2018-2019学年数学北师大版八年级上册2.7《二次根式》同步训练
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A． =±5 B． C．3 ﹣ =3 D． =7
【答案】D
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：A、原式=5，不符合题意；
B、原式=-2，不符合题意；
C、原式=2 ，不符合题意；
D、原式= =7 ，符合题意.
故答案为：D.
【分析】（1）由算术平方根的意义可得原式=5；
（2）由立方根的意义可得原式=-2；
（3）由二次根式的加减可得原式=2；
（4）由二次根式的乘法法则可得原式=7.
2．（2015八下·嵊州期中）下列各数与 相乘，结果为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：A、（ +2）（2﹣ ）=4﹣3=1，结果为有理，所以A选项正确；
B、（2﹣ ）（2﹣ ）=7﹣4 ，结果为无理数的，所以B选项不正确；
C、（﹣2+ ）（2﹣ ）=﹣7+4 ，结果为无理数的，所以，C选项不正确；
D、 （2﹣ ）=2 ﹣3，结果为无理数的，所以，D选项不正确．
故选A．
【分析】分别计算（ +2）（2﹣ ）、（2﹣ ）（2﹣ ）、（﹣2+ ）（2﹣ ）、 （2﹣ ），然后由计算的结果进行判断．
3．计算|2﹣ |+|4﹣ |的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．2 ﹣6 D．6﹣2
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式= ﹣2+4﹣
=2．故答案为：B．
【分析】由2-＜0，4-＞0，根据绝对值的性质化简，再合并同类二次根式即可.
4．对任意实数a，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的定义；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、a为负数时，没有意义，故本选项不符合题意；
B、a为正数时不成立，故本选项不符合题意；
C、∵ =|a|≠±a，故本选项不符合题意．
D、本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的定义可知=|a|（a≥0时，原式=a；a＜0时，原式=-a）.
5．下列各式：① ，② ，③ ，④ 中，最简二次根式有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：① ；② = ；③ =2 ；④ ，
故只有①是最简二次根式，
故答案为：A.
【分析】最简二次根式是指：被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。根据最简二次根式的意义先将各二次根式化简，再判断即可。
二、填空题
6．计算 = ．
【答案】1
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解： = 3-2=1.
【分析】先将各项化简，再加减，即原式=3-2=1.
7． 的绝对值是 ， = ， = ．
【答案】；-4；-1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：| |= ；
=-3-1=-4；
=
【分析】①先比较1与的大小，再根据绝对值的意义即可求解；
②先将各式化简，再计算，即原式=3-1=2；
③先将各式化简，再计算，即原式==-1.
8．使 是整数的最小正整数n= ．
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =2 ，由于 是整数，所以n的最小正整数值是3．
故答案为：3.
【分析】先把此二次根式化简，只要使得被开方数是最小的平方数即可.
9．（2017八下·临洮期中）若一个长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为
cm3．
【答案】12
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：依题意得，正方体的体积为：
2 × × =12cm3．
故答案为：12．
【分析】首先根据正方体的体积列出计算式，然后利用二次根式的乘除法法则计算即可求解．
10．计算（ +1）2015（ ﹣1）2014=
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方
【解析】【解答】解：原式=[（ +1） （ ﹣1）]2014 （ +1）
=（2﹣1）2014 （ +1）
= +1．
故答案为： +1．
【分析】先把化成，利用积的乘方的逆运算和平方差公式计算可得.
三、解答题
11．化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）解： =
（2）解： =4
（3）解： =
（4）解： =
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质和即可化简；
（2）根据二次根式的性质和即可化简；
（3）根据二次根式的性质和即可化简；
（4）分母有理化，将分式的分子和分母分别乘以即可达到化简的目的。
12．计算：
（1）（ ﹣ ）2；
（2）（ + ）（ ﹣ ）．
（3）（ +3 ）2．
【答案】（1）解：原式=2﹣2+ =
（2）解：原式=2﹣3=﹣1
（3）解：原式=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）用完全平方公式和二次根式的混合运算法则即可求解；
（2）用平方差公式和二次根式的混合运算法则即可求解；
（3）用完全平方公式和二次根式的混合运算法则即可求解。
13．已知：x=1﹣ ，y=1+ ，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
【答案】解：∵x＝1－ ，y＝1＋ ，
∴x－y＝(1－ )－(1＋ )＝－2 ，
xy＝(1－ )(1＋ )＝－1，
∴x2＋y2－xy－2x＋2y
＝(x－y)2－2(x－y)＋xy
＝(－2 )2－2×(－2 )＋(－1)
＝7＋4
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】由题意计算x-y与xy的值，再将所求代数式转化为x-y与xy的形式整体代换即可求解。
14．设a，b为实数，且满足（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，求 的值．
【答案】解：∵（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，
∴a﹣3=0，b﹣1=0，
解得：a=3，b=1，
∴ = = ．
【知识点】二次根式的化简求值；偶次幂的非负性
【解析】【分析】根据偶次幂的非负性可求出a、b的值，再代入化简.
15．观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： = = =2 ；
=3 ，验证： = = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【答案】（1）解：∵ =2 ， =3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： = = ，正确
（2）解：由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ ，
验证： ，正确
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据材料中的方法即可求解。，将左右两边按照二次根式的性质计算即可验证；
（2）由（1）中的式子可得规律：。
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一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A． =±5 B． C．3 ﹣ =3 D． =7
2．（2015八下·嵊州期中）下列各数与 相乘，结果为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．计算|2﹣ |+|4﹣ |的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．2 ﹣6 D．6﹣2
4．对任意实数a，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式：① ，② ，③ ，④ 中，最简二次根式有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．计算 = ．
7． 的绝对值是 ， = ， = ．
8．使 是整数的最小正整数n= ．
9．（2017八下·临洮期中）若一个长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，则它的体积为
cm3．
10．计算（ +1）2015（ ﹣1）2014=
三、解答题
11．化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
12．计算：
（1）（ ﹣ ）2；
（2）（ + ）（ ﹣ ）．
（3）（ +3 ）2．
13．已知：x=1﹣ ，y=1+ ，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
14．设a，b为实数，且满足（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，求 的值．
15．观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： = = =2 ；
=3 ，验证： = = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：A、原式=5，不符合题意；
B、原式=-2，不符合题意；
C、原式=2 ，不符合题意；
D、原式= =7 ，符合题意.
故答案为：D.
【分析】（1）由算术平方根的意义可得原式=5；
（2）由立方根的意义可得原式=-2；
（3）由二次根式的加减可得原式=2；
（4）由二次根式的乘法法则可得原式=7.
2．【答案】A
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：A、（ +2）（2﹣ ）=4﹣3=1，结果为有理，所以A选项正确；
B、（2﹣ ）（2﹣ ）=7﹣4 ，结果为无理数的，所以B选项不正确；
C、（﹣2+ ）（2﹣ ）=﹣7+4 ，结果为无理数的，所以，C选项不正确；
D、 （2﹣ ）=2 ﹣3，结果为无理数的，所以，D选项不正确．
故选A．
【分析】分别计算（ +2）（2﹣ ）、（2﹣ ）（2﹣ ）、（﹣2+ ）（2﹣ ）、 （2﹣ ），然后由计算的结果进行判断．
3．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式= ﹣2+4﹣
=2．故答案为：B．
【分析】由2-＜0，4-＞0，根据绝对值的性质化简，再合并同类二次根式即可.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的定义；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、a为负数时，没有意义，故本选项不符合题意；
B、a为正数时不成立，故本选项不符合题意；
C、∵ =|a|≠±a，故本选项不符合题意．
D、本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的定义可知=|a|（a≥0时，原式=a；a＜0时，原式=-a）.
5．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：① ；② = ；③ =2 ；④ ，
故只有①是最简二次根式，
故答案为：A.
【分析】最简二次根式是指：被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。根据最简二次根式的意义先将各二次根式化简，再判断即可。
6．【答案】1
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解： = 3-2=1.
【分析】先将各项化简，再加减，即原式=3-2=1.
7．【答案】；-4；-1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：| |= ；
=-3-1=-4；
=
【分析】①先比较1与的大小，再根据绝对值的意义即可求解；
②先将各式化简，再计算，即原式=3-1=2；
③先将各式化简，再计算，即原式==-1.
8．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =2 ，由于 是整数，所以n的最小正整数值是3．
故答案为：3.
【分析】先把此二次根式化简，只要使得被开方数是最小的平方数即可.
9．【答案】12
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：依题意得，正方体的体积为：
2 × × =12cm3．
故答案为：12．
【分析】首先根据正方体的体积列出计算式，然后利用二次根式的乘除法法则计算即可求解．
10．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方
【解析】【解答】解：原式=[（ +1） （ ﹣1）]2014 （ +1）
=（2﹣1）2014 （ +1）
= +1．
故答案为： +1．
【分析】先把化成，利用积的乘方的逆运算和平方差公式计算可得.
11．【答案】（1）解： =
（2）解： =4
（3）解： =
（4）解： =
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质和即可化简；
（2）根据二次根式的性质和即可化简；
（3）根据二次根式的性质和即可化简；
（4）分母有理化，将分式的分子和分母分别乘以即可达到化简的目的。
12．【答案】（1）解：原式=2﹣2+ =
（2）解：原式=2﹣3=﹣1
（3）解：原式=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）用完全平方公式和二次根式的混合运算法则即可求解；
（2）用平方差公式和二次根式的混合运算法则即可求解；
（3）用完全平方公式和二次根式的混合运算法则即可求解。
13．【答案】解：∵x＝1－ ，y＝1＋ ，
∴x－y＝(1－ )－(1＋ )＝－2 ，
xy＝(1－ )(1＋ )＝－1，
∴x2＋y2－xy－2x＋2y
＝(x－y)2－2(x－y)＋xy
＝(－2 )2－2×(－2 )＋(－1)
＝7＋4
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】由题意计算x-y与xy的值，再将所求代数式转化为x-y与xy的形式整体代换即可求解。
14．【答案】解：∵（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，
∴a﹣3=0，b﹣1=0，
解得：a=3，b=1，
∴ = = ．
【知识点】二次根式的化简求值；偶次幂的非负性
【解析】【分析】根据偶次幂的非负性可求出a、b的值，再代入化简.
15．【答案】（1）解：∵ =2 ， =3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： = = ，正确
（2）解：由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ ，
验证： ，正确
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据材料中的方法即可求解。，将左右两边按照二次根式的性质计算即可验证；
（2）由（1）中的式子可得规律：。
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