2018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（2） 同步训练
一、选择题
1．如图， 的对角线 与 相交于点 ，要使它成为矩形，需再添加的条件是（ ）
A． B．
C． D． 平分
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：对角线相等的平行四边形为矩形，有一个角为直角的平行四边形为矩形，则根据题意可知添加的条件为AC=BD。
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可求解。
2．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB=3，BC=4，那么阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，
∴△BOE≌△DOF．
∴阴影面积=△AOB的面积= AB BC=3．
故选：D．
【分析】根据矩形的中心对称性，运用中心对称图形的性质，易知阴影面积=三角形AOB或COD的面积．
3．有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S（ ）与它的一边长 之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：因为用长60cm的铁丝围成的矩形一边长 ，所以另一边是（30-x）cm，所以根据矩形面积公式可得： ，故答案为：C．
【分析】设矩形一边长 x ，根据矩形的对边相等可将矩形的长和宽分别用含x的代数式表示出来，再根据矩形面积=长宽即可求解。
4．如图，矩形ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，所以AE垂直平分DF，AD=AF，
∠DAE= ∠DAF，又因为，∠BAF=60°，∠BAD=90°，所以，∠DAF=∠BAD-∠BAF=30°，
∠DAE=15°.故答案为：B.
【分析】由矩形的性质可得∠BAD=90°，所以∠DAF=30°，根据折叠的性质即可求解。
5．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．一组对边平行而另一组对边不平行
D．对角线互相平分
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：连接AC、BD，两线交于O，
根据三角形的中位线定理得：EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH一定是平行四边形，
∴EF∥AC，EH∥BD，
∵BD⊥AC，
∴EH⊥EF，
∴∠HEF=90°，
故答案为：A．
【分析】连接AC、BD，两线交于O，由三角形中位线定理可得EF∥GH，EF=GH，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EFGH是平行四边形，根据BD⊥AC，结合平行线的性质可得∠HEF=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形EFGH是矩形。
6．（2016九上·高台期中）下列识别图形不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确．
故选C．
【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．
7．（2017·陵城模拟）已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】A
【知识点】矩形的判定；作图-直线、射线、线段；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴ ABCD是矩形．
所以甲的作业正确；
由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴ ABCD是矩形．
所以乙的作业正确；
故选A．
【分析】先由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断甲的作业正确；
先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断乙的作业也正确．
8．（2018八下·越秀期中）顺次连接菱形各边中点所形成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C． 矩形 D．正方形
【答案】C
【知识点】中点四边形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，E、F、G、H是菱形ABCD各边的中点，连接EF、FG、GH、EH，判断四边形EFGH的形状。
∵E，F是中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EH∥BD，
同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，
∴EH∥FG，EF∥GH，
则四边形EFGH是平行四边形。
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
即∠FEH=90°
∴平行四边形EFGH是矩形。
故答案为：C
【分析】根据三角形的中位线定理先证明四边形EFGH是平行四边形，再根据菱形的性质，对角线互相垂直，证明∠FEH=90°，即可证得四边形EFGH是矩形。
9．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A. ∵AD⊥BC与四边形AEDF是矩形没有关系，故不正确；
B. ∵AD垂直平分BC与四边形AEDF是矩形没有关系，故不正确；
C. ∵BD=CD与四边形AEDF是菱形没有关系，故不正确；
D. ∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠BAD=∠ADF.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ADF，
∴AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形.
故答案为：D.
【分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，可根据对角线相等的平行四边形是矩形判定；也可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定。
由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断；也可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定。
（1）根据AD⊥BC不能得到平行四边形AEDF有一个直角或对角线相等；
（2）根据AD垂直平分BC不能得到平行四边形AEDF有一个直角或对角线相等；
（3）根据BD=CD不能得到平行四边形AEDF有一组邻边相等或对角线互相垂直；
（4）根据AD平分∠BAC结合已知条件可得AF=DF，由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEDF是菱形。
10．已知：如图，在 ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N，AF，BE分别平分∠BAD，∠ABC；CE，DF分别平分∠BCD，∠ADC，则四边形MFNE是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】证明：在 ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AF，BE分别平分∠BAD，∠ABC，
∴∠BAF=∠DAF，∠ABE=∠CBE，
∴∠FAB+∠ABE==90°，
∴∠EMF=∠AMB=90°，
同理∠MEN=∠MFN=90°，
∴四边形MFNE是矩形．
故选B．
【分析】由平行四边形的性质得到邻角互补，再根据角平分线的性质得到两锐角互余，得到直角，于是可得结论．
二、填空题
11．要使平行四边形ABCD是矩形，还需添加的条件是 (写出一种即可).
【答案】∠A=90°或等（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC=90°或AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形.（答案不唯一）
故答案为：∠ABC=90°或AC=BD.
【分析】答案不唯一。可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形求解，也可根据对角线相等的平行四边形是矩形求解。
12．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是 ；若AC＝5 cm，则BD＝ ．
【答案】矩形；5cm
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形。
∴AC=BD
∵AC=5cm
∴BD=5cm
【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，由矩形的性质即可求解。
13．四边形ABCD中，AC⊥BD，顺次连接它的各边中点所得的四边形是 .
【答案】矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：顺次连接四边的各边中点所得的四边形是平行四边形，当四边形的对角线互相垂直时，平行四边形的邻边也互相垂直，所以是矩形.
故答案为：矩形.
【分析】根据三角形的中位线定理易证顺次连接四边的各边中点所得的四边形是平行四边形；再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得顺次连接四边的各边中点所得的四边形矩形。
14．如图，平行四边形的四个内角平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是
【答案】矩形
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB+∠ADC=180°；
∵AH、DH平分∠DAB、∠ADC，
∴∠HAD+∠HDA=90°，即∠EHG=90°，
同理可证得：∠HEF=∠EFG=∠FGH=90°，
故四边形EFGH是矩形，
故答案为：矩形．
【分析】由平行四边形的性质可得∠DAB+∠ADC=180°；再根据角平分线的性质可证∠EHG=90°，同理可得∠HEF=∠EFG=∠FGH=90°，根据四个角是直角的四边形是矩形可得四边形EFGH是矩形。
15．（2017八下·江阴期中）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，已知菱形ABCD的周长为20 cm，则 OE长为 cm．
【答案】5
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵菱形ABCD中，AC⊥BD，即∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形；
∴OE=AD，
又∵菱形ABCD中，BC=AD，
∴OE=BC．
∵菱形ABCD的周长为20 cm
∴BC=20÷4=5cm.
【分析】根据菱形的性质得到四边形OCED是平行四边形，由菱形的对角线互相垂直，得到四边形OCED是矩形；由矩形的对角线相等，得到OE=AD，由菱形的周长值，求出OE的长.
16．（2018八下·句容月考）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF= FC，则四边形DBFE的面积为 cm2．
【答案】8
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AB=DC=8，
∵E是DC的中点，BF= FC，
∴EC=DC=8×=4，FC=DC=×3=2，
∴S△BDC=DCBC=×8×3=12，
S△EFC=ECFC=×4×2=4，
∴四边形DBFE的面积=S△BDC-S△EFC=12-8=4，
故答案为：4
【分析】根据矩形的性质及已知求出EC、FC的长，再根据三角形的面积公式求出△BDC和△EFC的面积，即可求出四边形DBFE的面积。
三、解答题
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
【答案】证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴四边形AODE是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AODE为平行四边形，根据菱形的性质可得AC⊥BD，则∠AOD=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AODE是矩形．
18．如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）你判断四边形ABEC形状是 ；
（2）请你添加一个条件，使四边形ABEC是矩形，并请说明理由；
（3）当△ABC满足 条件时，四边形ABEC是菱形．（不需说理）
【答案】（1）平行四边形
（2）解：答案不唯一，如添加：AE=BC．
理由：∵四边形ABEC是平行四边形．AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
（3）AB=AC
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
即AB∥CE，
∵CE=DC，
∴AB=CE，
∴四边形ABEC是平行四边形；
故答案为：平行四边形
（ 3 ）答案不唯一，如添加：AB=AC．
理由：∵四边形ABEC是平行四边形．AB=AC，
∴四边形ABEC是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：AB=AC．
【分析】（1）由平行四边形的性质易证AB=CE，ABCE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABEC是平行四边形；
（2）答案不唯一，可添加：AE=BC．由对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ABEC是矩形；
（3）答案不唯一，可添加：AB=AC．由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABEC是菱形。
19．如图，在□ABCD中，点E是边CD的中点，连接BE并延长，交AD延长线于点F，连接BD、CF.
（1）求证：△CEB≌△DEF；
（2）若AB=BF，试判断四边形BCFD的形状，并证明．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF∥BC ，
∴∠AFB＝∠CBF，∠FDC＝∠DCB ， ∵点E是CD的中点，∴BE=EF ，∴△CEB≌△DEF
（2）解：四边形BCFD是矩形，∵△CEB≌△DEF， ∴CE=DE， ∵BE=EF，∴四边形BCFD是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，
∵AB=BF，∴BF=CD， ∴ □BCFD为矩形
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AF∥BC ，根据平行线的性质可得∠AFB＝∠CBF，∠FDC＝∠DCB ，结合已知条件用角角边可证△CEB≌△DEF；
（2）由（1）知△CEB≌△DEF，所以可得BC=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BCFD是平行四边形，再根据平行四边形的性质和已知条件AB=BF易证BF=CD，由对角线相等的平行四边形是矩形可得□BCFD为矩形。
20．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE相交于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形．
（2）若∠AOE=60°，AE=4，求矩形ADCE对角线的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，又∵AB=AC，∴DE=AC．∵AB=AC，D为BC中点，∴∠ADC=90°，又∵D为BC中点，∴CD=BD．
∴CD∥AE，CD=AE．
∴四边形AECD是平行四边形，
又∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，
∴AO=EO，
∴△AOE为等边三角形，
∴AO=4，
故AC=8
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件易证DE=AC，BD=AE，BD∥AE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECD是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ADCE是矩形；
（2）由矩形的性质和∠AOE=60°，易证△AOE为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解。
21．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．
（1）求证：BC=DE；
（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA是矩形．
【答案】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．
∵DB=AC，∴DB=EC．
又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BC=DE
（2）证明：连接AD、BE．∵DB∥AE，DB=AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵∠BAC=∠C，∴BA=BC．
∵BC=DE，∴AB=DE，∴ DBEA是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形DBCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得BC=DE；
（2）连接AD、BE．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形DBEA是平行四边形；结合已知条件易证AB=DE，由对角线相等的平行四边形是矩形可得 DBEA是矩形．
22．如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．
（1）求证：BD=CE；
（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．
【答案】（1）证明：由题意得，AB=AC，
∵BD，CE分别是两腰上的中线，
∴AD=AC，AE=AB，
∴AD=AE，
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴BD=CE
（2）解：四边形DEMN是正方形，如图，证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=AB，AD=AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN=BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，
∴DM=EN，
∴四边形EDNM是矩形，
在△BDC与△CEB中，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离=BC，
∴BD⊥CE，
∴四边形DEMN是正方形．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）由题意用角边角易证△ABD≌△ACE，则可得BD=CE；
（2）由三角形的中位线定理易证得DE=MN，DEMN；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EDNM是矩形，根据三角形的重心的定义和已知条件可得OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，即DM=EN，由对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形EDNM是矩形；根据三角形的重心的性质易证BD⊥CE，由对角线互相垂直的矩形是正方形可得四边形DEMN是正方形．
23．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中， ，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，
∴CD=BD，
∴D是BC的中点
（2）解：若AB=AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：∵△AEF≌△DEC，∴AF=CD，∵AF=BD，∴CD=BD；∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AFBD是矩形．
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质用角角边易证△AEF≌△DEC，结合已知条件可得CD=BD，由线段中点的定义可得D是BC的中点；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFBD是平行四边形，再根据（1）的结论BD=CD，由等腰三角形的三线合一可得ADBC，即∠ADB=90°，根据有一个角为直角的平行四边形是矩形可得平行四边形AFBD是矩形．
1 / 12018-2019学年数学北师大版九年级上册1.2 矩形的性质与判定（2） 同步训练
一、选择题
1．如图， 的对角线 与 相交于点 ，要使它成为矩形，需再添加的条件是（ ）
A． B．
C． D． 平分
2．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB=3，BC=4，那么阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．12 C．6 D．3
3．有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S（ ）与它的一边长 之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果 等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．一组对边平行而另一组对边不平行
D．对角线互相平分
6．（2016九上·高台期中）下列识别图形不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
7．（2017·陵城模拟）已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
8．（2018八下·越秀期中）顺次连接菱形各边中点所形成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C． 矩形 D．正方形
9．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
10．已知：如图，在 ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N，AF，BE分别平分∠BAD，∠ABC；CE，DF分别平分∠BCD，∠ADC，则四边形MFNE是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形
二、填空题
11．要使平行四边形ABCD是矩形，还需添加的条件是 (写出一种即可).
12．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是 ；若AC＝5 cm，则BD＝ ．
13．四边形ABCD中，AC⊥BD，顺次连接它的各边中点所得的四边形是 .
14．如图，平行四边形的四个内角平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是
15．（2017八下·江阴期中）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，已知菱形ABCD的周长为20 cm，则 OE长为 cm．
16．（2018八下·句容月考）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF= FC，则四边形DBFE的面积为 cm2．
三、解答题
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
18．如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）你判断四边形ABEC形状是 ；
（2）请你添加一个条件，使四边形ABEC是矩形，并请说明理由；
（3）当△ABC满足 条件时，四边形ABEC是菱形．（不需说理）
19．如图，在□ABCD中，点E是边CD的中点，连接BE并延长，交AD延长线于点F，连接BD、CF.
（1）求证：△CEB≌△DEF；
（2）若AB=BF，试判断四边形BCFD的形状，并证明．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE相交于点O．
（1）求证：四边形ADCE是矩形．
（2）若∠AOE=60°，AE=4，求矩形ADCE对角线的长．
21．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．
（1）求证：BC=DE；
（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA是矩形．
22．如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．
（1）求证：BD=CE；
（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．
23．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：对角线相等的平行四边形为矩形，有一个角为直角的平行四边形为矩形，则根据题意可知添加的条件为AC=BD。
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可求解。
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，
∴△BOE≌△DOF．
∴阴影面积=△AOB的面积= AB BC=3．
故选：D．
【分析】根据矩形的中心对称性，运用中心对称图形的性质，易知阴影面积=三角形AOB或COD的面积．
3．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：因为用长60cm的铁丝围成的矩形一边长 ，所以另一边是（30-x）cm，所以根据矩形面积公式可得： ，故答案为：C．
【分析】设矩形一边长 x ，根据矩形的对边相等可将矩形的长和宽分别用含x的代数式表示出来，再根据矩形面积=长宽即可求解。
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，所以AE垂直平分DF，AD=AF，
∠DAE= ∠DAF，又因为，∠BAF=60°，∠BAD=90°，所以，∠DAF=∠BAD-∠BAF=30°，
∠DAE=15°.故答案为：B.
【分析】由矩形的性质可得∠BAD=90°，所以∠DAF=30°，根据折叠的性质即可求解。
5．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：连接AC、BD，两线交于O，
根据三角形的中位线定理得：EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH一定是平行四边形，
∴EF∥AC，EH∥BD，
∵BD⊥AC，
∴EH⊥EF，
∴∠HEF=90°，
故答案为：A．
【分析】连接AC、BD，两线交于O，由三角形中位线定理可得EF∥GH，EF=GH，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EFGH是平行四边形，根据BD⊥AC，结合平行线的性质可得∠HEF=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形EFGH是矩形。
6．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确．
故选C．
【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．
7．【答案】A
【知识点】矩形的判定；作图-直线、射线、线段；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴ ABCD是矩形．
所以甲的作业正确；
由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴ ABCD是矩形．
所以乙的作业正确；
故选A．
【分析】先由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断甲的作业正确；
先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断乙的作业也正确．
8．【答案】C
【知识点】中点四边形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，E、F、G、H是菱形ABCD各边的中点，连接EF、FG、GH、EH，判断四边形EFGH的形状。
∵E，F是中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EH∥BD，
同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，
∴EH∥FG，EF∥GH，
则四边形EFGH是平行四边形。
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
即∠FEH=90°
∴平行四边形EFGH是矩形。
故答案为：C
【分析】根据三角形的中位线定理先证明四边形EFGH是平行四边形，再根据菱形的性质，对角线互相垂直，证明∠FEH=90°，即可证得四边形EFGH是矩形。
9．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A. ∵AD⊥BC与四边形AEDF是矩形没有关系，故不正确；
B. ∵AD垂直平分BC与四边形AEDF是矩形没有关系，故不正确；
C. ∵BD=CD与四边形AEDF是菱形没有关系，故不正确；
D. ∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠BAD=∠ADF.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ADF，
∴AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形.
故答案为：D.
【分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，可根据对角线相等的平行四边形是矩形判定；也可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定。
由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断；也可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定。
（1）根据AD⊥BC不能得到平行四边形AEDF有一个直角或对角线相等；
（2）根据AD垂直平分BC不能得到平行四边形AEDF有一个直角或对角线相等；
（3）根据BD=CD不能得到平行四边形AEDF有一组邻边相等或对角线互相垂直；
（4）根据AD平分∠BAC结合已知条件可得AF=DF，由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEDF是菱形。
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】证明：在 ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AF，BE分别平分∠BAD，∠ABC，
∴∠BAF=∠DAF，∠ABE=∠CBE，
∴∠FAB+∠ABE==90°，
∴∠EMF=∠AMB=90°，
同理∠MEN=∠MFN=90°，
∴四边形MFNE是矩形．
故选B．
【分析】由平行四边形的性质得到邻角互补，再根据角平分线的性质得到两锐角互余，得到直角，于是可得结论．
11．【答案】∠A=90°或等（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC=90°或AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形.（答案不唯一）
故答案为：∠ABC=90°或AC=BD.
【分析】答案不唯一。可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形求解，也可根据对角线相等的平行四边形是矩形求解。
12．【答案】矩形；5cm
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形。
∴AC=BD
∵AC=5cm
∴BD=5cm
【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，由矩形的性质即可求解。
13．【答案】矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：顺次连接四边的各边中点所得的四边形是平行四边形，当四边形的对角线互相垂直时，平行四边形的邻边也互相垂直，所以是矩形.
故答案为：矩形.
【分析】根据三角形的中位线定理易证顺次连接四边的各边中点所得的四边形是平行四边形；再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得顺次连接四边的各边中点所得的四边形矩形。
14．【答案】矩形
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB+∠ADC=180°；
∵AH、DH平分∠DAB、∠ADC，
∴∠HAD+∠HDA=90°，即∠EHG=90°，
同理可证得：∠HEF=∠EFG=∠FGH=90°，
故四边形EFGH是矩形，
故答案为：矩形．
【分析】由平行四边形的性质可得∠DAB+∠ADC=180°；再根据角平分线的性质可证∠EHG=90°，同理可得∠HEF=∠EFG=∠FGH=90°，根据四个角是直角的四边形是矩形可得四边形EFGH是矩形。
15．【答案】5
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵菱形ABCD中，AC⊥BD，即∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形；
∴OE=AD，
又∵菱形ABCD中，BC=AD，
∴OE=BC．
∵菱形ABCD的周长为20 cm
∴BC=20÷4=5cm.
【分析】根据菱形的性质得到四边形OCED是平行四边形，由菱形的对角线互相垂直，得到四边形OCED是矩形；由矩形的对角线相等，得到OE=AD，由菱形的周长值，求出OE的长.
16．【答案】8
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AB=DC=8，
∵E是DC的中点，BF= FC，
∴EC=DC=8×=4，FC=DC=×3=2，
∴S△BDC=DCBC=×8×3=12，
S△EFC=ECFC=×4×2=4，
∴四边形DBFE的面积=S△BDC-S△EFC=12-8=4，
故答案为：4
【分析】根据矩形的性质及已知求出EC、FC的长，再根据三角形的面积公式求出△BDC和△EFC的面积，即可求出四边形DBFE的面积。
17．【答案】证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴四边形AODE是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AODE为平行四边形，根据菱形的性质可得AC⊥BD，则∠AOD=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AODE是矩形．
18．【答案】（1）平行四边形
（2）解：答案不唯一，如添加：AE=BC．
理由：∵四边形ABEC是平行四边形．AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
（3）AB=AC
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
即AB∥CE，
∵CE=DC，
∴AB=CE，
∴四边形ABEC是平行四边形；
故答案为：平行四边形
（ 3 ）答案不唯一，如添加：AB=AC．
理由：∵四边形ABEC是平行四边形．AB=AC，
∴四边形ABEC是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：AB=AC．
【分析】（1）由平行四边形的性质易证AB=CE，ABCE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABEC是平行四边形；
（2）答案不唯一，可添加：AE=BC．由对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ABEC是矩形；
（3）答案不唯一，可添加：AB=AC．由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABEC是菱形。
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF∥BC ，
∴∠AFB＝∠CBF，∠FDC＝∠DCB ， ∵点E是CD的中点，∴BE=EF ，∴△CEB≌△DEF
（2）解：四边形BCFD是矩形，∵△CEB≌△DEF， ∴CE=DE， ∵BE=EF，∴四边形BCFD是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，
∵AB=BF，∴BF=CD， ∴ □BCFD为矩形
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AF∥BC ，根据平行线的性质可得∠AFB＝∠CBF，∠FDC＝∠DCB ，结合已知条件用角角边可证△CEB≌△DEF；
（2）由（1）知△CEB≌△DEF，所以可得BC=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BCFD是平行四边形，再根据平行四边形的性质和已知条件AB=BF易证BF=CD，由对角线相等的平行四边形是矩形可得□BCFD为矩形。
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，又∵AB=AC，∴DE=AC．∵AB=AC，D为BC中点，∴∠ADC=90°，又∵D为BC中点，∴CD=BD．
∴CD∥AE，CD=AE．
∴四边形AECD是平行四边形，
又∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，
∴AO=EO，
∴△AOE为等边三角形，
∴AO=4，
故AC=8
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件易证DE=AC，BD=AE，BD∥AE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECD是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ADCE是矩形；
（2）由矩形的性质和∠AOE=60°，易证△AOE为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解。
21．【答案】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．
∵DB=AC，∴DB=EC．
又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BC=DE
（2）证明：连接AD、BE．∵DB∥AE，DB=AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵∠BAC=∠C，∴BA=BC．
∵BC=DE，∴AB=DE，∴ DBEA是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形DBCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得BC=DE；
（2）连接AD、BE．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形DBEA是平行四边形；结合已知条件易证AB=DE，由对角线相等的平行四边形是矩形可得 DBEA是矩形．
22．【答案】（1）证明：由题意得，AB=AC，
∵BD，CE分别是两腰上的中线，
∴AD=AC，AE=AB，
∴AD=AE，
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴BD=CE
（2）解：四边形DEMN是正方形，如图，证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=AB，AD=AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN=BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，
∴DM=EN，
∴四边形EDNM是矩形，
在△BDC与△CEB中，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离=BC，
∴BD⊥CE，
∴四边形DEMN是正方形．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）由题意用角边角易证△ABD≌△ACE，则可得BD=CE；
（2）由三角形的中位线定理易证得DE=MN，DEMN；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EDNM是矩形，根据三角形的重心的定义和已知条件可得OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，即DM=EN，由对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形EDNM是矩形；根据三角形的重心的性质易证BD⊥CE，由对角线互相垂直的矩形是正方形可得四边形DEMN是正方形．
23．【答案】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中， ，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，
∴CD=BD，
∴D是BC的中点
（2）解：若AB=AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：∵△AEF≌△DEC，∴AF=CD，∵AF=BD，∴CD=BD；∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AFBD是矩形．
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质用角角边易证△AEF≌△DEC，结合已知条件可得CD=BD，由线段中点的定义可得D是BC的中点；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFBD是平行四边形，再根据（1）的结论BD=CD，由等腰三角形的三线合一可得ADBC，即∠ADB=90°，根据有一个角为直角的平行四边形是矩形可得平行四边形AFBD是矩形．
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