点为圆心，以大于交点间的距离的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点E，作射线OE，则OE就是∠AOC的平分线，同理作出∠BOD的平分线；
（2），要判断射线OE，OF是否在同一直线上，只需判断∠EOD+∠DOF=180°是否成立，根据角平分线的性质可得 ∠COE=∠AOC ，∠DOF=∠BOD ，
再结合对顶角相等得， ∠EOC=∠DOF ，根据平角的定义得∠COE＋∠EOD=180° ， 从而得出 ∠EOD＋∠DOF=180° ，即射线OE、OF在同一条直线上 ；
（3），根据角平分线的定义及对顶角相等得出∠AOE＝∠DOF ，∠AOG＝∠DOG ，根据平角的定义得出∠AOE＋∠DOF＋∠AOG＋∠DOG＝180° ，从而得出∠DOF＋∠DOG＝180°÷2＝90°，即OE⊥OG 。
1 / 12017-2018学年人教版数学七年级下册同步训练： 5.1.2《垂线》
一、填空题
1．下面说法中错误的是（ ）
A．两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直
B．若两对顶角之和为1800，则两条直线互相垂直
C．两条直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两条直线互相垂直
D．两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，则两条直线互相垂直
【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】垂线的概念是：当两条直线相交，有一个角是直角时，即两条直线互相平行．依据此概念，我们可以判断，选项A正确．选项B中，两对顶角之和为180°，则说明两对顶角均为90°，选项B也正确．在选项D中，两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，根据对顶角的性质，说明四个角都相等，又因为四个角的度数和为360°，则说明四个角都是90°，选项D也正确．因为两条直线相交，形成两对对顶角，对顶角是相等的，但是不能说明该角一定是90°，所以选项C错误．
【分析】掌握相交线形成的对顶角知识，以及垂线的概念，就能轻松解答本题．本题考查垂线．
2．如图所示，AB⊥CD，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，那么图中的直角一共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】B
【知识点】垂线
【解析】【解答】两条直线互相垂直，其所形成的夹角都是直角．根据题意，AB⊥CD，则∠ADC和∠BDC都是直角；同时，AC⊥BC，所以∠ACB也是直角．为此，图形中一共有3个直角．
【分析】掌握垂线的概念，就能轻松解答本题．本题考查垂线．
3．如图所示，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为（ ）
A．120° B．130° C．135° D．140°
【答案】C
【知识点】垂线；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】∵ EO⊥CD，
∴ ∠EOD＝90°；
∵ AB平分∠EOD，
∴ ∠AOD=45°．
∵ ∠AOD＋∠BOD=180°，
∴∠BOD＝180°－45°＝135°.
【分析】两条直线互相垂直，其所形成的夹角都是直角 ，得出 ∠EOD＝90°；根据角平分线的定义得出 ∠AOD=45°．根据邻补角的定义得出∠BOD＝180°－45°＝135° 。
4．点P为直线 外一点，点A、B、C为直线 上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线 的距离为（ ）
A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm
【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】点到直线的最短距离为过点作出的与已知直线的垂线段的长度．在题干中，已知的最短距离为2cm，则选项A和选项B都是不正确的．又因为题干中没有明确告诉PC是否垂直于直线 ，当两线垂直时，则点P到直线 的距离为2cm；若两直线不垂直，则点P到直线 的距离为小于2cm．所以，只能选D．
【分析】根据垂线段最短，又题干中，已知的最短距离为2cm ，且没有明确告诉PC是否垂直于直线 l ，当两线垂直时，则点P到直线 l 的距离为2cm；若两直线不垂直，则点P到直线 l 的距离为小于2cm．
5．如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（ ）
①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＋∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°；④∠AOC－∠COD＝∠BOC.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】由题意可知，OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°．同时，OB⊥OD，所以∠BOD＝90°，即∠COD＋∠BOC＝90°．依次，可以判定∠AOB＝∠COD，所以①正确．又因为不能推断出∠AOB与∠COD的具体角度，所以②不正确．∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD，所以∠BOC＋∠AOD＝∠BOC＋∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝90°＋90°＝180°．因为∠AOB＝∠COD，所以∠AOC－∠COD＝∠AOC－∠AOB＝∠BOC，所以④正确．为此，选C．
【分析】在掌握两直线相互垂直，夹角为直角的基础上，学会角度转换，就能轻松找到正确答案．本题考查垂线．
6．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（ ）
A．26° B．64°
C．54° D．以上答案都不对
【答案】B
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】∵ AB⊥CD于点O，
∴∠BOC＝∠AOD＝90°，
又∵∠1与∠DOF是对顶角，∠1＝26°，
∴∠DOF＝26°．
∵∠AOD＝∠AOF＋∠DOF，
∴ ∠AOF＝∠AOD－∠DOF＝90°－26°＝64°．
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义得出∠BOC＝∠AOD＝90°，根据对顶角相等得出∠DOF＝26°．根据角的和差得出 ∠AOF＝∠AOD－∠DOF＝90°－26°＝64°．
7．在下列语句中，正确的是（ ）．
A．在平面上，一条直线只有一条垂线;
B．过直线上一点的直线只有一条;
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;
D．垂线段的长度就是点到直线的距离
【答案】D
【知识点】垂线
【解析】【解答】概念理解型题．垂直于一条直线的垂线有无数条，所以选项A错误．两点之间才只有一条直线，过一点的直线有无数条，所以选项B错误．选项C是最容易出现混淆的地方．在概念中，同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条；但是，在该选项中，没有注明同一平面，所以选项C错．垂线段的长度就是点到直线的距离，所以选项D正确．
【分析】概念理解型题，在解答时要注意对概念的正确理解，尤其是像选项C这种属于特别容易混淆的题目．本题考查垂线．
8．如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）．
①AB⊥AC; ②AD与AC互相垂直; ③点C到AB的垂线段是线段AB; ④点D到BC的距离是线段AD的长度; ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离; ⑥线段AB是点B到AC的距离; ⑦AD>BD.
A．2个 B．4个 C．7个 D．0个
【答案】B
【知识点】垂线；点到直线的距离
【解析】【解答】根据题意，∠BAC＝90，所以AB⊥AC，①正确．AD⊥BC于D，所以AD与AC不垂直，②不正确．点到直线的距离为垂线段，所以点C到AB的垂线段是线段AB，③正确．点D到BC的距离应为过D点垂直于AC的垂线段，AD与AC不垂直，所以④错误．因为AB⊥AC，点B到AC的距离为AB，所以⑤⑥正确．AD与BD的具体长度无法推断，所以不能确定二者的大小关系，⑦错误．
【分析】概念理解型题，掌握垂直和点到直线的具体的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
9．（2017七下·阳信期中）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【知识点】垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．
故选：C．
【分析】由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案．
10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C点的个数为（ ）．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【知识点】垂线
【解析】【解答】已知每个小方格的边长为1，所以每个小方格的面积为1个平方单位．要使点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，需要从两个方面来思考：一是以A为三角形的顶点，则A到BC是距离为1，BC的距离为2时才能使面积为1个平方单位，于是，这样的点有2个．同理，若以B为三角形的顶点，这样的点有4个．所以，选D．
【分析】从点到直线的距离，以及三角形的面积计算方法入手，就能轻松解答．本题考查垂线．
11．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】垂线
【解析】解答：根据题意画出图形即可．
故选：C
分析：此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
12．下列语句正确的是（ ）
A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直
B．两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，那么这两条直线互相垂直
C．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直
D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线互相垂直
【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】概念理解型题．两条直线相交，其中有一个夹角是直角，说明这两条直线互相垂直．同时，两条直线相交，形成四个角，分为两对对顶角，对顶角是相等的．但是，两条直线垂直必须相交，两条直线相交未必垂直，所以，可以推断出选项A、选项B都错误．在选项D中，两条直线任意相交，都能满足有两个角互补，所以D错误．在选项C中，有三个角相等，可以推导出这四个角都相等，并且都是直角，所以选项C正确．
【分析】概念理解型题，掌握垂直的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
13．过线段外一点画这条线段的垂线，垂足一定在（ ）
A．线段上 B．线段的端点上
C．线段的延长线上 D．以上情况都有可能
【答案】D
【知识点】垂线
【解析】【解答】由于线段有两个端点，所线段的长度是固定的．由于点的位置不确定，所以过线段外一点画这条线段的垂线，垂足有可能在线段上、线段的端点上和线段的延长线上．这个知识点可以从三角形的高的画法上得到验证．所以，选D．
【分析】概念理解型题，掌握垂直的作法，是解答本题的关键．本题考查垂线．
14．如图，直线AD⊥BD，垂足为D，则点B到线段AC的距离是（ ）
A．线段AC的长 B．线段AD的长 C．线段BC的长 D．线段BD的长
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】点到直线的距离为垂线段，因为直线AD⊥BD，垂足为D，所以点B到线段AC的距离是线段BD的长，所以选D．
【分析】概念理解型题，掌握到直线的距离为垂线段，是解答本题的关键．本题考查点到直线的距离．
15．如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以OM和ON重合，理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
C．过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
【答案】B
【知识点】垂线
【解析】【解答】概念理解型题．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．因为OM⊥NP，ON⊥NP，两条经过O点的直线都垂直于NP，所以选B．
【分析】概念理解型题，掌握经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是解答本题的关键．本题考查垂线．
二、填空题
16．当两条直线相交所成的四个角中 ，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 ，它们的交点叫 ．
【答案】有一个直角；另一条直线的垂线；垂足
【知识点】垂线
【解析】【解答】概念理解型题．两条直线相交，所形成的夹角中，有一个角为直角，说明这两条直线互相垂直．相互垂直的两条直线，其中一条直线叫另一条直线的垂线．两条直线互相垂直，它们的交点叫垂足．
【分析】概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
17．过直线上或直线外一点， 与已知直线垂直．
【答案】有且只有一条直线
【知识点】垂线
【解析】【解答】概念理解型题．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．
【分析】概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
18．如图所示，若AB⊥CD于O，则∠AOD＝ ；若∠BOD＝90°，则AB CD．
【答案】90°；⊥
【知识点】垂线
【解析】【解答】∵AB⊥CD，∴∠AOD=∠BOD=∠BOC=∠AOC=90°
∵∠BOD＝90°，∴AB⊥CD。
【分析】两条直线互相垂直，所形成的夹角为直角，也就是90°．如果两条直线相交，所形成的夹角中，有一个角为90°，则这两条直线互相垂直．
19．如图所示，已知AO⊥BC于O，那么∠1与∠2 ．
【答案】互余
【知识点】垂线
【解析】【解答】概念理解型题．两条直线互相垂直，所形成的夹角为直角，也就是90°．因为AO⊥BC于O，所以∠AOC＝90°．因为∠1＋∠2＝∠AOC．所以，∠1与∠2互余．
【分析】概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
20．如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为 ．
【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【知识点】垂线
【解析】【解答】概念理解型题．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．因为CD⊥AB于D，所以自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合．
【分析】概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
三、解答题
21．如图，已知A，O，E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB＋∠DOE＝90°，试问：∠COD与∠DOE之间有怎样的关系 说明理由.
【答案】解：相等，理由：
∵∠AOB＋∠DOE＝90°，且A、O、E三点共线 ，
∴∠BOC＋∠COD＝90°．
∵ OB平分∠AOC，
∴ ∠AOB＝∠BOC，
∴ ∠COD=∠DOE .
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据平角的定义及∠AOB＋∠DOE＝90° ，得出∠BOC＋∠COD＝90° ，根据角平分线的定义得出∠AOB＝∠BOC ，根据等角的余角相等得出∠COD与∠DOE相等．
22．如图，∠1＝30°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求∠2、∠3的度数．
【答案】解：因为∠1与∠3是对顶角，所以∠1＝∠3，因为∠1＝30°，所以∠3＝30°．因为AB⊥CD，所以∠BOD＝90°，因为∠2＋∠3＝∠BOD，所以∠2＝90°－∠3＝60°
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据对顶角相等得出∠3的度数 ，根据垂直的定义及角的和差得出∠2的度数 。
23．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD，
（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：① ；② ．
（2）如果∠AOD＝40°，则①∠BOC＝ ；②OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝ ；
③求∠BOF的度数 ．
【答案】（1）∠AOD＝∠BOC；∠BOP＝∠COP
（2）40°；20°；50°
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】由题意可知，∠AOD与∠BOC是对顶角，所以二者相等．因为OP是∠BOC的角平分线，所以∠BOP＝∠COP．由第一问得到的答案，)如果∠AOD＝40°，所以∠BOC＝40°．OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝20°．因为OF⊥CD，所以∠COF＝90°，所以∠BOF＝90°－40°＝50°.
【分析】（1）此题是开放性的命题，答案不唯一。可以根据对顶角相等，角平分线的定义，同角的余角相等 ，等角的补角相等 ，等等写出答案；
（2）根据对顶角相等得出∠BOC的度数 ，根据角平分线的定义得出∠COP的度数 ，根据角的和差及垂直的定义得出∠BOF的度数 。
24．如图，已知∠AOB， OE平分∠AOC， OF平分∠BOC.
（1）若∠AOB是直角，∠BOC＝60°，求∠EOF的度数；
（2）猜想∠EOF与∠AOB的数量关系；
（3）若∠AOB＋∠EOF＝156°，则∠EOF是多少度？
【答案】（1）解：∵∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，
∴∠AOC＝90°＋60°＝150°.
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝150°÷2＝75°.
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF＝60°÷2＝30°.
∵∠EOC＝∠EOF＋∠COF，
∴∠EOF＝75°－30°＝45°
（2）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
∴∠COE＝ ∠AOC，∠COF＝ ∠BOC
∵∠AOB＝∠AOC－∠BOC
∴∠EOF＝∠COE－∠COF＝ ∠AOC－ ∠BOC＝ （∠AOC－∠BOC）＝ ∠AOB
（3）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COE＝ ∠AOC，∠COF＝ ∠BOC，
∴∠EOF＝ ∠AOC－ ∠BOC＝ （∠AOC－∠BOC）＝ ∠AOB．又∵∠AOB＋∠EOF＝156°，
∴∠EOF＝52°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）首先求出∠AOC的度数，再根据角平分线的性质计算出∠EOC，∠BOF的度数，然后根据角的和差关系即可算出∠EOF的度数；
（2）根据角平分线的定义得出∠COE＝ ∠AOC，∠COF＝ ∠BOC ，又因∠AOB＝∠AOC－∠BOC ，从而得出∠EOF＝∠COE－∠COF＝ ∠AOC－ ∠BOC＝ （∠AOC－∠BOC）＝ ∠AOB ；
（3）根据角平分线的定义得出∠COE＝ ∠AOC，∠COF＝ ∠BOC ，根据角的和差得出∠EOF＝ ∠AOC－ ∠BOC＝ （∠AOC－∠BOC）＝ ∠AOB．又∠AOB＋∠EOF＝156°，从而得出∠EOF＝52° 。
25．直线AB、CD相交于点O.
（1）OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线.画出这个图形.
（2）射线OE、OF在同一条直线上吗 (直接写出结论)
（3）画∠AOD的平分线OG.OE与OG有什么位置关系 并说明理由.
【答案】（1）解：如图中红线所示
（2）解：∵ OE平分∠AOC ，OF平分∠BOD ，
∴ ∠COE=∠AOC ，∠DOF=∠BOD ，
∵ ∠AOC=∠BOD ，
∴ ∠EOC=∠DOF
，∵ ∠COE＋∠EOD=180° ，
∴ ∠EOD＋∠DOF=180° ，
即射线OE、OF在同一条直线上 。
（3）解：∵EF平分∠AOC和∠BOD，并且∠AOC＝∠BOD，∴∠AOE＝∠DOF．∵OG平分∠AOD，∴∠AOG＝∠DOG．∵∠AOE＋∠DOF＋∠AOG＋∠DOG＝180°，∴∠DOF＋∠DOG＝180°÷2＝90°，∴OE⊥OG
【知识点】垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1），用圆规在OA、OC上分别截取相等的线段，以与两边的交点为圆心，以大于交点间的距离的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点E，作射线OE，则OE就是∠AOC的平分线，同理作出∠BOD的平分线；
（2），要判断射线OE，OF是否在同一直线上，只需判断∠EOD+∠DOF=180°是否成立，根据角平分线的性质可得 ∠COE=∠AOC ，∠DOF=∠BOD ，
再结合对顶角相等得， ∠EOC=∠DOF ，根据平角的定义得∠COE＋∠EOD=180° ， 从而得出 ∠EOD＋∠DOF=180° ，即射线OE、OF在同一条直线上 ；
（3），根据角平分线的定义及对顶角相等得出∠AOE＝∠DOF ，∠AOG＝∠DOG ，根据平角的定义得出∠AOE＋∠DOF＋∠AOG＋∠DOG＝180° ，从而得出∠DOF＋∠DOG＝180°÷2＝90°，即OE⊥OG 。
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